涉及多个自变函数的定积分的驻值问题.doc

1.2.5 涉及多个自变函数的定积分的驻值问题 i/ 泛函形式： （l=1,2,n）ii/ 求V的驻值：iii/ 利用分部积分法，可得：=0= n个Euler方程(Euler方程组) r =1,2,n (微分方程组)以及多种可能的边界条件。* 上式在理论力学中称 Lagrange方程，是具有 n 个自由度的保守系统的运动方程。* Hamilton原理正是说明Lagrange方程可来自于泛函驻值的求解。* 若添加多个自变函数及他们的高阶导数，可获得与上一节类似结果。1.2.6 重积分的驻值问题问题的提法：平面上有一区域,的边界为C,要求在区域中找一个函数w(x,y),使下列重积分取驻值： J=, 在C1 上，（已知）目的：把上述泛函转化成偏微分方程的边值问题。解：求 J 的一阶变分得：寻找 dwx, wy 与dw的关系，由Gauss定理： ,是外界的外法线与x,y轴的夹角，C是边界曲线的弧长。若在上式中取 u=u1(x,y)u2(x,y) v=v1(x,y)v2(x,y)则得 整理后得，（面积分的分部积分公式）取： ， , 代入后，便得 因为在c上,c1中 w已知，即dw = 0,所以上式线积分仅对c2部份，代入到dJ 式，经整理得：为使J 取驻值，必须有：（道理同前） 还可再推广至更多重积分和自变函数多个及高阶偏导情况。1.2.7 三自变量函数的条件驻值问题remark:i/. 前几节讨论的几类泛函驻值，习惯称为无条件驻值。并不是说完全无条件，至少应有：1) 自变函数的连续性质应使泛函有意义（积分存在）；2）自变函数满足一部分边界条件。但这些条件较易满足，以至不把其作为条件。ii/. 本节的泛函，除上述条件外，还有其他条件应须满足。iii/. 求解泛函的条件驻值，常用Lagrange乘子法，与多自变量函数条件驻值的Lagrange乘子法十分相似。本节先从三自变量函数的条件驻值，讲清拉氏乘子法的数学原理。问题：寻找 F=F(x,y,z) 的驻值，并满足条件: (x,y,z)=0 既在空间曲面(x, y, z) = 0上寻找函数 F 的驻值点。思路： 转换上述问题为无条件驻值时有多种办法，视条件的分离难易程度。若能： 1）将 (x, y, z) = 0 z = f(x, y) Fx, y, f(x,y) 2) 将(x,y,z)=0 x = x(u, v) , y = y(u,v), z = z(u, v) F x( u , v), y(u , v), z(u , v) 3)采用拉氏乘子法 取曲面上的一点 p = p(x , y , z) F(xp , yp , zp), 取曲面上的另一点Q(x+dx , y+dy , z+dz) 是 p 的邻点; 因为Q在面上，故有： 在Q点函数值的微分： Note: dr 曲面F的切面上的一个无穷小矢量；与切面上的任意矢量垂直。 在p点上，若与平行，则 dF=0, 即在p的无穷小邻域内找不到能使dF大于或小于零的点，故p为使F取驻值的点。（这句话反过来理解较顺） 若不与平行，可分解成两个矢量，一个与平行，取作 -l（为一适当常数）,另一个与垂直，取作G，即有：= -+GG = 0 在p上，沿G 方向取一无穷小矢量 dr = G (为一无穷小数) 及 的思想代入dF 式，得: dF = dr = G (-+G) = G G 由此可知，若G不等于零，则可以取正或负的使dF大于或小于零，所以 F 取驻值的条件应使G = 0，即 = - + = 0写成分量形式， 即： , , 结合条件 ,便可决定x,y,z,四个量。上式条件是F 取驻值的充要条件 一般作法： a). 构造一个新的函数 把x,y,z,看作可以是无条件变化的自变量，求F*的驻值 b). F*取驻值的条件: ，即 ， ， ，c).由于F* 线性地依赖于，所以不论原函数F是否有极值，新函数F*不可能有极值，它关于l只能有非极值的驻值。以上的方法称为Lagrange方法。