第七章 参数估计(4-).ppt

4区间估计 前面 我们讨论了参数点估计 它是用样本算得的一个值去估计未知参数 但是 点估计值仅仅是未知参数的一个近似值 它没有反映出这个近似值的误差范围 使用起来把握不大 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 我们希望确定一个区间 使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值 两个要求 即要求估计尽量可靠 这里所说的 可靠程度 是用概率来度量的 称为置信概率 置信度或置信水平 置信水平的大小是根据实际需要选定的 称区间为的置信水平为的置信区间 一 置信区间定义 则称区间是的置信水平 置信度 置信概率 为的置信区间 二 置信区间的求法 解 选的点估计 N 0 1 找a b使 我们得到均值的置信水平为的置信区间为 区间长度为 由P 1 75 Z 2 33 0 95 0 01 0 04 我们得到均值的置信水平为的置信区间为 区间长度为 任意两个数a和b 只要它们的纵标包含f u 下95 的面积 就确定一个95 的置信区间 我们总是希望置信区间尽可能短 在概率密度为单峰且对称的情形 当a b时求得的置信区间的长度为最短 对给定的置信水平 查正态分布表得 从中解得 的置信区间为 使 即使在概率密度不对称的情形 如分布 F分布 习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间 置信水平越高 相应的置信区间长度就长 估计的精度就差 这是一对矛盾 实用中应在保证足够可靠的前提下 尽量使得区间的长度短一些 置信区间的统计意义 如何理解 求置信区间方法 枢轴量法 的一般步骤如下 1 明确问题 是求什么参数的置信区间 置信水平是多少 2 寻找一个待估参数和估计量T的函数S T 且其分布为已知 称S T 为枢轴量 4 对 a S T b 作等价变形 得到如下形式 则就是的100 的置信区间 这里 我们主要讨论总体分布为正态的情形 若样本容量很大 即使总体分布未知 应用中心极限定理 可得样本近似于正态分布 于是也可以近似求得参数的区间估计 5正态总体均值与方差的区间估计 一 单个总体N 2 的情况 由例1 取枢轴量为 均值 的区间估计 N 0 1 解得 的1 置信区间为 或 对给定的置信度 确定分位数 使 例1从一批钉子中抽取16枚 测得其长度为 单位 cm 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13 2 12 2 13 2 10 2 15 2 12 2 14 2 10 2 13 2 11 2 14 2 11 设钉长分布为正态分布 若已知 cm 求总体期望值 的90 置信区间 解 已知时 的置信度为1 的置信区间为 这里 因方差未知 取枢轴量为 对给定的置信度 确定分位数 使 即 从中解得 的1 置信区间为 或 续例1 2 若 未知 求总体 的90 置信区间 解 未知时 的置信度为1 的置信区间为 这里 方差 2的区间估计 2的1 置信区间为 的1 置信区间为 续例1 求总体标准差s的95 置信区间 解 s的置信度为1 的置信区间为 这里 s的置信度为95 的置信区间为 二 两个总体的情况 两个总体均值差的置信区间 样本 的置信区间为 由对称性 解得置信区间为 例2为提高某一化学生产过程的得率 试图采用一种新的催化剂 为慎重起见 在试验工厂先进行试验 设采用原来的催化剂进行了n1 8次试验 得到得率的平均值 91 73 样本方差s12 3 89 又采用新的催化剂进行了n2 8次试验 得到得率的平均值 93 75 样本方差s22 4 02 假设两总体都可认为服从正态分布 且方差相等 两样本独立 试求两总体均值差 1 2的置信水平为0 95的置信区间 解 置信区间为 现在 故所求的置信区间为 即 2 两个总体方差比的置信区间 解得置信区间为 例3研究由机器A和机器B生产的钢管的内径 随机抽取机器A生产的管子18只 测得样本方差s12 0 34 mm2 抽取机器B生产的管子13只 测得样本方差s22 0 29 mm2 设两样本方差相互独立 且设由机器A 机器B生产的管子的内径分别服从正态分布N 1 12 N 2 22 这里 i i i 1 2 均未知 试求方差比 12 22置信水平为0 90的置信区间 解 置信区间为 F 2 n1 n2 F0 05 17 12 2 59 n1 18 s12 0 34 n2 13 s22 0 29 0 10 F1 2 17 12 F0 95 17 12 1 F0 05 12 17 1 2 38 6 0 1 分布的区间估计 上述置信区间中置信限都是双侧的 但对于有些实际问题 人们关心的只是参数在一个方向的界限 例如对于设备 元件的使用寿命来说 平均寿命过长没什么问题 过短就有问题了 这时 可将置信上限取为 而只着眼于置信下限 这样求得的置信区间叫单侧置信区间 7单侧置信区间 引入单侧置信区间和置信限的定义 又若统计量满足 由于方差未知 取枢轴量 1 的单侧置信区间 正态总体中未知参数的单侧置信区间 对给定的置信水平 确定分位数 使 即 于是得到的置信水