材料固体力学答案1-6章.doc

第一章习题1 证明恒等式证明习题2 证明若，则证明 ，又因为所有的指标都是哑指标，所以，即习题3 已知某一点的应力分量，不为零，而，试求过该点和z轴，与x轴夹角为的面上的正应力和剪应力。解 如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cos，sin，0，则由斜面应力公式的分量表达式，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式，可求得正应力为剪应力为习题4 如已知物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷。试写出其边界条件。解 物体表面外表面法线的方向余弦为带入应力边界条件，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为，试求该点以柱坐标表示的应力分量。解 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：xyzrcossin0-sincos0z001由应力分量转换公式，求得利用三角公式可将上面的式子改写为习题6 一点的应力状态由应力张量给定，式中，为常数，是某应力值，求常数，以使八面体面上的应力张量为零解 由斜面应力公式的分量表达式，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：解得习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力，必为实根证明 （1）设任意两个不同的主应力为、，对应的主方向为、。根据主应力定义有：， 将以上两式分别点乘和再相减，得是对称应力张量，上式可改写为所以应力的三个主方向互相垂直（2）设任意两个不同的主应力为、，对应的主方向为、若为复数，则为其共轭复数，从而方向余弦、互为共轭 与主方向相互垂直矛盾所以三个主应力必为实数习题8 证明球形应力张量在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为证明 球形应力张量，设任意斜面的方向余弦为由斜面应力公式 ，得由斜面正应力公式 ，得由斜面剪应力公式，得习题9 求应力偏量张量的不变量解 应力张量可分解为球形应力张量和应力偏量张量，应力偏量张量，其主应力方程为，即上述方程存在非零解的必要条件是系数行列式为零，即得到关于的三次代数方程，其中，和分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量设，和为应力偏量张量的三个主值，则习题10 设为二阶对称张量，证明由导出的应力一定满足无体力的平衡方程证明 又关于，反对称，关于，对称，即满足无体力的平衡方程，习题11 已知直角坐标系中各点的应力张量，试求体积力分量解 根据平衡微分方程，得得体积力分量为习题12 如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为，承受着比重为液体的压力，已求得应力解为，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数,和解 如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，在处水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，在处由上述两个方程组，得习题13 如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。解 如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，在处水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，在处第二章习题1 初始时刻位于的质点在某时刻的位置为，其中，求格林应变张量的分量。解 采用拉格朗日描述法，得由格林应变张量，得习题2 证明是二阶对称张量的分量，而不是任何张量的分量。证明 （1） ，显然可得其对称性对于笛卡尔直角坐标系和，各坐标轴之间的方向余弦如下表由弹性力学理论知，恰与张量定义相吻合，是二阶对称张量的分量（2）设有一剪应变张量，其分量取任一矢量，则，但不能缩并为，与假设是张量矛盾。根据张量的商判则，不是任何张量的分量。习题3 为求平面应变分量、，将电阻应变片分别贴在方向，与成和方向上，测得应变值以、表示，试求、解 平面应变状态下，沿方向，与成和方向上的方向余弦分别为根据方向线元的工程正应变公式，得 求得习题4 假设体积不可压缩位移与很小，在一定区域内已知，其中，为常数，求。解 题目条件适用小变形，得体积不可压缩， 即习题6 证明由下式确定的应变恒满足变形协调方程，。证明 对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关关于，对称；关于，对称对于排列符号关于，反对称；关于，反对称即应变恒满足变形协调方程，习题7 假定物体被加热至定常温度场时，应变分量为；，其中为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场的函数形式。