【全程复习方略】高中数学 2.1.1 合情推理课时提升作业 新人教A版选修12 (1).doc

合情推理一、选择题(每小题3分,共18分)1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是()a.白色b.黑色c.白色可能性大d.黑色可能性大【解析】选a.由题干图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列,是一个周期为5的三白二黑的圆列,因为365=7余1,所以第36个圆应与第1个圆颜色相同,即白色.2.已知数列an满足a0=1,an=a0+a1+a2+an-1(n1),则当n1时,an等于()a.2nb.12n(n+1)c.2n-1d.2n-1【解析】选c.a0=1,a1=a0=1,a2=a0+a1=2a1=2,a3=a0+a1+a2=2a2=4,a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8,猜想n1时,an=2n-1.3.给出下列三个类比结论:类比axay=ax+y,则有axay=ax-y;类比loga(xy)=logax+logay,则有sin(+)=sinsin;类比(a+b)2=a2+2ab+b2,则有(a+b)2=a2+2ab+b2.其中结论正确的个数是()a.0b.1c.2d.3【解析】选c.根据指数的运算法则知axay=ax-y,故正确;根据三角函数的运算法则知:sin(+)sinsin,不正确;根据向量的运算法则知:(a+b)2=a2+2ab+b2,正确.4.设n棱柱有f(n)个对角面,则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于()a.f(n)+n+1b.f(n)+nc.f(n)+n-1d.f(n)+n-2【解题指南】因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面,过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面,可作(n-3)个对角面,n条侧棱可作n(n-3)个对角面,由于这些对角面是相互之间重复计算了,所以共有n(n-3)2个对角面,从而得出f(n+1)与f(n)的关系.【解析】选c.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面,过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面,可作(n-3)个对角面,n条侧棱可作n(n-3)个对角面,由于这些对角面是相互之间重复计算了,所以共有n(n-3)2个对角面,所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)2-n(n-3)2=n-1,故f(n+1)=f(n)+n-1.5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()a.289b.1024c.1225d.1378【解析】选c.观察三角形数:1,3,6,10,记该数列为an,则a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,an=an-1+n.所以a1+a2+an=(a1+a2+an-1)+(1+2+3+n)an=1+2+3+n=n(n+1)2,观察正方形数:1,4,9,16,记该数列为bn,则bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1225.6.(2014枣庄高二检测)将正奇数按如图所示的规律排列,则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931a.809b.853c.785d.893【解析】选a.前20行共有正奇数1+3+5+39=202=400个,则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数,所以这个数是2405-1=809.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为.【解析】v1v2=13s1h113s2h2=s1s2h1h2=1412=18.答案:188.(2014石家庄高二检测)设n为正整数,f(n)=1+12+13+1n,计算得f(2)=32,f(4)2,f(8)52,f(16)3,观察上述结果,可推测一般的结论为.【解析】由前四个式子可得,第n个不等式的左边应当为f(2n),右边应当为n+22,即可得一般的结论为f(2n)n+22.答案:f(2n)n+229.(2014杭州高二检测)对于命题“如果o是线段ab上一点,则|ob|oa+|oa|ob=0”将它类比到平面的情形是:若o是abc内一点,有sobcoa+socaob+sobaoc=0,将它类比到空间的情形应为:若o是四面体abcd内一点,则有.【解析】根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,又线段类比平面,平面类比到空间,又线段长类比为三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比为vo-bcdoa+vo-acdob+vo-abdoc+vo-abcod=0.答案:vo-bcdoa+vo-acdob+vo-abdoc+vo-abcod=0三、解答题(每小题10分,共20分)10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三角形两边之和大于第三边.(2)三角形的面积s=12底高.(3)三角形的中位线平行于第三边且第于第三边的12.请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论.【解析】由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为:(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.(2)四面体的体积v=13底面积高.(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时,我们有真命题:边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a,类比上述命题,请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题,并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时,正三角形可类比成正四面体,归纳出结论再给予证明.