高中数学 第1章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射课件 新人教A版必修1.ppt

第一章1 2 2函数的表示法 第2课时分段函数及映射 1 掌握简单的分段函数 并能简单应用 2 了解映射概念及它与函数的联系 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一分段函数在函数的定义域内 对于自变量x的不同取值区间 有着不同的 这样的函数通常叫做分段函数 思考分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同 那么分段函数是一个函数还是几个函数 分段函数的定义域和值域分别是什么 答分段函数是一个函数 而不是几个 各段定义域的并集即为分段函数的定义域 各段值域的并集即为分段函数的值域 答案 对应关系 答案 返回 知识点二映射映射的定义 设a b是两个的集合 如果按某一个确定的对应关系f 使对于集合a中的元素x 在集合b中都有的元素y与之对应 那么就称对应为从集合a到集合b的一个映射 思考函数与映射有何区别与联系 答函数是一种特殊的映射 即一个对应关系是函数 则一定是映射 但反之 一个对应关系是映射 则不一定是函数 f a b 非空 任意一个 唯一确定 题型探究重点突破 题型一分段函数求值 解析答案 2 若f a 3 求实数a的值 解当a 2时 a 1 3 即a 2 2 不合题意 舍去 当 2 a 2时 a2 2a 3 即a2 2a 3 0 a 1 a 3 0 得a 1 或a 3 1 2 2 3 2 2 a 1符合题意 当a 2时 2a 1 3 即a 2符合题意 综上可得 当f a 3时 a 1 或a 2 解析答案 反思与感悟 1 分段函数求值 一定要注意所给自变量的值所在的范围 代入相应的解析式求值 2 已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值 可分段利用函数解析式求得自变量的值 但应注意检验分段解析式的适用范围 也可先判断每一段上的函数值的范围 确定解析式再求解 反思与感悟 解析答案 a 2b 3c 4d 5 解析 1 因为 2 0 所以f 2 2 2 所以f f 2 f 2 22 4 c 解析答案 题型二分段函数的图象及应用 反思与感悟 1 画出f x 的图象 解利用描点法 作出f x 的图象 如图所示 2 求f x 的定义域和值域 解由条件知 函数f x 的定义域为r 由图象知 当 1 x 1时 f x x2的值域为 0 1 当x 1或x 1时 f x 1 所以f x 的值域为 0 1 反思与感悟 1 分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式 所以它的图象也由几部分构成 有的可以是光滑的曲线段 有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线 而分段函数的定义域与值域的最好求法也是 图象法 2 对含有绝对值的函数 要作出其图象 首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号 将函数转化为分段函数来画图象 3 画分段函数图象时还要注意端点是 实心点 还是 空心点 解析答案 图象如图 解析答案 题型三映射的概念例3判断下列对应是不是映射 反思与感悟 解是映射 2 a n b n f y x 1 x a y b 解对于a中的元素1 在f作用下的像是0 而0 b 故 2 不是映射 解是映射 4 a r b y y r y 0 f y x x a y b 解对于a中的元素1和 1 在f作用下的像都是1 所以f是映射 反思与感悟 映射是一种特殊的对应 它具有 1 方向性 映射是有次序的 一般地从a到b的映射与从b到a的映射是不同的 2 唯一性 集合a中的任意一个元素在集合b中都有唯一元素与之对应 可以是 一对一 多对一 但不能一对多 解析答案 跟踪训练3下列对应是从集合m到集合n的映射的是 a b c d 解析对于 集合m中的元素0在n中无元素与之对应 所以 不是映射 对于 m中的元素0及负实数在n中没有元素与之对应 所以 不是映射 对于 m中的元素在n中都有唯一的元素与之对应 所以 是映射 故选d d 解析答案 题型四求某一映射中的像或原像例4设f a b是a到b的一个映射 其中a b x y x y r f x y x y x y 1 求a中元素 1 2 的像 解a中元素 1 2 在b中对应的元素为 1 2 1 2 即a中元素 1 2 的像为 3 1 2 求b中元素 1 2 的原像 反思与感悟 反思与感悟 求某一映射中的像或原像 要准确地利用对应关系 恰当地列出方程或方程组 解析答案 跟踪训练4设集合a b都是坐标平面上的点集 x y x r y r 映射f a b使集合a中的元素 x y 映射成集合b中的元素 x y x y 则在f作用下 像 2 1 的原像是 b 解析答案 题型五映射的个数问题例5已知a a b c b 1 2 1 从a到b可以建立多少个不同的映射 从b到a呢 解从a到b可以建立8个映射 如下图所示 从b到a可以建立9个映射 如图所示 解析答案 反思与感悟 2 若f a f b f c 0 则从a到b的映射中满足条件的映射有几个 解欲使f a f b f c 0 需a b c中有两个元素对应 1 一个元素对应2 共可建立3个映射 反思与感悟1 如果集合a中有m个元素 集合b中有n个元素 那么从集合a到集合b的映射共有nm个 从b到a的映射共有mn个 2 映射带有方向性 从a到b的映射与从b到a的映射是不同的 解析答案 跟踪训练5设集合a a b b 0 1 则从a到b的映射共有 a 2个b 3个c 4个d 5个 c 解析答案 例6求函数y x 1 x 1 的最小值 作出函数图象如图所示 由图象可知 x 1 1 时 ymin 2 数形结合利用图象求分段函数的最值 解题思想方法 解析答案 返回 跟踪训练6设x 求函数y 2 x 1 3 x 的最大值 解当x 1时 y 2 x 1 3x x 2 当0 x 1时 y 2 x 1 3x 5x 2 当x 0时 y 2 x 1 3x x 2 依所求解析式作出图象 如图所示 由图象可以看出 当x 0时 ymax 2 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 c 解析答案 2 下列集合a到集合b的对应中 构成映射的是 解析在a b选项中 由于集合a中的元素2在集合b中没有对应的元素 故构不成映射 在c选项中 集合a中的元素1在集合b中的对应元素不唯一 故构不成映射 只有选项d符合映射的定义 故选d d 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 d 解析答案 1 2 3 4 5 4 设f a b是从集合a到b的映射 a b x y x r y r f x y kx y b 若b中元素 6 2 在映射f下的原像是 3 1 则k b的值分别为 2 1 1 2 3 4 5 5 如图所示 函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成 则函数的解析式为 答案 课堂小结 1 对映射的定义 应注意以下几点 1 集合a和b必须是非空集合 它们可以是数集 点集 也可以是其他集合 2 映射是一种特殊的对应 对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达 2 理解分段函数应注意的问题 1 分段函数