Homework: 按以上思路及步骤，求证 F = F(x, y, z) 取驻值的条件；需满足 s.t. 1.2.8 带有定积分条件的定积分的驻值问题考虑如下驻值问题:在区域 a x b 内寻找一个函数w(x)使它们满足边界条件:在x= a 及 x= b处 w =已知, 已知 （广义固支）此外，还使得其满足积分条件： 为已知常数，并使下列积分(泛函)取驻值： 解法1： 按拉氏法：可以把此问题化成一个无条件的泛函驻值问题，新泛函是： 是一个影响泛函取值的泛函的自变量，与积分变量x无关，是本式中的拉氏乘子，可以证明原问题的条件驻值和新泛函的无条件驻值问题相当。事实上，关于V* 对取驻值条件 , V* 便退化成 V，于是两个问题完全相当。解法2：(一种几何概念比较明显的证明）a). 设原问题要求函数w(x)事先满足积分条件，故当w(x)有变分时，条件式的值不应变化，即：（不应有增量） b). 利用分部积分及边界条件，此式化为: c).为以后代数描述方便，记一个微分算子如下: 原式便简写成： , 记作：() =0d). 解释：把满足在x =a 及x =b 上积分（泛函）存在条件的所有函数，设想构成一个函数空间（从被积函数上看，该函数空间应当属于二阶连续可微函数的集合），那么每一个特定的w(x)相当于空间中的一个点，积分条件在函数空间中划出一个子空间，待求的w(x)便应在这个子空间内，算子是函数空间中的一个“梯度”算子，条件的几何意义便是与正交。e). 再求原泛函的一阶变分，得 f). 将（是一个函数）分解成两部分：一部分与平行, 取为-，其中为一常数；另一部分与正交，设它为G，于是有： =G - 应满足 （函数正交的定义）g). 消去上两式中的G，得到: h).将的分解式代入V，并注意到, 即得: 若G 不等于零，取： （这样取才能满足上述积分式）其中，为一无穷小常数，是一种允许的变分，代入V 式: 所以如果G0，那么可取或正或负的值，便可使V大于或小于零，由V 取驻值的充要条件（） G = 0即： = Note:是变分的结果，所以 Example: 在0 x b的区域内，决定一个函数y(x),使它满足边界条件: , 和约束条件： 并使 取最大值解： 作新泛函 由Euler方程：配成全微分后得: 若令 = ，为两个积分常数；，三个常数可由边界条件及约束条件式决定。1.2.9 带有微分方程条件的定积分的驻值问题问题：在自变量x 的区间 a x b 内找两个函数，使得它们满足微分方程和边界条件： 在x=a 处，u=u1 , v=v1 在x=b 处，u=u2 , v=v2 并使泛函 取驻值。作法（拉氏乘子法）：需要引进一个恰当的拉氏乘子l 作一个新的泛函，这个泛函对l取驻值的条件应该就是原先给定的微分方程。因此，当 u, v无变分而只有l有变分时，应该有下列形式： from the variation of with respect to lNote: 由变分学基本原理，当，为任意x的连续函数时，一定为0，故退化为原微分条件，这正是我们希望的。 所以，对于微分方程的约束条件，l应该是x的连续函数，而新泛函为：其中，对u,v取驻值，得到： ， 上述条件联立，即可决定u,v,l。Note: 引进拉格朗日乘子和构造新泛函的要点是：新泛函对拉格朗日乘子取驻值的条件，恰好就是原先给定的附加条件。关于变分法的说明1. 泛函的变分原理与微分方程的求解等价，但微分方程的求解一般不易获得甚至不存在解析函数解或强收敛解。我们一方面是对该种变分原理的认识和理解，以及掌握变分法的计算规则；另一方面寻找弱性的近似逼近方法才是我们的目的，有限元方法即是这种思想的延伸。2. 关于强收敛与弱收敛的概念强收敛的定义：设X是一个赋范线性空间，其范数为，对X中的一个向量序列xn, n =1,2,3, 若：，则称该序列强收敛于向量。实际上，连续函数的一致逼近即为一个强收敛过程（连续函数集合可构造成一个赋范线性空间）。弱收敛定义：设X是一个内积空间，,其内积定义为： 对于X中的一个向量序列 xn, n=1,2,3, 若 ， 则说序列xn弱收敛于x。泛函的极小化序列逼近就是弱收敛于真解的概念，即： 所以泛函驻值的极小化序列逼近实为求微分方程系统的弱解。（Hilbert）3. 自变函数的变分一定是一种允许的变分，一方面使泛函有意义，另一方面需满足基本边界条件。尽管如此，泛函中自变函数的变分还是非常任意的（特别是对于多自变函数的情况）。积分形式的泛函中被积函数一般视为连续函数，这样泛函的变分来源于被积函数中的自变函数的变分。