【全程复习方略】高中数学 2.4 正态分布课时提升作业（十七）新人教A版选修23.doc

课时提升作业(十七)正态分布一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014德州高二检测)已知随机变量x服从正态分布n(a,4),且p(x1)=0.5,则实数a的值为()a.1b.2c.3d.4【解题指南】画正态曲线图,由对称性得图象关于x=a对称且p(xa)=0.5,结合题意得到a的值.【解析】选a.随机变量x服从正态分布n(a,4),所以曲线关于x=a对称,且p(xa)=0.5,由p(x1)=0.5,可知=a=1.故选a.2.(2014广州高二检测)已知n(3,2),若p(2)=0.2,则p(4)等于()a.0.2b.0.3c.0.7d.0.8【解析】选d.根据正态曲线的特征:知对称轴为x=3,所以p(3)=0.5,则p(2)=p(4)=0.2,所以p(4)=1-p(4)=1-0.2=0.8.3.(2014广安高二检测)随机变量服从正态分布n(1,4),若p(23)=a,则p(-1)+p(12)=()a.1-a2b.12-ac.a+0.003ad.12+a【解题指南】根据变量符合正态分布,知道正态曲线关于x=1对称,根据对称特点,写出对称轴两侧的对称区间的概率之间的关系,求出要求的区间的概率值.【解析】选b.因为随机变量服从正态分布n(1,4),所以正态曲线关于x=1对称,因为p(23)=a,所以p(-10)=a,p(12)=p(01),p(-1)+p(14)=()a.0.158 8b.0.158 7c.0.158 6d.0.158 5【解析】选b.p(3x4)=12p(2x4)=0.3413,p(x4)=0.5-p(3x4)=0.5-0.3413=0.1587.5.设随机变量服从正态分布n(,2),且二次方程x2+4x+=0无实数根的概率为12,则等于()a.1b.2c.4d.不能确定【解析】选c.因为方程x2+4x+=0无实数根的概率为12,由=16-44,即p(4)=12=1-p(4),故p(4)=12,所以=4.【变式训练】设随机变量xn(1,32),若p(xc)=p(xc),则c等于()a.0b.1c.2d.3【解题指南】根据概率相等,利用正态曲线的对称性,即可得到结论.【解析】选b.因为p(xc)=p(xc),所以正态曲线关于x=c对称,因为随机变量xn(1,32),所以c=1.故选b.6.(2014西宁高二检测)设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为135cm,方差为100的正态分布,令表示从中随机抽取的一名儿童的身高,则下列概率中最大的是()a.p(120130)b.p(125135)c.p(130140)d.p(135145)【解题指南】由于区间长度都是10,概率最大的应该是在对称轴两侧关于对称轴对称的区间.【解析】选c.因为某一年龄段的儿童的身高服从均值为135cm,方差为100的正态分布,即n(135,100),所以在长度都是10的区间上,概率最大的应该是在对称轴两侧关于对称轴对称的区间,从四个选项可知c最大,故选c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.设随机变量服从正态分布n(0,1),则下列结论正确的是.p(|a)=p(-a)(a0);p(|a)=2p(0);p(|a)=1-2p(0);p(|a)(a0).【解析】因为p(|a)=p(-aa),所以不正确;因为p(|a)=p(-aa)=p(a)-p(-a)=p(a)=p(a)-(1-p(a)=2p(a)-1,所以正确,不正确;因为p(|a)=1,所以p(|a)(a0),所以正确.答案:8.(2014通化高二检测)在某次数学考试中,考生的成绩服从正态分布n(90,100),则考试成绩在110分以上的概率是.【解题指南】根据考生的成绩xn(90,100),得到正态曲线关于x=90对称,根据3原则知p(70x110)=0.9544,再根据对称性得到结果.【解析】因为考生的成绩xn(90,100),所以正态曲线关于x=90对称,且标准差为10,根据3原则知p(70x110)=p(90-210x90+210)=0.9544,所以考试成绩x位于区间(70,110)上的概率为0.9544,则考试成绩在110分以上的概率是=12(1-0.9544)=0.0228.答案:0.02289.某大型国有企业为10000名员工定制工作服,设员工的身高(单位:cm)服从正态分布n(173,52),则适合身高在163183cm范围内员工穿的服装大约要定制套.【解析】因为员工的身高(单位:cm)服从正态分布n(173,52),即服从均值为173cm,方差为25的正态分布,因为适合身高在163183cm范围内取值即在(-2,+2)内取值,其概率为:95.44%,从而得出适合身高在163183cm范围内员工穿的服装大约套数是:1000095.44%=9544套.答案:9544三、解答题(每小题10分,共20分)10.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为142.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式.(2)求正态总体在(-4,4上的概率.【解题指南】要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式,关键是求解析式中的两个参数,的值,其中决定曲线的对称轴的位置,则与曲线的形状和最大值有关.【解析】(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即=0.由12=124,得=4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是,(x)=142e-x232,x(-,+).(2)p(-4x4)=p(0-4x0+4)=p(-x+)=0.6826.11.