【全程复习方略】高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

空间向量的数量积运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知|a|=1,|b|=2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()a.60b.30c.135d.45【解析】选d.因为a-b与a垂直,所以(a-b)a=0,所以aa-ab= |a|2-|a|b|cos=1-12cos=0,所以cos=22.因为0180,所以=45.2.(2014广州高二检测)若a,b均为非零向量,则ab=|a|b|是a与b共线的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分又不必要条件【解析】选a.ab=|a|b|cos=1=0,即a与b共线,反之不成立,因为当a与b共线反向时,ab=-|a|b|.3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a+3b|等于()a.7b.10c.13d.4【解析】选c.|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2=1+6cos60+9=13.所以|a+3b|=13.4.(2014青岛高二检测)已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()a.8b.652c.4d.65【解析】选d.cos=49,所以sin=659,所以平行四边形的面积s=|a|b|sin=65.5.已知pa平面abc,垂足为a,abc=120,pa=ab=bc=6,则pc等于()a.62b.6c.12d.144【解析】选c.因为pc=pa+ab+bc,所以pc2=pa2+ab2+bc2+2abbc= 36+36+36+236cos60=144.所以|pc|=12.6.(2014福州高二检测)若向量m垂直于向量a和b,向量n=a+b(,r,且0),则()a.mnb.mnc.m,n既不平行也不垂直d.以上三种情况都可能【解析】选b.因为mn=m(a+b)=ma+mb=0,所以mn.【一题多解】选b.由向量n=a+b(,r,且0)知向量n与向量a,b共面,故向量mn.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则ab等于.【解析】ab=(2i-j+k)(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:-28.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则ab+bc+ca的值为.【解题指南】本题的关键是利用条件a+b+c=0,两边平方,再结合模求解.【解析】因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,所以ab+bc+ca=-32+12+422=-13.答案:-139.(2014聊城高二检测)设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则=.【解析】因为(2m+n)(m-3n),所以(2m+n)(m-3n)=0,化简得mn=-2.又因为|a|=16+4+16=6, |b|= =49+16-56=3,ab=(4m-n)(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+mn=18,所以cos=1863=1,得=0.答案:0【变式训练】已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,求.【解析】(a+3b)(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16ab=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30ab=0,解之得|b|2=2ab=|a|2,所以cos=12,所以=60.三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图所示,已知adb和adc都是以d为直角顶点的直角三角形,且ad=bd=cd,bac=60.求bdac的值.【解析】不妨设ad=bd=cd=1,则ab=ac=2.bdac=(ad-ab)ac=adac-abac,由于adac=ad(ad+dc)=adad=1,abac=|ab|ac|cos60=2212=1.所以bdac=0.11.(2014牡丹江高二检测)如图所示,已知平行六面体abcd-a1b1c1d1的底面abcd是菱形,且c1cb=c1cd=bcd=60.求证:cc1bd.【解题指南】利用已知条件表示所证明的两条直线所在的向量的数量积为0,即可证明两条直线垂直.【证明】设cb=a,cd=b,cc1=c,则|a|=|b|.因为bd=cd-cb=b-a,所以bdcc1=(b-a)c=bc-ac=|b|c|cos60-|a|c|cos60=0,所以cc1bd,即cc1bd.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知a,b是异面直线,ab,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()a.