解 由应变协调方程，得又定常温度场应满足拉普拉斯方程，故的函数形式中不应含有高于或等于2次的项温度场的函数形式为其中，和均为常数。习题8 试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程解 轴对称平面应变情况下，应变分量为因此，平面应变轴对称情况下的应变协调方程为习题9 在某一平面轴对称变形情况下，轴向应变为常数，试确定其余两个应变分量和的表达式（材料是不可压缩的）解 平面轴对称情况下，变形协调条件为：当材料不可压缩时，体积应变为零，即，代入上式，得解得，式中，C是右边界条件确定的常数习题10 试问什么类型的曲面在均匀变形后会变成球面。解 均匀变形状态可表示为其中，为常量设均匀变形前的坐标为，则变形后的坐标为曲面在均匀变形后变成球面，即略去刚体位移，当、为主轴时，变形前的坐标满足变形前半轴为，的椭球面在均匀变形后会变成球面。特别的，当时，表示球面均匀变形后仍为球面。习题11 若物体内各点的位移分量为，其中，均是常数。试证明，物体内所有各点的应变分量为常数（这种变形状态称为均匀变形），并分别证明在均匀变形后的物体内有：（1）直线在变形后仍然是直线；（2）相同方向的直线按同样的比例伸缩；证明 由位移分量求得物体内各点的应变分量为 （1）即物体内所有各点的应变分量为常数（均匀变形）（1）若物体内任意一点，变形后变为坐标和之间的关系为 （2）变形前，直线上的点，和满足 （3）将式（3）代入式（2），并整理，得 （4）式（4）表明直线在均匀变形后仍然是直线（2）变形前连接两点，的直线长度为，方向余弦为、，变形后的两对应点，的直线长度为，方向余弦为、（图2.1）将式（2）代入上式，得 （5）将上式两端除以，得 （7）而 （6）对于方向相同的直线，具有相等的方向余弦、，在均匀变形情况下，由式（6）和（7），知为常数。即相同方向的直线按同样的比例伸缩；第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为： （a当时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为： （b）若使，则式中，具有非零解的条件为 （c）上式即为x，y，z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy平面，则，而且，此时（c）式恒等于零。在此情况下，当存在以x，y，z轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为 （d）若应变分量之间满足，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy，Oyz，Ozx三个平面，则有，此时（d）式总是满足的。由此可知，当x，y，z轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。解：各向同性条件下的广义虎克定律为 将上式中的（1）（2），（2）（3），（3）（1）分别得：即证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。且，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有。习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力作用下，测得体积应变，若泊松比=0.3，试求该物体的弹性模量。解：设为第一应力不变量，而，据各向同性条件下的广义虎克定律为有：，其中体积应变，故有 。 习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以表示）。解：设柱体的轴线z轴，。因为横向变形被限制， 所以。据各向同性条件下的广义虎克定律图3-1 得：，将此两式相减得：，而泊松比的理论取值范围为，故，将其代入广义虎克定律得： 从而，得解。习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。和90。方向上的正应变，其值分别为，试求该点的主应变、最大剪应变和主应力（，）。解：设该点的x，y轴向的正应变分别为，剪应变为。任意方向（为与x轴正向的夹角）上的正应变为：，所以，解由此三式组成的方程组得该点的，和分别为：,。（1）计算该点的主应变：由、 、和得该点的主应变为：，。（2）该点的最大剪应变。（3）计算该点的主应力：现、，据向同性条件下的广义虎克定律得 ，即，所以将、及、代入上面三式得：,。习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：。解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：设杆件横截面积为，弹性模量为，如图建立坐标系。杆件为单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即。同时轴向纤维间无相互作用力，即。