山东省冠县武训高级中学高二数学 7.3 两条直线的位置关系同步辅导教材.doc

7.3 两条直线的位置关系 一、本讲进度 7.3 两条直线的位置关系 课本第45页至第54页二、本讲主要内容1、 两条直线位置关系的判断2、 两条相交直线和夹角及两条平行直线之间的距离的计算三、学习指导1、通过前面的学习，同学们知道，平面几何中的直线l（形）与代数中的二元一次方程ax+by+c=0（a、b不全为0，下同）（数）之间建立了一一对应的关系，实际上，直线l就是由数组（a、b、c）确定。因此，直线与直线之间的位置关系可由它们对应的数组之间的关系来确定。2、从定性的角度分析，两条直线的位置关系有平行、相交、重合。三种位置关系的判断可由这两条直线对应的方程构成的方程组的解的情况来判断。不妨设直线l1：a1x+b1y+c1=0(a12+b120)，直线l2：a2x+b2y+c2=0（a22+b220）联立两条直线方程 不失一般性，设a10，a20a2-a1得 (b1a2-b2a1)y=a1c2-a2c1 下对此一元一次型方程的解进行讨论：当b1a2-b2a10时，方程有唯一解，原方程组有唯一解。即时，直线l1与l2相交； 当 时，方程无解，原方程组无解。即时，直线l1与l2平行。当时，方程的解为一切实数，原方程组有无数个解，即时，直线l1与l2重合。教材是从斜截式的方程推导出两直线平行的条件，这是因为：（1）斜截式的几何特征比较明显，（2）斜截式就是初中所学的一次函数的解析式，同学们比较容易接受。上面的结论是从直线l方程的一般式推导出来的，偏重于方程的知识，体现了第一部分的指导思想。3、 从定量的角度，本小节研究了两个方面的问题：（1） 在两条直线平行的位置关系下，度量它们之间的距离。在点到直线距离公式的基础上，进一步可导出两平行线之间的距离公式，设l1：ax+by+c1=0,，l2：ax+by+c2=0，则l1与l2之间距离。 （2）在两条直线相交的情况下，度量它们所成的角的大小。若两条直线的位置确定，则选用倒角公式；否则选用夹角公式。4、 一般方程形式下的几种直线系： （1）与ax+by+c=0平行的直线系：ax+by+m=0 （2）与ax+by+c=0垂直的直线系：bx-ay+n=0 （3）过两条直线l1：a1x+b1y+c1=0与直线l2：a2x+b2y+c2=0的直线系：a1x+b1y+c1+(a2x+b2y+c2)=0，r。此直线系不包括直线l2，若要包含l2，可将直线系方程写成1(a1x+b1y+c1)+2(a2x+b2y+c2)=0（1、2r）。四、典型例题例1、当实数m为何值时，三条直线l1：3x+my-1=0，l2：3x-2y-5=0，l3：6x+y-5=0不能围成三角形。解题思路分析：本题的关键是l1、l2、l3不能围成三角形时，它们之间有多少种位置关系。可借助于逻辑知识进行分析。l1、l2、l3能围成三角形的充要条件是三条直线两两相交且不过同一点，其否定是三条直线不两两相交或均过同一点，即包含两种情形：（1）三条直线中至少有两条互相平行；（2）三条直线过同一点。记l1、l2、l3三条直线的斜率分别为k1、k2、k3，则k2=，k3=-6。在第一种情形中只可能l1l2，l1l3，k1=，k1=-6解之得m=-2或m=由得，l1与l3交于点（1，-1），将（1，-1）代入3x+my-1=0，得第二种情形下m的值：m=2 当m=2，或时，l1、l2、l3不能围成三角形例2、求过点（2，3），与坐标轴围成的三角形面积为2a，且满足下列条件的直线方程：（1） 平行于直线ax+4y+6=0（2） 垂直于直线ax+4y+6=0解题思路分析：（1） 设所求直线方程ax+4y+c1=0令x=0，y=-；令y=0，x=- c12=16a2 c1=4a 又（2，3）在直线ax+4y+c1=0上 2a+12+c1=0 (1)(2)联立或 （舍）或 所求直线方程为3x+2y-12=0（2） 设所求直线方程为4x-ay+c2=0令x=0，y=；令y=0，x=- c2=4a 又 8-3a+c2=0 联立解得（舍）或 所求直线方程为7x-2y-8=0注：本题也可在找出斜率关系的基础上，用点斜式方程求解。例3、已知两定点a（2，5），b（-2，1），m和n是过原点的直线l上两个动点，且|mn|=，lab，若直线am和bn交点c在y轴上，求m、n及c坐标。