【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.4.1 方程的根与函数的零点导学案 湘教版必修1.doc

2.4.1方程的根与函数的零点学习目标重点难点1知道函数零点的定义，会求函数的零点；2能说出函数零点的存在定理，会判断函数零点的存在性及存在区间；3能利用数形结合的方法分析方程根的个数或分布情况；4会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围.重点：明确函数零点的概念，会用零点存在定理判断零点的情况；难点：根据一元二次方程根的分布情况求参数范围；疑点：函数的零点与几何中的点的区别.1函数零点的定义(1)对于函数f(x)，把方程f(x)0的实数根叫作函数yf(x)的零点；(2)求方程f(x)0的实数根，就是确定函数yf(x)的零点；(3)函数yf(x)的零点，也就是函数yf(x)图象与x轴交点的横坐标预习交流1函数yf(x)的图象与x轴交点与函数yf(x)的零点有何联系与区别？提示：函数与x轴交点是一个点，用坐标(x0,0)表示函数yf(x)的零点是一个数值，是与x轴交点的横坐标，用x0表示两者联系在于函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标预习交流2所有的函数都有零点吗？提示：并非所有的函数都有零点，例如y，yx21就没有零点2函数零点的存在定理设f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化而且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在(a，b)内至少有一根，即存在x0(a，b)，使f(x0)0.预习交流3若yf(x)的图象连续不断，且f(x)在(a，b)内有零点，那么是否一定有f(a)f(b)0?提示：不一定例如函数f(x)x21在(2,2)内有零点1和1，但f(2)f(2)0.预习交流4若函数yf(x)的图象连续不断，且在a，b上是单调函数，那么当f(a)f(b)0时，f(x)的零点有何特点？提示：f(x)的零点存在且唯一一、求函数的零点求下列函数的零点：(1)f(x)；(2)f(x)x34x；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x.思路分析：求函数f(x)的零点，只需解方程f(x)0，所得解便是零点解：(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是3.(2)令x34x0，即x(x2)(x2)0，所以x0或x2或x2.所以函数f(x)的零点是0，2,2.(3)令2x30，解得xlog23，所以函数f(x)2x3的零点是log23.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是3.1函数f(x)x23x的零点是_答案：0和3解析：令x23x0，解得x0或x3，所以函数f(x)x23x的零点是0和3.2若函数f(x)x2axb的零点是2和4，则a_，b_.答案：28解析：由题意，知2和4是方程x2axb0的两根，即1函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点2已知函数的零点求参数值时，就是已知方程根的情况求参数值，对于二次函数，可借助根与系数的关系求参数值二、判断函数零点的个数判断下列函数零点的个数：(1)f(x)lg |x|；(2)f(x)x2.思路分析：判断函数零点的个数就是看方程f(x)0有几个根，因此实际上就是求方程f(x)0的根的个数，另外也可以画出函数的图象进行直观判断解：(1)方法一：令f(x)0，即lg |x|0，则|x|1，x1，故函数有两个零点方法二：利用图象法，画出f(x)的图象(如下图)，由图象可知，f(x)的图象与x轴有两个交点，因此函数有两个零点(2)方法一：令f(x)0，即x20.0.x0，x310.(x1)(x2x1)0.x1或x2x10.方程x2x10的根的判别式12430，方程x2x10无实数根函数f(x)只有一个零点方法二：由x20，得x2.令h(x)x2(x0)，g(x).在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，可知两图象只有一个交点，故函数f(x)x2只有一个零点函数f(x)2x的零点的个数是()a0 b1 c2 d不存在答案：c解析：令f(x)0得2x0，即0，解得x，所以函数有2个零点，选c1对于二次函数，判断其零点个数可转化为判断相应一元二次方程根的个数，从而根据判别式进行判断2对于非二次函数的函数，可采用两种方法判断零点个数：方法一是直接求出函数的零点进行判断；方法二是利用图象法，若函数本身的图象容易画出，可直接画出图象，观察它与x轴的交点个数；若函数f(x)的图象本身不易画出，则可由f(x)0得g(x)h(x)，而g(x)与h(x)的图象较易画出，这时g(x)与h(x)两图象交点个数就是f(x)零点的个数(如活动与探究2中(2)三、判断函数零点所在的区间函数yf(x)ln x的零点的大致区间是()a(1,2) b和(3,4)c(2,3) d(e，)思路分析：先根据图象判断零点的个数，再利用零点的存在性定理判断零点所在的大致区间答案：c解析：先根据函数g(x)=ln x与h(x)=的图象只有一个交点，说明函数y=f(x)=ln x只有一个零点f(1)= 20，f(2)=ln 210，在(1,2)内函数无零点，a不对又f(3)=ln 30，f(2)f(3)0.f(x)=ln x在(2,3)内有一个零点，选c函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()a(2，1) b(1,0) c(0,1) d(1,2)答案：b解析：由于f(2)60，f(1)30，f(0)10，f(1)50，f(2)100，因此f(1)f(0)0，故零点所在区间是(1,0)，选b判断一个函数的零点所在的区间时，主要就是考察函数在这个区间的两个端点的函数值的符号是否相反，若符号相反，则该区间内一定存在零点四、函数零点的应用关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围思路分析：本题可先根据题意，将方程化归为函数，画出函数的图象，通过图形抽象概括出有用信息，再转化为不等式组进行求解解：令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14，画出草图如图所示，依题意得或即或解得m0.已知关于x的方程x2(n1)x2n0有一个根小于1，另一个根大于1，求实数n的取值范围解：设f(x)x2(n1)x2n，由题意得，函数f(x)的图象与x轴有两个交点，图象开口向上，且一个交点的横坐标小于1，另一个交点的横坐标大于1，由此画出草图如图所示，由图可得即解得.所以实数n的取值范围为.解决有关根的分布问题应注意以下几点：(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题(2)结合草图考虑四个方面： 与0的大小；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系；开口方向(3)写出由题意得到的不等式(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点在写不等式时，要注意条件的完备性1下列函数没有零点的是()af(x)0 bf(x)2cf(x)x21 df(x)x答案：b2函数yx25x6的零点是()a2,3 b2，3 c1,6 d1，6答案：a3(2012北京高考，文5)函数f(x)x的零点个数为()a0 b1 c2 d3答案：b解析：函数f(x)x的零点个数即为方程x的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数y和函数yx的图象，两图象的交点个数即为f(x)x的零点个数，如图所示，其零点个数为1.4函数f(x)log2x2x1的零点必落在区间()a bc d(1,2)答案：c解析：f310，f210，f1110，f(1)0210，ff(1)0，故f(x)零点所在区间是，选c