【全程复习方略】高中数学 2.2.2.1椭圆的简单几何性质课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

椭圆的简单几何性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为()a.(13,0)b.(0,10)c.(0,13)d.(0,69)【解析】选d.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,所以c2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,69).2.椭圆x225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0k9)的关系为()a.有相等的长、短轴b.有相等的焦距c.有相同的焦点d.有相等的离心率【解析】选b.对于椭圆x29-k+y225-k=1(0kb0)的长轴,若把线段ab分为100等份,过每个分点作ab的垂线,分别交椭圆的上半部分于点p1,p2,p99,f1为椭圆的左焦点,则|f1a|+|f1p1|+|f1p2|+|f1p99|+|f1b|的值是()a.98ab.99ac.100ad.101a【解析】选d.设f2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|f1p1|=|f2p99|,|f1p2|=|f2p98|,|f1p49|=|f2p51|,因此|f1p1|+|f1p99|=|f1p2|+|f1p98|=|f1p49|+|f1p51|=|f1a|+|f1b|=2a.故结果应为502a+|f1p50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|f1p50|,结果选c而致错.6.(2014吉林高二检测)椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为()a.-21b.21c.-1925或21d.1925或21【解析】选c.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k,由ca=5-k3=45,得k=-1925;当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5,由ca=k-54+k=45,得k=21.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014荆州高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为13,则椭圆方程为.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由2a=12,ca=13,得a=6,c=2,由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为:y236+x232=1.答案:y236+x232=18.(2013上海高考)设ab是椭圆的长轴,点c在上,且cba=4,若ab=4,bc=2,则的两个焦点之间的距离为.【解析】如图所示.以ab的中点o为坐标原点,建立如图所示的坐标系.设d在ab上,且cdab,ab=4,bc=2,cba=4cd=1,db=1,ad=3c(1,1)且2a=4,把c(1,1)代入椭圆标准方程得1a2+1b2=1,a2=b2+c2b2=43,c2=832c=436.答案:4369.若点o和点f分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点p为椭圆上的任意一点,则opfp的最大值为.【解题指南】设p(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,f(-1,0),设点p(x0,y0),则有x024+y023=1,解得y02=31-x024,因为fp=(x0+1,y0),op=(x0,y0),所以opfp=x0(x0+1)+y02=x0(x0+1)+31-x024=x024+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2x02,所以当x0=2时,opfp取得最大值224+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)10.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=32,已知点p0,32到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.【解题指南】先设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),m(x,y)为椭圆上的点,由离心率得a=2b,利用两点间的距离公式表示出|pm|2,若0bb0),m(x,y)为椭圆上的点,由ca=32得a=2b,|pm|2=x2+y-322=-3y+122+4b2+3(-byb),若0b12,故矛盾.若b12,则当y=-12时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为x24+y2=1.11.已知f1,f2是椭圆的两个焦点,p为椭圆上一点,f1pf2=60.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:f1pf2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),|pf1|=m,|pf2|=n,则m+n=2a.在pf1f2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3m+n22=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以c2a214,即e12.又0eb0)的离心率e=12,右焦点为f(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根x1,x2,则点p(x1,x2)()a.必在圆x2+y2=2内b.必在圆x2+y2=2上c.必在圆x2+y2=2外d.以上三种情况都有可能【解析】选a.因为x1,x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根,所以x1+x2=-ba,x1x2=-ca=-12.由x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2a2+1,因为ab,所以b2a21,所以b2a2+12,故点p(x1,x2)在圆x2+y2=2内.4.(2014衡水高二检测)已知f1,f2是椭圆的两个焦点,满足mf1mf2=0的点m总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()a.(0,1)b.0,12c.0,22d.22,1【解析】选c.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为mf1mf2=0,所以m点的轨迹是以原点o为圆心,半焦距c为半径的圆.又m点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即cb,c2b2=a2-c2,故e212,所以0eb0),b(0,b)为上顶点,f(c,0)为右焦点,设d(x,y),由bf=2fd,得(c,-b)=2(x-c,y),即c=2(x-c),-b=2y,解得x=3c2,y=-b2,所以d3c2,-b2.因为点d在椭圆上,所以32c2a2+-b22b2=1,解得a2=3c2,即e2=13,所以e=33.答案:33【变式训练】(2013江苏高考改编)在平面直角坐标系xoy中,椭圆c的标准方程为x2a2+y2b2=1(a0,b0),右焦点为f,直线l方程为:x=a2c,短轴的一个端点为b,设原点到直线bf的距离为d1,f到l的距离为d2,若d2=6d1,则椭圆c的离心率为.【解题指南】利用d2=6d1构建关于参数a,b,c的关系式.【解析】由原点到直线bf的距离为d1得d1=bca,因f到l的距离为d2故d2=a2c-c,又d2=6d1,所以a2c-c=6bcaa2-c2=6bc2a1-e2=6bae2,又ba=1-e2,解得e=33.答案:33三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知椭圆x2+y2b2=1(0b0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=12,所以椭圆的方程为x2+y212=1,即x2+2y2=1.8.已知椭圆x29+y24=1的焦点为f1,f2,点p是椭圆上的一个动点,求pf1pf2的取值范围.【解析】由x29+y24=1,得f1(-5,0),f2(5,0),设p(x0,y0),则pf1=(-5-x0,-y0),pf2=(5-x0,-y0).所以pf1pf2=(x02-5)+y02.又x029+y024=1,所以y02=4-49x02,代入,所以pf1pf2=59x02-1,因为0x029,所以059x025,所以-1pf1pf24,所以pf1pf2-1,4.【误区警示】本题易出现只注意到x020得出pf1pf2-1的错误,错误的原因是忽视了点p(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0-3,3.【变式训练】已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),若椭圆的离心率e满足33e22,且1a2+1b2=2,求椭圆长轴长的取值范围.【解题指南】由1a2