【解析】类比所得的真命题是:棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a.证明:设m是正四面体p-abc内任一点,m到面abc,面pab,面pac,面pbc的距离分别为d1,d2,d3,d4.由于正四面体四个面的面积相等,故有:vp-abc=vm-abc+vm-pab+vm-pac+vm-pbc=13sabc(d1+d2+d3+d4),而sabc=34a2,vp-abc=212a3,故d1+d2+d3+d4=63a(定值).【变式训练】设f(x)=13x+3,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳出一个一般结论,并给出证明.【解析】f(0)+f(1)=130+3+13+3=11+3+13+3=3-12+3-36=33.同理f(-1)+f(2)=33,f(-2)+f(3)=33.由此猜想:当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=33.证明:设x1+x2=1,则f(x1)+f(x2)=13x1+3+13x2+3=3x1+3x2+233x1+x2+3(3x1+3x2)+3=3x1+3x2+233(3x1+3x2)+23=3x1+3x2+233(3x1+3x2+23)=33.故猜想成立.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014厦门高二检测)定义a*b,b*c,c*d,d*a的运算分别对应下图中的(1),(2),(3),(4),那么下图中的(a),(b)所对应的运算结果可能是()a.b*d,a*db.b*d,a*cc.b*c,a*dd.c*d,a*d【解析】选b.由(1)(2)(3)(4)图得a表示|,b表示,c表示,d表示,故图(a)(b)表示b*d和a*c.2.(2014西安高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),则第60个数对是()a.(7,5)b.(5,7)c.(2,10)d.(10,1)【解析】选b.依题意,由和相同的“整数对”分为一组不难得知,第n组“整数对”的和为n+1,且有n个“整数对”.这样前n组一共有n(n+1)2个“整数对”.注意到10(10+1)2600,由不等式x+1x2x1x=2,x+4x2=x2+x2+4x233x2x24x2=3,我们可以得出推广结论:x+axnn+1(nn*),则a=()a.2nb.n2c.3nd.nn【解析】选d.再续写一个不等式:x+33x3=x3+x3+x3+33x344x3x3x333x3=4,由此可得a=nn.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:3+17210,7.5+12.5210,8+2+12-20,n0,则当m+n=20时,有m+n0,n0,则当m+n=20时,有m+n2106.在rtabc中,若c=90,ac=b,bc=a,则abc外接圆半径r=a2+b22.运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c,则其外接球的半径r=.【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直,就要考虑到构造正方体或长方体.【解析】(构造法)通过类比可得r=a2+b2+c22.证明:作一个在同一个顶点处棱长分别为a,b,c的长方体,则这个长方体的体对角线的长度是a2+b2+c2,故这个长方体的外接球的半径是a2+b2+c22,这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案:a2+b2+c22【变式训练】在平面几何里,有“若abc的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形面积为sabc=12(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体abcd的四个面的面积分别为s1,s2,s3,s4,内切球的半径为r,则四面体的体积为”.【解题指南】注意发现其中的规律总结出共性加以推广,或将结论类比到其他方面,得出结论.【解析】三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中12类比为三维图形中的13,得v四面体abcd=13(s1+s2+s3+s4)r.答案:v四面体abcd=13(s1+s2+s3+s4)r三、解答题(每小题12分,共24分)7.观察下列等式:sin210+cos240+sin10cos40=34;sin26+cos236+sin6cos36=34.由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.【解析】由可看出,两角差为30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.猜想:若-=30,则=30+,sin2+cos2+sincos=34,也可直接写成sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=34.下面进行证明:左边=1-cos22+1+cos(2+60)2+sincos(+30)=1-cos22+1+cos2cos60-sin2sin602+sin(coscos30-sinsin30)=12-12cos2+12+14cos2-34sin2+34sin2-1-cos24=34=右边.故sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=34.8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1),(2),(3),(4)为最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.(3)求1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+1f(n)-1的值.【解析】(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=8=42,f(4)-f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44,由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4