(2013湖北高考)假设每天从甲地去乙地的旅客人数x是服从正态分布n(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值.(参考数据:若xn(,2),有p(-x+)=0.6826,p(-2x+2)=0.9544,p(-3x+3)=0.9974.)(2)某客运公司用a,b两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.a,b两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆,公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求b型车不多于a型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备a型车、b型车各多少辆?【解题指南】(1)根据2倍标准差范围内的概率进行计算.(2)是线性规划问题,由题意列出线性约束条件,画出可行域,找出整数最优解.【解析】(1)由于随机变量x服从正态分布n(800,502),故有=800,=50,p(700x900)=0.9544.由正态分布的对称性,可得p0=p(x900)=p(x800)+p(800x900)=12+12p(700x900)=0.9772.(2)设a型、b型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1600x+2400y.依题意,x,y还需满足:x+y21,yx+7,p(x36x+60y)p0.由(1)知,p0=p(x900),故p(x36x+60y)p0等价于36x+60y900.于是问题等价于求满足约束条件x+y21,yx+7,36x+60y900,x,y0,x,yn,且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x,y值.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为p(5,12),q(7,14),r(15,6).由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点p时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距z2 400最小,即z取得最小值.故应配备a型车5辆,b型车12辆.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014绵阳高二检测)随机变量服从正态分布n(1,2),已知p(0)=0.3,则p(2)=p(0)=0.3,所以p(2)=0.7.2.正态分布n0,49中,数值落在(-,-2)(2,+)内的概率是()a.0.46b.0.997c.0.03d.0.0026【解题指南】根据变量符合正态分布,看出均值和方差的值,根据3原则,知道区间(-2,2)上的概率值,根据对称性和整个区间上的概率之和等于1,得到要求的结果.【解析】选d.由题意=0,=23,所以p(-2x2)=p0-323x0+323=0.9974,所以p(x2)=1-p(-2x2)=1-0.9974=0.0026.故选d.3.某中学高考数学成绩近似地服从正态分布n(100,100),则此校数学成绩在80120分的考生占总人数的百分比为()a.31.74%b.68.26%c.95.44%d.99.74%【解析】选c.设此校学生的数学成绩为x,随机变量xn(100,100),所以=100,2=100,即=10.则p(-20,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()a.600b.400c.300d.200【解析】选d.由平均分为90,考试成绩在70分到110分之间的人数为600,则落在90分到110分之间的人数为300人,故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500-300=200.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014酒泉高二检测)设随机变量n(1,4),若p(a+b)=p(a-b),则实数a的值为.【解题指南】根据随机变量符合正态分布,从表示式上看出正态曲线关于x=1对称,得到对称区间的数据对应的概率是相等的,根据两个区间的概率相等,得到这两个区间关于x=1对称,得到结果.【解析】因为随机变量n(1,4),所以正态曲线关于x=1对称,因为p(a+b)=p(a-b),所以12(a+b+a-b)=1,所以a=1.答案:16.某个部件由三个元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布n(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布n(1000,502)得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=12,超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率p1=1-(1-p)2=34,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2=p1p=38.答案:38三、解答题(每小题13分,共26分)7.生产工艺过程中产品的尺寸偏差x(mm)n(0,22),如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm的为合格品,求生产5件产品的合格率不小于80%的概率.(精确到0.001)【解析】由题意xn(0,22),求得p(|x|4)=p(-4x4)=0.9544.设y表示5件产品中合格品个数,则yb(5,0.9544),所以p(y50.8)=p(y4)=c54(0.9544)40.0456+c55(0.9544)50.1892+0.79190.981.答:生产的5件产品的合格率不小于80%的概率约为0.981.8.(2014