基于频率抽样法的低通FIR滤波器的设计.doc

数字信号处理课程设计设计题目 基于频率抽样法的低通FIR滤波器的设计题目编号 学院名称 指导教师 班 级 学 号 学生姓名 每位同学抽签得到一个四位数，由该四位数索引下表确定待设计数字滤波器的类型及其设计方法，然后用指定的设计方法完成滤波器设计。要求：1.滤波器的设计指标：低通：通带截止频率,过渡带宽度, 滚降;高通：阻带截止频率, 通带截止频率,通带最大衰减, 阻带最小衰减;带通：阻带下截止频率, 通带下截止频率, 通带上截止频率, 阻带上截止频率,通带最大衰减, 阻带最小衰减;带阻：通带下截止频率, 阻带下截止频率, 阻带上截止频率, 通带上截止频率, 通带最大衰减, 阻带最小衰减;等波纹滤波器: 通带波纹, 阻带波纹,过渡带宽度,滚降陷波器: 陷波中心频率, 陷波频率分量最小衰减, 3 dB处的频带宽度其中，抽签得到那个四位数。 2.滤波器的初始设计通过手工计算完成；3.在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；4.在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；5.以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；6.课程设计结束时提交设计说明书。目录1前言12数字滤波器的介绍和设计原理12.1数字滤波器的概述12.2频率抽样设计法12.3过渡带抽样的优化设计33数字滤波器设计53.1设计要求53.1.1滤波器的设计指标要求为：53.1.2手工计算54基于Matlab的程序及幅频响应曲线55使用FDA工具箱设计FIR低通滤波器85.1简要介绍FDA工具箱：85.2用FDA工具箱实现要求的滤波功能96滤波器的结构不同对性能指标的影响106.1FIR滤波器的基本结构106.2利用直接型结构构建数字滤波器116.3利用级联型结构构建数字滤波器126.4两种滤波器结构对性能指标影响的比较与总结137参数字长对性能指标的影响137.1参数字长取2位对性能指标的影响147.1.1参数字长取9位对性能指标的影响157.1.2参数字长取12位对性能指标的影响158结论169心得体会1610参考文献171 前言数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一门涉及许多学科而又广泛应用于许多领域的新兴学科。20世纪60年代以来，随着计算机和信息技术的飞速发展，数字信号处理技术应运而生并得到迅速的发展。其中的数字滤波器(digital filter)是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种装置，在通信、图像、语音、雷达等许多领域都有着十分广泛的应用。在数字信号处理中，数字滤波占有极其重要的地位。目前对数字滤波器的设计有多种方法。其中Matlab软件已成为设计数字滤波器的强有力工具。传统的数字滤波器设计过程复杂、计算工作量大、滤波特性调整困难，但利用Matlab信号处理工具箱可以快速有效地实现由软件组成的常规数字滤波器的设计、分析和仿真，极大地减轻了工作量，有利于滤波器设计的最优化。 2 数字滤波器的介绍和设计原理2.1 数字滤波器的概述所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。下图给出了一个具有模拟输入信号和输出信号的实时数字滤波器的简化方框图。这个带限模拟信号被周期地抽样，且转化成一系列数字X（n）（n=0,1,）。数字处理器依据滤波器的计算算法，执行滤波运算，把输入系列X（n）映射到输出系列Y（n）。DAC把数字滤波后的输出转化成模拟值，这些模拟值接着被模拟滤波器平滑，并且消去不想要的高频分量。一个具有模拟输入和输出信号的实时数字滤波器的简化方框图数字滤波器在数字信号处理中具有非常重要的地位。在许多应用中（例如数据压缩，生物医学信号处理、语音处理、图象处理、数据传输、数字音频、电话回声对消，等等），数字滤波器和模拟滤波器比数字滤波器的有优势更加明显。2.2 频率抽样设计法FIR低通滤波器的设计一般方法有两种，即频率抽样法和窗函数法，频率抽样法设计不同于窗函数法，窗函数是从时域出发，把理想的用一定形状得窗函数截取成有限长的，以此来近似理想的，这样得到的频率响应逼近于所要求的理想的频率响应。频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应加以等间隔抽样，即然后以此作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值，即令，知道后，由DFT定义，可以用频域的这N个抽样值来唯一确定有限长序列，而由的内插公式知道，利用这N个频域抽样值同样可求得FIR滤波器的系统函数及频率响应。这个或将逼近或，和的内插公式为 （21） （21）其中是内插函数 （23） 将式（23）代入（22）式，化简后可得 （24）即 （25）从内插公式（22）看到，在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等，即。但是在抽样点之间的频率响应则是由各抽样点的加权内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应曲线形状，理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小，如图2.1梯形理想频率特性所示。反之，如果抽样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值之误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和波纹，如图2.2矩形理想频率特性所示。图2.1 梯形理想频率特性 图2.2 矩形理想频率特性其中必须为： （27）必须满足奇对称，即。 （28）2.3 过渡带抽样的优化设计为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡（这种起伏振荡使阻带内最小衰减变小，例如从衰减30dB变小为衰减20dB）。和窗函数法的平滑截然一样，这里是使理想频率响应的不连续点的边缘加上一些过渡的抽样点（在这些点上抽样的最佳值由计算机算出），从而增加过渡带，减小频率边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。