因此，计算时直接对被积函数计算变分即可，而与被积函数的自变量变化无关。4除基本边界条件之外的泛函约束条件，一般使泛函驻值性质发生变化，这在拉氏乘子法中已有明确的分析，而且将极值解转化为非极值的驻值问题。1.3 泛函驻值的极小化序列逼近i) 函数空间的基本认识a) 由一定性质的全体函数可构成一个函数的集合，集合中的函数称为元素。如，（1） 全体连续函数的集合，（2） 全体可积函数的集合， （有界函数）（3） 全体一阶连续导函数集合，（4） 全体k阶连续导函数集合，（5） 全体n阶多项式函数集合， (nk)可以看出，这些函数存在包含关系：b) 若存在某个性质的函数集合中，满足（设取）（1） ，则，（2） 为任意实数，则，则称该函数集合为实线性空间（向量空间）。c) 若存在函数子序列，当时，收敛于该空间的某个函数f，则称该空 间是完备的，即，d) 线性空间的维数与基底若有线性无关的完备函数序列，对空间中的任一元素f可表示为：，为实数 (如多项式)则n 为空间的维数，为空间的基底或坐标函数（类似于欧氏空间的坐标）。若，则称为无限维空间（函数空间）。e) 函数子空间由几个线性无关的“向量”线性组合所张成的子空间。即，存在且线性无关，使，其中ii) 泛函驻值逼近的Ritz方法a) Ritz法的一般描述问题：满足 的奇次条件下，求泛函的极小值。l 选择合适的坐标基函数满足：（1） 满足边界条件；（2） 任何有限个这样的函数线性无关；（3） 这些函数是完备的，即满足边值条件的函数都能用它们有限个的线性组合来逼近。l 在张成的子空间内建立变分允许的函数：，是待定常数l 求泛函的极小值序列逼近：（1） 代入到泛函表达式中，得： （2） 因为序列已经选定，不同的仅依赖于参数，所以此时实际是 的函数，记：;.（3） 改写原函数为：（4） 求泛函的驻值转化为求函数F的极值，即由必要条件设： （5） 解上述代数方程组，获得。此刻获得的是在n维子空间上是使泛函取极小值的解，即为泛函极小化序列中的一个元素（子空间上的能量最佳逼近）。当时，即可获得在允许泛函空间中逼近泛函极值的“真”解。（6） 上述解过程即在子空间上寻找一个最佳值，这可以在几何空间上有一个解释：是子空间上离真解最近的点，也可称为空间一个向量在子空间上的投影。Example: 设，求解：该问题的求解可转化为： 请验证该泛函的变分为上述微分方程！解：取坐标函数 (满足位移边界条件及可积性)（1） 将f对展开： (已知的，用内积表示)。将u对展开：（系数未定且为函数u的近似） Note: , （2）（3） 对求导并令这个导数为零，则有： （）（4）得解函数：（5） 选取作为坐标函数是理想的，因为： （）所以，是：的解。其中是矩形域上Laplace算子第一类边值问题的固有值（特征值），相应的是固有函数（特征函数（向量），且有正交完备性，即：并且任意函数都能展开成的级数。（再一次看到函数空间与几何空间的可比性）homework：用Ritz法求挠度函数，EJ为常数。iii) Galerkin（伽辽金）法 （1915 Russia）这种思想称为加权余量法，可以不用构造函数泛函而直接求解微分方程的边值问题。可以证明在能构造泛函使边值问题化为变分问题的情形下，Galerkin法等效于Ritz法。但对不能化为变分问题的情形下，Ritz法不能用了，而Galerkin法仍然可以使用。故Galerkin法比Ritz法使用范围要广。仍以Poisson方程的Dilichlet问题为例，即解：（1） 近似函数的选择同Ritz法，即，是待定常数（2） 令近似满足方程组：（加权余量方程积分）或（3） 上式是关于的线性方程组，解得即得（4） 在（2）中，称为权函数，除上述取为基函数外，还可有其他多种函数。几点说明：i) Ritz法和Galerkin法是现代计算力学的理论基础，有限元、边界元法都是以这些理论基 础为依据。ii) Ritz法和Galerkin法以满足全域得连续函数作为坐标函数，这将引起求解得代数方程组 满阵，造成较大得计算工作量。有限元法则是寻找分片连续函数来逼近，使解得计算量减小和有效性增大。iii) 从物理观点上看，Ritz法以最小势能原理为基础，所以近似解得势能始终大于真解势能，因此，给