【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）10.3 基本不等式及其应用第1课时 湘教版必修4.doc

10.3基本不等式及其应用第1课时基本不等式学习目标重点难点1记住基本不等式，会证明基本不等式；2能够利用基本不等式证明简单的不等式；3能够利用基本不等式解决简单的最值问题.重点：应用基本不等式求最值；难点：基本不等式的应用；疑点：基本不等式成立的条件.1基本不等式(1)定理1：对任意实数a，b，必有_(当且仅当ab时等号成立)(2)定理2：如果a，b是正实数，那么_(当且仅当ab时等号成立)预习交流1两个基本不等式之间有何关系？预习交流2两个平均数与等差中项、等比中项有何关系？2应用基本不等式求最值x，y都为正数，下面的命题成立：一般地，(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值_；(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值_预习交流3利用基本不等式求最值的条件是什么？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：1(1)a2b22ab(2)预习交流1：提示：不等式(a，br)是不等式a2b22ab的特殊情形，因此两者在结构上相似，并且都是在ab时，等号成立；但二者成立的条件是不同的，a2b22ab中a，br，但中，要求a，b都是正数预习交流2：提示：从数列的角度来看，a，b为正数时，可以把看作是正数a，b的等差中项，把看作是正数a，b的正的等比中项，这样，均值不等式又可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项2(1)(2)2预习交流3：提示：用基本不等式求最值时要注意：一正，二定，三相等即：(1)x，y均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值(3)注意等号是否能够成立一、基本不等式的理解给出下列结论：若x0，则x24；若a0，b0，则；当x时，sin x的最小值为6；若ar，则a2a.其中正确的结论的序号是_思路分析：从基本不等式成立的条件：“一正，二定，三相等”入手，对每一个结论分别进行研究，找出其中的正确结论下列不等式中恒成立的是()a(a1)2(a0)ba22(a0)ca296a(ar)dlg(a21)lg|2a|(a0)1两个基本不等式成立的条件有所不同，中要求a，br，而a2 b22ab中则只需a，br即可，应用时应注意区分2若要通过基本不等式得出ab的最小值是2，一方面要求ab是定值，另一方面要确保其中的“”能取到，即ab能成立，否则不能说最小值就是2.二、利用基本不等式证明不等式(1)已知m0，求证：6m24.(2)设a，b，c(0，)，且abc1，求证：8.思路分析：对于(1)，因为m0，所以可把和6m分别看作基本不等式中的a和b，直接利用基本不等式证明；对于(2)，考虑到abc1，可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为abc，化简后再利用基本不等式，然后根据不等式的性质证明1已知a，b，c，d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd.2已知a0，b0，且ab2，求证：2.1利用基本不等式证明不等式时，通常可以从已证的不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为需求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”2在证明不等式的过程中，注意充分利用“1的代换”，即把常数“1”替换为已知的式子，然后经过整理后再利用基本不等式进行证明三、利用基本不等式解决简单的最值问题已知f(x)4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值；(2)当x0时，求f(x)的最大值思路分析：当x0时，4x0，0，且4x36是一个定值，故可直接利用基本不等式的变形ab2求出f(x)的最小值；当x0时，4x0，0，不能直接利用基本不等式，可将函数解析式变形为f(x)，先求(4x)的最小值，从而得到f(x)的最大值1已知0x2，则函数f(x)x(2x)的最大值等于_2若x0，则函数f(x)1x的最小值为_1用基本不等式求最值的原理可简单地理解为：“积定和最小，和定积最大”2利用基本不等式的变形ab2可求ab的最小值，利用变形ab2可求ab的最大值已知x1，y1且xy1 000，求lg xlg y的最大值思路分析：由x1，y1可知lg x0，lg y0，且lg xlg ylg(xy)3是定值，因此可利用基本不等式的变形ab2求lg xlg y的最大值若实数x，y满足xy1，则2x2y的最小值是()a2 b2 c d1利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之2利用基本不等式求最值时一定要验证“”成立的条件，如果多次运用基本不等式，就要注意各不等式取“”时条件是否一致1给出下列命题：当x0时，有2；当x，y异号时，有2；当x1，y1时，有lg xlg y.其中正确命题的个数是()a0 b1 c2 d32函数f(x)3x3x的最小值是()a2 b1 c3 d23若实数a，b满足ab2，则3a3b的最小值是()a18 b6 c2 d24已知t0，则y的最小值为_5设a，b均为正实数，求证：ab2.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华技能要领答案：活动与探究1：解析：对于，只有当x0时，才有x24成立，故错误；对于，虽然有a0，b0，但lg a和lg b不一定都是正数，因此不一定有，故错误；对于，虽然当x时，sin x0，所以sin x26，但其中的等号成立的条件是sin x，即sin x3，这显然是不可能的，因此不能说sin x的最小值为6，故错误；对于，由于a2a222aa，所以正确迁移与应用：b解析：当a0时，a20，所以a222，当且仅当a2，即a1时，等号成立，故b选项正确活动与探究2：证明：(1)因为m0，由基本不等式得6m2221224，当且仅当6m，即m2时等号成立(2)由于abc1，所以.而2，2，2，于是88，当且仅当，即abc时等号成立，故原不等式成立迁移与应用：1证明：因为a，b，c，d都是正数，所以abcd2，acbd2，于是(abcd)(acbd)224abcd.当且仅当abcd且acbd时等号成立2证明：由于ab2，所以2，当且仅当，即ab时等号成立，所以原不等式成立活动与探究3：解：(1)当x0时，由基本不等式可得f(x)4x212，当且仅当4x，即x时，等号成立，故当x时，函数取到最小值12.(2)由于x0，所以f(x)4x，这时(4x)0，0，由基本不等式可得(4x)212，当且仅当4x，即x时，等号成立，于是f(x)12，即函数f(x)的最大值是12.迁移与应用：11解析：由于0x2，所以2x0，于是f(x)x(2x)21，当且仅当x2x，即x1时函数取最大值1.29解析：由于x0，所以f(x)1x1129，当且仅当x，即x4时，函数取最小值9.活动与探究4：解：由于x1，y1，所以lg x0，lg y0，因此lg xlg y2222，当且仅当lg xlg y，即xy时等号成立，故lg xlg y的最大值等于.迁移与应用：d解析：由于x，y是实数，所以2x0,2y0，于是2x2y222，故2x2y的最小值是.当堂检测1d解析：当x0时，x2，当x0时，x2，因此当x0时，有2，故正确；当x，y异号时，有2，故正确；当x1，y1时，lg x0，lg y0，所以lg xlg y22，故正确2a解析：由于3x0,3x0，所