如果精心设计过渡带的抽样值，就有可能使它的有用频带（通带、阻带）的纹波得以减小。从而设计出较好的滤波器。一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意的结果。在低通设计中，不加过渡抽样点时，阻带最小衰减为20dB，一点过渡抽样的最优设计，阻带最小衰减可提高到40dB到54dB左右，二点过渡抽样的最优设计可达60dB到75dB左右，而加三点过渡抽样的最优设计则可达80dB到95dB左右。加过渡抽样点的示意图如图2.3所示。图2.3 加过渡抽样点3 数字滤波器设计3.1 设计要求3.1.1 滤波器的设计指标要求为：（1）通带截止频率：（2）渡带宽度：, （3）滚 降 ： 3.1.2 手工计算其中为我的编号是0105，所以=105（1）通带截止频率: =0.2326rad（2）阻带截止频率： s= 0.2326rad + 0.0202rad = 0.2528rad（3）过渡带宽度：, =0.0202rad（4）滚 降，设通带最大衰减=1db,阻带最小衰减=61db（5） 设采样频率Fs=10000Hz，由公式=Fs/2可将截止频率的单位转换为Hz：（6）通带截止频率：fpc=1163Hz；（8）阻带截止频率：fs=1264Hz；（9）在频率采样法中，要确定过渡带，估算采样点数N.如果增加m个过带采样点，则要求m+12/N。从而求出N。当阻带最小衰减=61db时，m=2,所以N=297。4 基于Matlab的程序及幅频响应曲线clear allwp=0.2326*pi;Bt=0.0202*pi;rs=input(rs=); if rs=54 m=1; T=input(T=); N=ceil(m+1)*2*pi/Bt); Np=fix(wp/(2*pi/N); Ns=N-2*Np-1; Hk=ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np); Hk(Np+2)=T;Hk(N-Np)=T; elseif rs=75 m=2; T1=input(T1=); T2=input(T2=); N=ceil(m+1)*2*pi/Bt; Np=fix(wp/(2*pi/N); Ns=N-2*Np-1; Hk=ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np); else m=3; T1=input(T1=); T2=input(T2=); T3=input(T3=); N=ceil(m+1)*2*pi/Bt); Np=fix(wp/(2*pi/N); Ns=N-2*Np-1; Hk=ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np); Hk(Np+2)=T1;Hk(Np+3)=T2;Hk(Np+4)=T3; Hk(N-Np)=T1;Hk(N-Np+1)=T2;Hk(N-Np+2)=T3; end thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N; Hdk=Hk.*exp(j*thetak); hn=real(ifft(Hdk) Hw=fft(hn,1024); wk=2*pi*(0:1023)/1024; Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); k=0:N-1; figure(1);stem(k,hn,k.); axis(0,N-1,1.1*min(real(hn),1.1*max(real(hn); xlabel(n);ylabel(h(n); title; figure(2); H,W=freqz(hn) plot(wk,20*log(abs(Hgw) xlabel;ylabel;grid; title; figure(1) freqz(hn);当输入rs=61,T1=0.1,T2=0.5时，曲线如下： 图3.1 数字低通滤波器的幅频响应曲线图3.2 单位脉冲响应5 使用FDA工具箱设计FIR低通滤波器5.1 简要介绍FDA工具箱：FDATool(Filter Design & Analysis Tool)是MATLAB信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具，MATLAB 6.0以上的版本还专门增加了滤波器设计工具箱(Filter Design Toolbox) 。FDATool可以设计几乎所有的常规滤波器，包括FIR和IIR的各种设计方法。它操作简单，方便灵活。FDATool界面总共分两大部分，一部分是Design Filter，在界面的下半部，用来设置滤波器的设计参数；另一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性。Design Filter部分主要分为:Filter Type(滤波器类型) 选项，包括Lowpass(低通) 、Highpass(高通) 、Bandpass (带通) 、Bandstop(带阻)和特殊的FIR滤波器。Design Method(设计方法) 选项，包括IIR滤波器的Butterworth(巴特沃思)法、Chebyshev Type(切比雪夫型)法、Chebyshev Type (切比雪夫型)法、Elliptic(椭圆滤波器)法和FIR滤波器的Equiripple法、Least2Squares(最小乘方)法、Window(窗函数)法。Filter Order(滤波器阶数)选项,定义滤波器的阶数，包括Specify Order(指定阶数)和MinimumOrder(最小阶数) 。在Specify Order中填入所要设计的滤波器的阶数(N阶滤波器，Specify Order=N-1)，如果选择Minimum Order，则MATLAB根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。Frenquency Specifications选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率fs和频带的截止频率。它的具体选项由Filter Type选项和Design Method选项决定，例如Bandpass(带通)滤波器需要定义Fstop1(下阻带截止频率)、Fpass1(通带下限截止频率)、Fpass2(通带上限截止频率)、Fstop2(上阻带截止频率)，而Lowpass(低通)滤波器只需要定义Fstop1、Fpass1。