【全程复习方略】高中数学 课时提升卷 第三讲 二维形式的柯西不等式 新人教A版选修45(1).doc

课时提升卷(九)二维形式的柯西不等式（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知a,b(0,+),x1,x2(0,+),使不等式(ax1+bx2)(bx1+ax2)x1x2成立的一个条件是()a.a+b=1 b.a2+b2=1c.a=b=1 d.a2+b2=122.(2013西安高二检测)已知r,则42+sin2+2cos的最大值是()a.23 b.3 c.63 d.63.(2013陕西高考改编)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为()a.2 b.3 c.4 d.14.已知3x+2y=1.当x2+y2取最小值时,x,y的值为()a.x=313,y=213b.x=213,y=313c.x=16,y=14d.x=14,y=165.已知为锐角,a,b均为正实数.则下列不等式成立的是()a.(a+b)2a2cos2+b2sin2b.(a+b)2a2cos2+b2sin2c.a2+b2=a2cos2+b2sin2d.(a+b)2a成立,常数a的取值范围为.8.已知a1,a2,b1,b2为正实数,则(a1b1+a2b2)a1b1+a2b2.9.(2013苏州高二检测)函数f(x)=x2-8x+20-x2-6x+10的最大值是.三、解答题(1011题各14分,12题18分)10.已知x,y,a,br+,且ax+by=1.求x+y的最小值.11.(2013徐州高二检测)已知a,b,c为正数,且满足acos2+bsin2c,求证:acos2+bsin2c.12.(能力挑战题)用柯西不等式推导点p(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0(a2+b20)的距离公式.答案解析1.【解析】选a.(ax1+bx2)(bx1+ax2)=(ax1)2+(bx2)2(bx1)2+(ax2)2(ax1ax2+bx2bx1)2=(ax1x2+bx1x2)2=(a+b)2x1x2,所以a+b=1时,可有(ax1+bx2)(bx1+ax2)x1x2.2.【解析】选b.由42+sin2+2cos42+(2)2(2+sin2)2+cos2=36.当且仅当4cos=2(2+sin2),即sin=63,cos=33时,等号成立,故选b.3.【解题指南】分析已知条件的结构形式,有和有积,所以考虑利用柯西不等式求解.【解析】选a.(am+bn)(an+bm)(aman+bnbm)2=mn(a+b)2=21=2,当且仅当aman=bnbmm=n时取最小值2.4.【解析】选a.x2+y2=113(x2+y2)(32+22)113(3x+2y)2=113,当且仅当x3=y2时取等号,得x=313,y=213.5.【解析】选a.设m=acos,bsin,n=(cos,sin),则|a+b|=acoscos+bsinsinacos2+bsin21=a2cos2+b2sin2,所以(a+b)2a2cos2+b2sin2.6.【解析】选d.如图,设内接长方形abcd的长为x,则宽为4r2-x2,于是abcd的周长l=2(x+4r2-x2)=2(1x+14r2-x2).由柯西不等式得l2x2+(4r2-x2)212(12+12)12=22r2=42r.当且仅当x1=4r2-x21,即x=2r时等号成立.此时,4r2-x2=4r2-(2r)2=2r,即四边形abcd为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为42r.7.【解析】3x+6+14-x=3x+2+114-x,由柯西不等式得(3x+2+114-x)2(3+1)(x+2+14-x)=64,所以3x+6+14-x8,当且仅当x=10时取“=”,于是,常数a的取值范围是(-,8).答案:(-,8)8.【解题指南】对比柯西不等式的原型,构造两组向量数可取为:=(a1b1,a2b2),=a1b1,a2b2.【解析】(a1b1+a2b2)a1b1+a2b2=(a1b1)2+(a2b2)2a1b12+a2b22a1b1a1b1+a2b2a2b22=(a1+a2)2.答案:(a1+a2)2【拓展提升】利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1a)、变形等.9.【解题指南】由三角形式稍作变化,即得(a-c)2+(b-d)2-c2+d2a2+b2.【解析】f(x)=x2-8x+20-x2-6x+10=(x-4)2+22-(3-x)2+12(x-4)+(3-x)2+(2+1)2=10.答案:1010.【解题指南】可以整体代换:x+y=(x+y)ax+by,也可以用柯西不等式.【解析】构造两组实数x,y,ax,by.因为x,y,a,br+,ax+by=1,所以x+y=(x)2+(y)2ax2+by2(a+b)2.当且仅当xax=yby,即xy=ab时取等号.所以(x+y)min=(a+b)2.【一题多解】x+y=(x+y)(ax+by)=a+b+yax+xbya+b+2ab=(a+b)2,当且仅当ayx=bxy,即ay2=bx2时,取等号.所以x+y的最小值为(a+b)2.11.【证明】由柯西不等式,得acos2+bsin2(acos)2+(bsin)212(cos2+sin2)12=(acos2+bsin2)12c.12.【解析】设点p1(x1,y1)是直线l上的任意一点,则ax1+by1+c=0.(1)|p1p|=(x0-x1)2+(y0-y1)2.(2)点p1,p两点间的距离|p1p|有最小值,有a2+b2(x0-x1)2+(y0-y1)2|a(x0-x1)+b(y0-y1)|=|ax0+by0+c-(ax1+by1+c)|,由(1)(