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函数模型及其应用 3 2 1几类不同增长的函数模型二 我们知道 对数函数 指数函数与幂函数在区间上都是增函数 从上述两个例子可以看到 这三类函数的增长是有差异的 那么 这种差异的具体情况到底怎样呢 下面 我们不妨先以函数为例进行探究 利用计算器或计算机 以一定的步长列出自变量与函数值的对应表 表3 5 并在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象 图3 2 4 可以看到 虽然它们都是增函数 但它们的增长速度是不同的 表3 5 从图可以看到 和的图象有两个交点 这表明与在自变量不同的区间有不同的大小关系 有时 有时 下面我们在更大的范围内 观察和的增长情况 但是 当自变量要越来越大时 可以看到 的图象就像与轴垂直一样 的值快速增长 比起来 几乎有些微不足道 如图3 2 6和表3 7所示 探究 你能借助图象 对和的增长情况进行比较吗 请在图象上分别标出使不等式成立的自变量的取值范围 结论 一般地 对于指数函数和幂函数 通过探索可以发现 在区间上 无论比大多少 尽管在的一定变化范围内 会小于 由于的增长快于的增长 因此总存在一个 当时 就会有 同样地 对于对数函数和幂函数 在区间上 随着的增大 增长得越来越慢 图象就像是渐渐地与轴平行一样 尽管在的一定变化范围内 可能会大于 但由于的增长慢于的增长 因此总存在一个 当时 就会有 综上所述 在区间上 尽管函数 和都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着的增大 的增长速度越来越快 会超过并远远大于的增长速度 而的增长速度则会越来越慢 因此 总会存在一个 当时 就有 探究 你能用同样的方法 讨论一下函数 在区间上的衰减情况吗 练习
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