-6b.6c.3d.-3【解析】选b.由ab,得ab=0,所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0.因为e1e2=0,所以2k-12=0,所以k=6.2.(2014郑州高二检测)设平面上有四个互异的点a,b,c,d,已知(db+dc-2da)(ab-ac)=0,则abc是()a.直角三角形b.等腰三角形c.等腰直角三角形d.等边三角形【解析】选b.因为db+dc-2da=(db-da)+(dc-da)=ab+ac,所以(ab+ac)(ab-ac)=|ab|2-|ac|2=0,所以|ab|=|ac|.3.(2014银川高二检测)已知在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60,则此平行六面体的对角线ac1的长为()a.3b.2c.5d.6【解析】选d.因为ac1=ab+ad+aa1,所以|ac1|2=(ab+ad+aa1)2=ab2+ad2+aa12+2abad+2abaa1+ 2adaa1=1+1+1+2(cos60+cos60+cos60)=6,所以|ac1|=6.【拓展延伸】求两点间的距离或某条线段的长度先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=aa,通过向量运算去求|a|,即得所求距离.4.(2014天津高二检测)如图,正四面体abcd中,e是bc的中点,那么()a.aebcaecdd.aebc与aecd不能比较大小【解析】选c.因为aebc=12(ab+ac)(ac-ab)=12(|ac|2-|ab|2)=0,aecd=(ab+be)cd=ab(bd-bc)+12bccd=|ab|bd|cos120-|ab|bc|cos120+12|bc|cd|cos120aecd.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,四面体abcd的每条棱长都等于2,点e,f分别为棱ab,ad的中点,则|ab+bc|=,|bc-ef|=,ef与ac所成角为.【解题指南】可先化简ab+bc知其等于ac,再用bd表示ef进而把向量bc-ef用向量bc,12bd表示.【解析】|ab+bc|=|ac|=2;ef=12bd,bdbc=22cos60=2,故|bc-ef|2=|bc-12bd|2=bc2-bcbd+14bd2=4-2+144=3,故|bc-ef|=3.又因为ef=12bd=12(ad-ab),故acef=12ac(ad-ab)=12(acad-acab)=0,因为0180,所以=90.答案:23906.在正方体abcd-a1b1c1d1中,有下列命题:(aa1+ad+ab)2=3ab2;a1c(a1b1-a1a)=0;ad1与a1b的夹角为60;正方体的体积为|abaa1ad|.其中正确命题的序号是.【解析】如图所示,(aa1+ad+ab)2=(aa1+a1d1+d1c1)2=ac12=3ab2; a1c(a1b1-a1a)=a1cab1=0;ad1与a1b的夹角是d1c与d1a夹角的补角,而d1c与d1a的夹角为60,故ad1与a1b的夹角为120;正方体的体积为|ab|aa1|ad|.综上可知,正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知正四面体oabc的棱长为1,点e,f分别是oa,oc的中点.求下列向量的数量积:(1)efbc.(2)(oa+ob)(ca+cb).(3)|oa+ob+oc|.【解题指南】根据数量积的定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征.【解析】(1)因为e,f分别是oa,oc的中点,所以efac,且ef=12ac,于是efbc=|ef|bc|cos=12|ac|bc|cos=1211cos=1211cos60=14.(2)(oa+ob)(ca+cb)=(oa+ob)(oa-oc+ob-oc)=(oa+ob)(oa+ob-2oc)=oa2+oaob-2oaoc+oboa+ob2-2oboc=1+12-212+12+1-212=1.(3)|oa+ob+oc|=(oa+ob+oc)2=12+12+12+211cos603=6.【拓展延伸】利用图形找关系在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.8.(2014济南高二检测)如图,正三棱柱abc-a1b1c1中,底面边长为2.(1)设侧棱长为1,计算.(2)设ab1与bc1的夹角为3,求|bb1|.【解析】(1)ab1=ab+bb1,bc1=bb1+bc.因为bb1平面abc,所以bb1ab=0,bb1bc=0.又abc为正三角形,所以=-=-3=23.因为ab1bc1=(ab+bb1)(bb1+bc)=abbb1+abbc+bb12+bb1bc=|ab|bc|cos+bb12=-1+1=0,所以=90.(2)结合(1)知ab1bc1=|ab|bc|cos+bb12=bb12-1.又|ab1|=ab2+bb12=2+bb12=|bc1|,所以cos=bb12-12+bb12=12,所以|bb1|=2.【变式训练】如图所示,已知三棱锥a-bcd中,ab=cd,ac=bd,e,f分别是ad,bc的中点,试用向量方法证明ef是ad与bc的公垂线.【解析】因为点f是bc的中点,所以af=12(ab+ac).所以ef=af-ae=12(a