据弹性应变能理论的应变能公式（其余分量产生的应变能为零）。O图3-2现在杆件上x处取一微段dx，其体积为，其应变能,而整个杆件的拉伸应变能为： 而，故 整个杆件的拉伸应变能为：（2）杆件弯曲的应变能公式的推导：在材料力学中杆件在外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即和。在杆件上沿轴向去取一微段，在此微段的横截面上取一个微面，在上的应力可为相同的，而。，。故，其中只与x有关。杆件弯曲的挠度为，挠度曲线的曲率为（3）圆轴扭转的变形能公式推导：设圆轴的轴向为z轴。在材料力学中，圆轴扭转变形后，其横截面仍为平面，半径仍为直线，且沿z轴相邻两截面的距离不变，故有，。在圆轴轴向z处取一微段，在微段的横截面（圆截面）上的半径处取一微面积，上的应力可为相同的，那么。据平衡方程有：而，故，令。，而，故，只与z有关，即 。习题7、试推导体积变形应变能密度及畸变应变能密度的公式分别为：解：应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和：，即。其中球形应变张量表示体积变形（体积的等向收缩或膨胀），不产生形状畸变，它由球形应力张量所引起，仅产生体积变形应变能；而应变偏量张量表示形状畸变，不产生体积变形，它由应力偏量张量所引起，仅产生畸变应变能。应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和：，即，变形应变能密度分为体积变形应变能密度与畸变应变能密度之和，即 其中，。所以无论如何有： ，故 。据虎克定律有： ，。据虎克定律有：，习题8、如图所示结构，梁AB在A处固支，长为l，截面积为F1，截面惯性矩为I。杆BC在B处与梁铰接，截面积为F2，。材料弹性模量为E，B点受载荷P的作用，设梁的压缩量为，挠度曲线为，和a均为待定的变形参数。考虑杆BC的拉伸及梁AB的压缩与弯曲，用最小势能原理求B点的水平和垂直位移。l-图3-3解：梁AB被压缩，其变形能为。杆BC被拉伸,其变形能为。其中，。梁AB的挠度曲线为，其弯曲变形能为外力功为：。总势能为据最小势能原理：，其中可以取任何值，。B点的垂直位移为，水平位移为。习题9、如图所示，简支梁长为l，抗弯刚度为EI，中点受P力作用，支座之间有弹性介质支承，其弹性系数为k（即每单位长介质对挠度提供的支反力）。设挠度曲线为，试分别用李兹法和迦辽金法求梁中点B的挠度。图3-4解：（1）用李兹法求梁中点B的挠度：挠度曲线为 ，满足A，C两点的边界条件。简支梁的变形能为：。中点B处弹性支承的反力，弹性支承的变形能为：总变形能为：。外力功为：，总势能为：，按李兹法有：， ，。（2）用迦辽金法求梁中点B的挠度：将挠度曲线代入y向平衡方程得：，将其代入迦辽金方法的积分式中得：即习题10、试用李兹法求如图所示的一端固定、一端自由的压杆临界载荷，设该压杆的长度图3-5为l，抗弯刚度为EI（常数），其挠度曲线为。解：挠度曲线为可以满足所要求的边界条件，压杆失稳后的弯曲应变能为外力功，其中d为失稳后由弯曲引起压杆顶端处向下的竖直位移：势能为：。应用李兹法有，如果，此方程虽然是满足了，但是这表示该压杆保持直的，根本没有失稳，所以。由此得：，此结果正好是精确解，这是因为所设的挠度曲线正好是失稳后的真实挠度曲线。习题14、球形容器的内半径为a，外半径为b，内部作用着压力为Pi，外部压力为Pe，试用位移法求其应力分量（不计体力）。解：这是一个空间球对称问题，体力KR=0，由位移分量表示的球对称平衡微分方程得微分方程解此微分方程得（其中A，B为积分常数） （a）将代入以位移分量表示应力的物理方程得应力分量的表达式： （b） （c）代入如下边界条件： 求解A和B得 （d）将(d)式代入(a)式得径向位移。 （e） 将(d)式代入(b)式和(c)式得径向正应力和切向正应力（和就是主应力）： 第五章 屈服准则和塑性本构关系1如图5.1所示的薄壁圆管受拉力和扭矩的作用，试写出此情况下的Mises条件和Tresca条件。图5.1解：如图所示： Mises屈服条件： 即有 Tresca屈服条件： 即有 2已知两端封闭的薄壁圆管，平均半径为，管的厚度为，受内压的作用。试分别按Mises屈服条件和Tresca屈服条件写出此薄壁圆管在屈服时的表达式。解： 根据薄壁圆管的平衡条件，有 (a)由式(a)可见: (b)将式(a)代入Mises屈服条件则得将上式整理后，得 由此得 由于式(b)成立，故将式(a)中的和的表达式代入Tresca屈服条件，即 则得 3.求出Tresca屈服准则的等向强化模型和随动强化模型的屈服函数，并在平面上进行讨论。解：(1) 在Tresca屈服准则下，等向强化模型可以表示为：式中，由上式可知： ，即为所求屈服函数 。很明显，在强化过程中，随着的增加，产生屈服所需的最大有效应力相应增大，对应于平面上的正六边形的面积也将增大。 (2) 在Tresca屈服准则下，随动强化模型可以表示为：因为，所以屈服函数可以写为；即 从上式可以看出，随着屈服的进行，屈服面的中心会发生移动，移动量为。可见，在屈服过程中，屈服面在应力空间内作刚性平移。4为了使幂强化曲线在时满足虎克定律，可以用如下公式表示：试求：(1)为保证和在处连续，试确定和的值。 (2)如将该曲线表示成的形式，试给出的表达式。解： (1) 为保证在处连续，要求；为保证在处连续，要求，由这两式可得：(2) 若将曲线表示成的形式则 时，; 时，即 代入，得 即5已知两端封闭的薄壁圆筒，平均半径为，壁厚为，承受内压的作用而产生塑性变形，假设材料是各向同性的，并忽略弹性应变，试求屈服时的周向，轴向和径向应变增量之比。解：根据薄壁圆筒的平衡条件，有：则 所以 忽略弹性应变，则 6已知应力状态为，试求其它的应变增量，应变强度以及塑性功增量的表达式。解：则 ，可得 7. 已知材料的应力应变曲线为，用此材料制成的薄壁圆筒受拉力和扭转应力的作用。试用增量理论按如下加载路线计算轴向应变和剪切应变。(1) 开始时沿轴方向加载至，保持此应力值，再增加剪应力直至。(2) 开始时使剪应力达到，保持的值不变，再增加轴向应力，使其达到。(3) 轴向应力和剪应力按的比例增加直至，。E1图 5.2b图 5.2a00E解： 因为材料不可压，所以薄壁圆筒同时受到拉力和剪力作用，设，采用柱坐标表示，则有：则 应用普朗特-路埃斯方程，可得： 圆筒在拉力和剪力共同作用下的应力强度可表示为:由已知条件: ,当时，因此，(1) 先拉后扭 (2) 先扭后拉 (3) 拉、扭按比例同时增长 按的比例加载，当时，薄壁圆筒已经达到屈服极限，所以8.已知圆形截面梁，截面半径为，在弹塑性状态时，且已知,试求此时的值。yheRoz图5.3解：为弹性极限弯矩，表示为： 为截面完全弹性时的弯矩，表示为：9.已知材料拉伸和压缩时的应力应变曲线相同，为。试求高为，宽为的矩形截面的和曲率半径之间的关系，以及截面上的应力分布规律。hb图5.4解： 如图5.4，考虑到中性层，应变可以表示为：则应力应变曲线可以表示为：从而 10.已知半径为的圆轴，当单位扭转角达到时，圆轴进入塑性阶段。若杆件材料的应力应变曲线为，试求扭矩以及卸载后残余应力的表达式，并求当，残余应力为零时的位置。解： 单位扭转角为时，圆轴在任意半径处的剪应变可表示为：则相应的剪应力此时圆轴扭矩 卸载后，残余应力可表示为，而当，时，得。11已知外半径为，内半径为的自由旋转环盘，厚度为常数，材料的屈服极限为。试用Tresca条件求出此环盘的屈服极限转速。解：取屈服条件为，由平衡方程可得：当时，故常数则由上式可以看出，处处都满足的条件，利用时，的条件可得由此得 即极限转速为 12.已知厚壁球壳材料的上屈服极限为，下屈服极限为，试求此厚壁球壳部分进入塑性状态后内压力的表达式。p2a2rs2b图5.5解：设厚壁球壳部分进入塑性状态时，其弹塑性区域的分界半径为，在范围内为塑性区，在范围内为弹性区。在球对称载荷的作用下，厚壁球壳的平衡方程为：屈服条件为：将屈服条件代入平衡方程，积分后得利用边界条件，在处，可得在塑性区，取材料的下屈服极限，故，则在处有。在弹性区，取材料的上屈服极限，则在处，有在处，应力是连续的，即，因此有，最后可得第六章 塑性平面应变问题和极限分析1. 设具有角形深切口的厚板，其滑移线场构造如图6.1(a)，试求此时该板所能承受的弯矩值。图6.1(a)解：由于形状对称，滑移线场对称，故可只取右半部分进行分析。厚板的下部是均匀应力区，在边上，根据力矩的方向，应取负值，即其应力状态和线的方向如6.1（b）所示。图6.1(b)图6.1(c)由于厚板的上部也是均匀应力区，在边上，根据力矩的方向，应取正值，即其应力状态和线方向如图6.1（c）所示。正方形是均匀应力区，根据对称性知道沿着垂直截面将只作用有拉应力，其数值及应力间断点的位置由下列平衡方程求得：由此得出由于是同一根线，故图6.1（d）取边上的单元体进行分析，如图6.1（d）所示得：令则可得 图6.22. 设两边有对称角形深切口的厚板，角形深切口处的高度为，试求在极限状态时，该板所能承受的弯矩值。解：此题滑移线场与上一题（a）图中上部的滑移线场一样，因此在极限状态下应力为故由此应力所承受的弯矩为令则得 23. 已知具有角形切口的板条，受拉应力，试求此板条的极限载荷。2a图6.3(a)解：作滑移线场如图6.3(b)所示，由于对称，只考虑板条的一半。在和中是均匀应力状态。在中平均应力 A0tt应力状态和滑移线的方向如图6.3(b)所示。图6.3(b) 图6.3(c)在中在边（图6.3(c)）上，各应力值和线与轴的夹角为应力状态和滑移线的方向如图6.3(c)所示。由于沿同一条线其应相等，故由此得 在长度上4. 已知削平的楔体，两侧面受外压的作用，顶面受压力的作用，如图6.4(a)所示，试按如下两种情况求出极限载荷的值。(a) (b)22图6.4(a) 图6.4(b)ktn= -pttk解：第一种解法：图6.4(c) 图6.4(d)在边，受力状态如图6.4(c)所示。在边，受力状态如图6.4(d)所示。沿是同一条线：故 讨论： 当时，它表示不论多大，都不能屈服，即楔体处于静水压应力状态。 当时，能达到屈服，极限载荷仅与之差有关。图6-4（e）第二种解法：如图6-4（e）所示在边，有在边，有，因为沿同一条线，故有化简后得 结果与第一种解法相同。5. 已知楔形模如图所示，板条在楔形模中受挤压，如初始厚度为，通过模孔后厚度被减小到，若已知缩减比为，式中为收缩孔的收缩角，试求此时作用于模上的压力值以及挤压应力的表达值。解：设作用