四川省成都市高中数学 第4课时 绝对值三角不等式课件 新人教A版选修45.ppt

第4课时绝对值三角不等式 若点o为数轴的原点 a b为数轴上的任意两点 则一定有 ab ao ob 吗 如果原点o的坐标为0 而a b两点在数轴上的坐标分别为a b 那么一定有 a b a b 吗 预学1 定理1如果a b是实数 那么 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 议一议 说出不等式 a b a b 等号成立的条件 解析 等号成立的条件是ab 0且 a b 预学2 定理2如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 想一想 方程 2 x x 4 2的解集是多少 解析 2 x x 4 2 4 2 当且仅当 2 x x 4 0 即2 x 4时等号成立 方程 2 x x 4 2的解集为 2 4 预学3 a b 与 a b a b 与 a b 及 a b 之间的关系 a b a b a b a b a b 当ab 0时 a b a b 当ab 0时 a b a b 练一练 若a b r 且 a 3 b 2 则 a b 的最大值是 最小值是 解析 a b a b a b 故 a b 的最大值是5 最小值是0 答案 50 预学4 不等式 a b a b a b 中等号成立的条件左边等号成立的条件是ab 0 右边等号成立的条件是ab 0 a b a b 等号成立的条件是ab 0 想一想 不等式 a b a b a b 其中左右两边等号成立的条件分别是什么 解析 a b a b 等号成立的条件是ab 0 a b a b 等号成立的条件ab 0 2 利用绝对值三角不等式解决函数的最值问题例2 对于任意的实数a a 0 和b 不等式 a b a b m a 恒成立 1 求实数m的最大值 2 若实数m的最大值为m 当x 1时 解不等式 x 1 x 2 m 变式训练3 设函数f x x 3 x a 其中a r 1 当a 2时 解不等式f x 1 2 若对于任意实数x 恒有f x 2a成立 求a的取值范围 解析 1 当a 2时 f x 0 所以0 x 3 当x 3时 不等式为x 3 x 2 1 得 5 1 不等式恒成立 所以x 3 综上可知 不等式f x 1的解集是 0 2 因为f x x 3 x a x 3 x a a 3 所以f x 的最大值为 a 3 对于任意实数x 恒有f x 2a成立等价于 a 3 2a 当a 3时 不等式为a 3 2a 得a 3 当a 3时 不等式为 a 3 2a 得a 1 无解 综上 所求a的取值范围是 3 1 两数和与差的绝对值不等式的性质 a b a b a b 1 对绝对值三角不等式定理 a b a b a b 中等号成立的条件要深刻理解 特别是用此定理求函数的最值 2 该定理可强化为 a b a b a b 它经常用于证明含绝对值的不等式 2 含绝对值不等式的证明主要分两类 一类是比较简单的不等式 往往可通过平方法 换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题 或利用绝对值不等式的性质 a b a b a b 通过适当的添 拆项证明