【全程复习方略】高考数学二轮复习 专题辅导与训练 解答题规范训练（六）.doc

【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 解答题规范训练（六） (建议用时:45分钟)1.(2014烟台模拟)已知椭圆c1和抛物线c2有公共焦点f(1,0),c1的中心和c2的顶点都在坐标原点,过点m(4,0)的直线l与抛物线c2分别相交于a,b两点.(1)如图所示,若am=14mb,求直线l的方程.(2)若坐标原点o关于直线l的对称点p在抛物线c2上,直线l与椭圆c1有公共点,求椭圆c1的长轴长的最小值.【解析】由题知抛物线方程为y2=4x,设直线方程为x=my+4,并设a(y124,y1),b(y224,y2).(1)因为am=14mb,所以y1=-14y2.联立y2=4x,x=my+4,可得y2-4my-16=0,有y1y2=-16,y2=-4y1,y1+y2=4m,解得:y1=-2,y2=8,m=32,所以直线方程为2x-3y-8=0.(2)可求得对称点p(81+m2,-8m1+m2),代入抛物线中可得:m=1,直线l方程为x=y+4,考虑到对称性不妨取x=y+4,椭圆设为x2+y2-1=1(1).联立直线和椭圆并消元整理得(2-1)y2+8(-1)y-2+17-16=0,因为椭圆与直线有交点,所以0,即64(-1)2+4(-1)(-16)(2-1)0,解得172(0舍去),即a2172,解得:a342,所以长轴长的最小值为34.2.(2014长沙模拟)设直线l:y=k(x+1)(k0)与椭圆3x2+y2=a2(a0)相交于a,b两个不同的点,与x轴相交于点c,记o为坐标原点.(1)证明:a23k23+k2.(2)若ac=2cb,求oab的面积取得最大值时的椭圆方程.【解析】(1)由y=k(x+1)得x=1ky-1,将x=1ky-1代入3x2+y2=a2消去x得(3k2+1)y2-6ky+3-a2=0.由直线l与椭圆相交于两个不同的点得=36k2-4(3k2+1)(3-a2)0,整理得3k2+1a23,即a23k23+k2.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),由,得y1+y2=6k3+k2,因为ac=2cb,而点c(-1,0),所以(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),得y1=-2y2,代入上式,得y2=-6k3+k2.于是,oab的面积s=12|oc|y1-y2|=32|y2|=9|k|3+k29|k|23|k|=332.其中,上式取等号的条件是k2=3,即k=3.由y2=-6k3+k2,可得y2=3.将k=3,y2=-3及k=-3,y2=3这两组值分别代入,均可解出a2=15.所以oab的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15.3.(2014宁波模拟)如图,设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的右端点为a,短轴端点分别为b,c,另有抛物线y=x2+b.(1)若抛物线上存在点d,使四边形abcd为菱形,求椭圆的方程.(2)若a=2,过点b作抛物线的切线,切点为p,直线pb与椭圆相交于另一点q,求|pq|qb|的取值范围.【解析】(1)由四边形abcd是菱形,得d(a,a2+b),且a2+b=2b,a2+b2=2b,解得a=33,b=13,所以椭圆方程为3x2+9y2=1.(2)不妨设p(t,t2+b)(t0),因为y|x=t=2t,所以pq的方程为y=2t(x-t)+t2+b,即y=2tx-t2+b.又因为直线pq过点b,所以-t2+b=-b,即b=t22.所以pq的方程为y=2tx-t22.联立方程组y=2tx-t22,x24+4y2t4=1.消去y,得(t2+64)x2-32tx=0.所以点q的横坐标为xq=32tt2+64,所以|pq|qb|=xp-xqxq-xb=t232+1.又t2=2b(0,4),所以|pq|qb|的取值范围为1,98.4.已知抛物线c:x2=4y,m为直线l:y=-1上任意一点,过点m作抛物线c的两条切线ma,mb,切点分别为a,b.(1)当m的坐标为(0,-1)时,求过m,a,b三点的圆的方程.(2)证明:以ab为直径的圆恒过点m.【解析】(1)当m的坐标为(0,-1)时,设过m点的切线方程为y=kx-1,由x2=4y,y=kx-1,消去y得x2-4kx+4=0.令=(-4k)2-44=0,解得k=1.代入方程,解得a(2,1),b(-2,1).设圆心p的坐标为(0,a),由|pm|=|pb|,解得a=1.故过m,a,b三点的圆的方程为x2+(y-1)2=4.(2)设m(x0,-1),由已知得y=x24,y=12x,设切点分别为ax1,x124,bx2,x224,所以kma=x12,kmb=x22,切线ma的方程为y-x124=x12(x-x1),即y=12x1x-14x12,切线mb的方程为y-x224=x22(x-x2),即y=12x2x-14x22.又因为切线ma过点m(x0,-1),所以得-1=12x0x1-14x12.又因为切线mb也过点m(x0,-1),所以得-1=12x0x2-14x22.由,可得x1,x2是方程-1=12x0x-14x2的两个实根,由根与系数的关系得,x1+x2=2x0,x1x2=-4.因为ma=x1-x0,x124+1,mb=x2-x0,x224+1,所以mamb=(x1-x0)(x2-x0)+x124+1x224+1=x1x2-x0(x1+x2)+x02+x12x2216+