高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 2.1 抛物线及其标准方程课件 北师大版选修21.ppt

第三章 2抛物线 2 1抛物线及其标准方程 1 掌握抛物线的定义及其焦点 准线的概念 2 会求简单的抛物线方程 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l l不过f 的的点的集合叫作 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 知识点二抛物线标准方程的几种形式 答案 y2 2px p 0 准线 距离相等 抛物线 焦点 答案 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 返回 思考 1 抛物线的标准方程y2 2px p 0 中p的几何意义是什么 答案焦点到准线的距离 2 平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗 答案不一定 当直线l经过点f时 点的轨迹是过定点f且垂直于定直线l的一条直线 l不经过点f时 点的轨迹是抛物线 答案 题型探究重点突破 题型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点为 2 0 解析答案 抛物线的标准方程为y2 8x 2 准线为y 1 抛物线的标准方程为x2 4y 3 过点a 2 3 解由题意 抛物线方程可设为y2 mx m 0 或x2 ny n 0 将点a 2 3 的坐标代入 得32 m 2或22 n 3 解析答案 反思与感悟 所求抛物线的标准方程为y2 5x或y2 5x或x2 5y或x2 5y 反思与感悟 求抛物线方程 通常用待定系数法 若能确定抛物线的焦点位置 则可设出抛物线的标准方程 求出p值即可 若抛物线的焦点位置不确定 则要分情况讨论 焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2 ax a 0 焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2 ay a 0 跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 4 解方法一 点 3 4 在第四象限 设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 或x2 2p1y p1 0 把点 3 4 的坐标分别代入y2 2px和x2 2p1y 方法二 点 3 4 在第四象限 抛物线的方程可设为y2 ax a 0 或x2 by b 0 解析答案 2 焦点在直线x 3y 15 0上 解令x 0得y 5 令y 0得x 15 抛物线的焦点为 0 5 或 15 0 所求抛物线的标准方程为x2 20y或y2 60 x 解析答案 解析答案 反思与感悟 题型二抛物线定义的应用例2如图 已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求此时p点坐标 解析答案 反思与感悟 解如图 作pq l于q 由定义知 抛物线上点p到焦点f的距离等于点p到准线l的距离d 由图可知 求 pa pf 的最小值的问题可转化为求 pa d的最小值的问题 反思与感悟 点p坐标为 2 2 反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用 就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化 另外要注意平面几何知识的应用 如两点之间线段最短 三角形中三边间的不等关系 点与直线上点的连线垂线段最短等 解析答案 跟踪训练2已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点a 0 2 的距离与p到该抛物线的准线的距离之和的最小值为 解析如图 由抛物线定义知 pa pq pa pf 则所求距离之和的最小值转化为求 pa pf 的最小值 则当a p f三点共线时 pa pf 取得最小值 a 题型三抛物线的实际应用例3如图所示 一辆卡车高3m 宽1 6m 欲通过断面为抛物线形的隧道 已知拱口ab宽恰好是拱高cd的4倍 若拱口宽为am 求能使卡车通过的a的最小整数值 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 解以拱顶为原点 拱高所在直线为y轴 建立如图所示的平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 解得a 12 21 a取整数 a的最小整数值为13 反思与感悟 以抛物线为数学模型的实例很多 如拱桥 隧道 喷泉等 抛物线的应用主要解题步骤 1 建立平面直角坐标系 求抛物线的方程 2 利用方程求点的坐标 解析答案 跟踪训练3如图所示 一隧道内设双行线公路 其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成 为保证安全 要求行驶车辆顶部 设为平顶 与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0 5米 1 以隧道的顶点为原点o 其对称轴所在的直线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 求该抛物线的方程 所以该抛物线的方程为x2 5y 解析答案 返回 2 若行车道总宽度ab为7米 请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米 精确到0 1米 解设车辆高h米 则 db h 0 5 故d 3 5 h 6 5 代入方程x2 5y 解得h 4 05 所以车辆通过隧道的限制高度为4 0米 当堂检测 1 2 3 4 5 c 解析答案 解析答案 2 过抛物线y2 8x的焦点作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为 a 8b 16c 32d 61解析由y2 8x得焦点坐标为 2 0 由此直线方程为y x 2 b 1 2 3 4 5 设交点为a x1 y1 b x2 y2 由方程知x1 x2 12 弦长 ab x1 x2 p 12 4 16 解析答案 1 2 3 4 5 a y2 8xb y2 4xc y2 2xd y2 8x d 所以抛物线的方程为y2 8x或y2 8x 解析答案 4 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 1 2 3 4 5 解析易知直线l2 x 1恰为抛物线y2 4x的准线 如图所示 动点p到l2 x 1的距离可转化为pf的长度 其中f 1 0 为抛物线y2 4x的焦点 a 解析答案 4 1 2 3 4 5 课堂小结 1 抛物线的定义中不要忽略条件 点f不在直线l上 2 确定抛物线的标准方程 从形式上看 只需求一