解题思路分析：本题用解方程的思想求点m、n的坐标，关键是寻找适当的等量关系。思路一：由直线bn与am在y轴上的截距相等找等量关系，下求直线bn和am方程。 kab=1 kl=1 可设m（a，a），n（b，b）由|mn|=得|a-b|=2 直线am：y-5=，令x=0，y=直线bn：y-1=，令x=0，y=令，得a=-b 联立得或 m（1，1），n（-1，-1），c（0，-3）或m（-1，-1），n（1，1），c（0，1）思路二；分别由b、n、c及a、m、c三点共线，借助于分比公式列方程设c（0，c），点m、n同思路一所设 b、n、c三点共线 bc+2c-3b=0 a、m、c三点共线 ac-3a-2c=0 联立，消去c得 a=-b即为思路一的（2）式，下同思路一说明：本题结论为两解，说明点c既可能是线段bn和am延长线的交点，也可能是线段bn和am的交点，即b与n及a与m既可能在y轴同侧，也可能在异侧。例4、abc中，a(-5，-3），b（3，1），c（-1，5），若p、q、r分别是abc的三边ab、ac、bc上的点，p分所成的比与q分所成的比均为，且pqqr，求r分所成的分比。解题思路分析：= p（-3，-2）= q（-2，3）思路一：用解方程的思想，由建立方程设，则r（，） pqqr 1 解之得思路二：用解方程的思想求出r点坐标，再用分比公式求分比直线bc：y-1=，y=-x+4 设r（x0，4-x0）则 ，kqp=5代入得 x0= r分分比例5、已知直线l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0（1） 求证：不论m为何实数，直线l恒过定点m；（2） 过定点m作一直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被m点平分，求l1的方程。 （3）若直线l2过点m，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小，求l2方程。解题思路分析：（1） 以m为主元，对方程进行整理：m(x-2y-3)+2x+y+4=0若定点m存在，设m(x0，y0)则关于m方程(x0-2y0-3)m+2x0+y0+4=0对一切实数m恒成立 定点m（-1，-2）（2） 中点坐标公式得l1与坐标轴交点坐标（-2，0），（0，-4） 直线l1：即 2x+y+4=0（3） 设直线l2：y+2=k(x+1)，显然k0令y=0，x=令x=0，y=k-2 4当且仅当k=-2时，围成的三角形面积最小，此时l2方程为2x+y+4=0五、同步练习 （一）选择题 1、直线l1：3x+5y+m=0与l2：6x+ny+4=0平行的条件是a、n=-10，m=-2 b、n=-10，m=2 c、n=10，m-2 d、n=10，m22、abc中，角a、b、c对边为a、b、c，则两直线xsina+ay+c=0，bx-ysinb+sinc=0的位置关系是a、平行 b、重合 c、垂直 d、相交不垂直3、已知两点a（-2，0），b（0，4），则线段ab的垂直平分线方程是a、2x+y=0 b、2x-y+4=0 c、x+2y-3=0 d、x-2y+5=04 直线l1：x=3 & l2：2x-y+3=0的夹角为a,则taga为：a: b: - c: 2 d: -2 5、 直线l1:mx-y=m-1，l2：my-x=2m交点在第二象限，则ma、（1，+） b、（-，） c、（0，） d、（，1）6、直线l与两直线l1：y=1，l2：x-y-7=0分别交于点p、q，若pq中点为m（1，-1），则kl等于a、 b、 c、 d、7、 直线3x-2y+m=0与直线(m2-1)x+3y+2-3m=0的位置关系是a、 平行 b、垂直 c、相交 d、与m取值有关 8、点p（x，y）在直线x+y-4=0上，o为原点，则|op|的最小值为a、 b、 c、 d、29、到直线3x-4y+1=0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是a、3x-4y+4=0 b、3x-4y+4=0或3x-4y-12=0c、3x-4y+16=0 d、3x-4y+16=0或3x-4y-14=010、直线l过p（1，2），且a（2，3），b（4，-5）到l的距离相等，则直线l的方程是a、 4x+y-6=0 b、x+4y-6=0c、3x+2y-7=0或4x+y-6=0 d、2x+3y-7=0或x+4y-6=0 （二）填空题11、点p（-1，3）在直线l上的射影为q（1，-1），则直线l的方程为_。