采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定的，所以只需要定义通带截止频率，而不必定义阻带参数。Magnitude Specifications选项，可以定义幅值衰减的情况。例如设计带通滤波器时, 可以定义Wstop1(频率Fstop1处的幅值衰减)、Wpass(通带范围内的幅值衰减)、Wstop2(频率Fstop2处的幅值衰减)。当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为6db，所以不必定义。Window Specifications选项，当选取采用窗函数设计时，该选项可定义，它包含了各种窗函数。5.2 用FDA工具箱实现要求的滤波功能调用FDA工具箱设置完如下图：图4.1 滤波器分析图图4.2 hn计算值(传递函数中分子各项前系数)6 滤波器的结构不同对性能指标的影响6.1 FIR滤波器的基本结构FIR滤波器的单位抽样响应为有限长度，一般采用非递归形式实现。通常的FIR数字滤波器有横截性和级联型两种。 (a)FIR滤波器的横截型结构表示系统输入输出关系的差分方程可写作： (5-1) 直接由差分方程得出的实现结构如图1所示：图1 横截型(直接型卷积型) (b)FIR滤波器的级联型结构将H(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式： (5-2) 这时FIR滤波器可用二阶节的级联结构来实现，每个二阶节用横截型结构实现。如下图所示 在设计滤波器时，对于同一个传递函数对应着许多种等效结构，然而这些结构能达到的性能效果却有所不同。在无限参数字长的情况下，所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。然而，在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现并不相同。在MATLAB中可以利用FDATool工具箱构建不同类型的数字滤波器。为了使（即转移函数中分子各项前的系数）进行保留小数点后10位的缩减。6.2 利用直接型结构构建数字滤波器FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h（n）长度为N，由之前算出的h（n）可得出（系数小数点后保留10位）系统函数为：H（z）=-n=0.0016986390135204929+0.0012323624027160743z-1 +0.0015271781632176947z-2+0.0012323624027160743z-296+0.0016986390135204929z-297表示系统输入输出关系的差分方程可写作:y(n)= 直接型的结构流图如图5.1所示：y(n)x(n)z-1z-1z-10.001698639013520490.00169863900236260.00123236240.001527178160.0012323624 图5.1直接型网络构图级联结构的系统函数为：H（z）=0.00169(1-0.09324z-1 +0.09374 )(1-0.09208z-1+0.92057z-2)（1-0.15853z-1+0.17409z-2）（1-0.17051z-1+0.10726z-2）x(n)21 -0.093247480.001690.92057-0.092081 0.10726-0.170511 0.09374、y(n)级联型结构建立的Direct-Form I如下图：图5.2 Direct-Form I性能指标初始指标仿真参数绝对误差相对误差fpc11631181201.69%fs12641275110.86%6155.83-5.179.26%10.6220-0.37860.77%表5.1由图5.2和表5.1可以看出：滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动幅度不太均匀。阻带最小衰减比初始设计低5.17dB，通带最大衰减比初始设计低0.378dB。fpc比初始设计高18Hz和fs比初始设计值高11Hz，可见两者和初始设计比较相差不大，比较符合和逼近。6.3 利用级联型结构构建数字滤波器将H（z）进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。构建级联型如下图和如下表：图5.3性能指标初始指标仿真参数绝对误差相对误差fpc11631185221.85%fs1264126840.31% 6158.03-2.975.11%10.9496-0.055.30%表5.2由图5.3和表5.2中可以看出：滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动和直接型结构滤波器幅频曲线相差不大。阻带最小衰减比初始设计值低2.97dB，通带最大衰减比初始设计低0.05dB。级联型的比直接型的还要接近。fpc 、fs分别比初始设计相差不大，滤波器的截止频率坡度变化不大。6.4 两种滤波器结构对性能指标影响的比较与总结由比较的参数可知，级联型的的幅频响应曲线的通带的波动稳定性要稍好于直接型。级联结构型滤波器对参数变化的反应要比直接结构型的更小，性能指标误差更小，滤波效果更好，更能符合设计指标的要求。7 参数字长对性能指标的影响在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片等的字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限的字长进行设计。然而，如果字长太短，则设计的滤波器误差就会太大，造成滤波效果不佳。下面研究不同参数字长对性能指标的影响。7.1 参数字长取2位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为2，点击下方的Apply按钮，图中虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为改变参数字长后的滤波器幅频响应曲线。此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图6.1所示：图6.1从图中可以看出：字长为2位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差很大，滤波器失真明显，几乎达不到滤波效果，远远不能满足设计