12、过p（1，2）且与原点距离最远的直线方程是_。13、直线x+y-1=0与xsin-ycos-1=0（）的夹角是_。14、过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程是_。15、已知a+2b+3c=0，则直线ax+by+c=0必过定点_。 （三）解答题16、已知abc的三顶点a（-3，6），b（-6，-3），c（0，0），直线lbc，分别交ab、ac于m、n，若直线l将abc分成三角形和四边形两部分面积之比为45。（1） 求直线l方程； （2）在边bc上求点p，使pmn为直角三角形。17、已知直线l经过p（-1，1），它被两平行直线l1：x+2y-1=0，l2：x+2y-3=0所截得线段m1m2的中点m在直线l3：x-y-1=0上，试求直线l方程。18、如图，已知正方形abcd的中心在e（-1，0），一边ab所在直线方程为x+3y-5=0，求其它三边所在直线方程。19、已知等腰直角三角形abc的斜边在ab直线3x-y=0上，直角边bc过点（4，-2），且此三角形面积为10，求此直角三角形的直角顶点坐标。20、abc顶点a（2，8），ab边上中线cd所在直线方程为4x+7y-24=0，b平分线be所在直线方程为x-2y+4=0，求点b、c坐标。六、参考答案（一） 选择题1、d。 n=10，m22、c。 两条直线斜率分别为， 3、c。4、a。 画图分析知，与l2倾斜角互余 tan=2 tan=5、c。 联立得交点（）、 0m6、a。 yp=1，ym=-1 yq=-3xq=4 q(-3,4) 7、c。8、b。|op|最小值为点o到直线x+y-4=0的距离，9、d。设所求直线方程为3x-4y+c=0，则 c=14，或c=-1610、c。 当a、b在l两则时，l过ab中点（3，-1） 直线l为过（1，2），（3，-1）的直线，其方程为3x+2y-7=0当a、b在l同侧时，lab，l方程为4x+y-6=0（二） 填空题11、 x-2y-3=0。lpq， 直线l过点q。斜率为12、 x+2y-5=0。满足条件的直线l为opl， 13、。设两条直线夹角为则 （） +（） ， 14、4x-3y+9=0。设过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0交点的直线方程为2x+3y+1+(x-3y+4)=0即 (2+)x+3(1-)y+1+4=0由已知：3(2+)+12(1-)=0 =215、 c=-(a+2b) 直线方程可化为=0，该方程对一切实数a、b均成立 （三）解答题 16、解（1）：samnsmncb=45 samnsabc=49 m、n分别分、所成的比为21 m（-5，0）同理，n（-1，2） 直线l方程为x-2y+5=0 （2） 边bc方程x-2y=0，-3y0设p（2y0，y0），-3y00 若pmpn，则 y0=-1，满足条件 p（-2，-1） 若pmmn，则 y0=-2,满足条件 p（-4，-2） 若pnnm，则 y0=0，满足条件 p（0，0）综上所述，点p为（-2，-1），（-4，-2），（0，0）17、解： m为m1m2中点 m到l1、l2距离相等 点m在与l1、l2平行且距离相等的直线上，此直线方程为x+2y+，即x+2y-2=0由得 m（） 直线l过p（-1，1）及m（），其方程为2x+7y-5=018、解：设cd所在直线方程为x+3y+m=0，则由e到ab、cd距离相等得 m=7，或m=-5（舍） 直线cd方程为x+3y+7=0 bcab 可设直线bc方程为3x-y+n=0，同上述理由得： n=9或n=3当n=9时，直线方程为3x-y+9=0为直线bc方程当n=-3时，直线方程3x-y-3=0为直线ad方程综上所述，其它三条边cd、bc、ad所在直线方程分别x+3y+7=0，3x-y+9=0，3