高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习（含解析）.docx

第7讲 二次函数与幂函数【套路秘籍】-千里之行始于足下1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yx3yx2yxyyx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数图像解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0,且a1的图象可能是（ ）A B C D【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数a1，对数函数0a1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0a1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0a1，所以D项满足要求；故选D.4如图是幂函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则()A1n0,0m1 Bn1,0m1 C1n1 Dn1【答案】B【解析】由题图知，y=xm在0,+上是增函数，y=xn在0,+上为减函数，m0,n1时，y=xm的图象在y=x的下方，y=xn的图象在y=x-1的下方，m1,n-1，从而0m1,ncbBabcCcabDbca【答案】A【解析】对于函数y=(25)x，在(0,+)上是减函数，3525，(25)35(25)25，即b25，(35)25(25)25，即ac从而bca故A正确【举一反三】1.已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上，设a=f(m-13),b=f(ln13)，c=f(22) 则a,b,c的大小关系为（ ）AacbBbcaCcabDbac【答案】A【解析】由f(x)=(m-2)xn为幂函数得m-2=1,m=3,因为点(3,9)在幂函数f(x)上，所以3n=9，n=2,即f(x)=x2，因为a=fm-13=f3-13, b=fln13=fln3,又3-13221ln3,所以acb，选A.2设a=20.3，b=30.2，c=70.1，则a、b、c的大小关系为（ ）AacbBcabCabcDcb87bac本题正确选项：B3.已知a=(2)125，b=925，c=4log4e2，则下列结论成立的是（ ）AabcBcbaCbacDacb【答案】A【解析】a=265=6415，b=345=8115，6481，64158115，即a43345=b，故abc，选A.考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)的解析式为_(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.(3)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR，a0)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.【答案】（1）f(x)x22x3 （2）x22x （3）x22x1【解析】（1）由f(0)3，得c3，又f(1x)f(1x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，1，b2，f(x)x22x3.（2） 设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.（3）设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa(a0)，又f(x)ax2bx1，所以a1，故f(x)x22x1.【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【举一反三】1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.【答案】x24x3【解析】因为f(2x)f(2x)对任意xR恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a3，即a1，所以f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.2.已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式【答案】f(x)4x24x7.【解析】设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.3.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式【答案】f(x)x24x3.【解析】f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.4.已知二次函数f(x)x22bxc(b，cR)(1)若f(x)0的解集为x|1x1，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)0，且关于x的方程f(x)xb0的两个实数根分别在区间(3，2)，(0,1)内，求实数b的取值范围【答案】【解析】(1)设x1，x2是方程f(x)0的两个根由根与系数的关系得即所以b0，c1.(2)由题，知f(1)12bc0，所以c12b.记g(x)f(x)xbx2(2b1)xbcx2(2b1)xb1，则b0.所以函数的图象开口向上，且在1,2上单调递增，f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.（2）当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.【套路总结】二次函数在闭区间上的最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成（3）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)【举一反三】1已知函数f(x)x22ax1a，x0,1有最大值2，则a_.【答案】2或1【解析】函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，其图象的对称轴方程为xa.当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.2已知函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是_【答案】7，)【解析】函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x或与直线x重合或位于直线x的左侧，即应有，解得a2，所以f(2)4(a1)257，即f(2)7.3若函数(x)x2m|x1|在0，)上单调递增，则实数m的取值范围是_【答案】2,0【解析】当0x2xm在区间1,1上恒成立，则实数m的取值范围为_（(2)函数f(x)a2x3ax2(a1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则a的最大值为_【答案】（1）(，1) （2）2【解析】（1）设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1，又f(x1)f(x)2x，得2axab2x，所以a1，b1，所以f(x)x2x1.f(x)2xm在区间1,1上恒成立，即x23x1m0在1,1上恒成立，令g(x)x23x1m2m，x1,1，g(x)在1,1上单调递减，所以g(x)ming(1)131m0，所以m1，x1,1，所以ta，原函数化为g(t)t23t2，t，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8恒成立，所以有a23a28，解得5a2，又a1，所以1xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围【答案】【解析】(1)由题意得f(1)ab10，a0，且1，a1，b2.f(x)x22x1，单调减区间为(，1，单调增区间为1，)(2)解法一：f(x)xk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.kxk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1k0在区间3，1上恒成立，设g(x)x2x1k，则g(x)在3，1上单调递减，g(1)0，得k1.2.设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】由题意得a对1x4恒成立，又22，.3.已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足解得m1，C2的指数0n1，C3，C4的指数小于0，且C3的指数大于C4的指数据此可得，只有B选项符合题意故选B7幂函数y=xn是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n的值可以是A3 B1 C0 D1【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数y=xn是奇函数时，指数n为奇数；幂函数y=xn的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数n小于0，对照选项，只有D正确故选D8在函数y=1x2,y=2x2,y=x2+x,y=3x中，幂函数的个数为A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有y=1x2=x-2是幂函数，故选B9已知函数y=xa,y=xb,y=cx的图象如图所示，则a,b,c的大小关系为（ ）Acba Babc Ccab Dac1,b=12,0cbc，故答案为：A.10当-1,12,3时，幂函数y=x的图象不可能经过的象限是A第二象限 B第三象限C第四象限 D第二、四象限【答案】D【解析】y=x-1的图象经过第一、三象限，y=x12的图象经过第一象限，y=x的图象经过第一、三象限，y=x3的图象经过第一、三象限故选D11已知正实数a,b,c满足loga2=2，log3b=13，c6=172，则a,b,c的大小关系是（ ）AabcBacbCcbaDbac【答案】B【解析】由题得a2=2,a6=8,b=313,b6=32=9,因为81729,a,b,c都是正数，所以acb.故选：B12已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，2），则函数f（x）为（）A奇函数且在(0,+)上单调递增B偶函数且在(0,+)上单调递减C非奇非偶函数且在(0,+)上单调递增D非奇非偶函数且在(0,+)上单调递减【答案】C【解析】幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，2），2a=2，解得a=12，函数f（x）=x12，函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+）上单调递增故选：C13已知函数y=xm2-5m+4（mZ）为偶函数且在区间（0，+）上单调递减，则m=（）A2或3 B3 C2 D1【答案】A【解析】幂函数y=xm2-5m+4为偶函数，且在0,+递减，m2-5m+40，且m2-5m+4是偶数，由m2-5m+40得1m0时，fx=x2-3x，则（ ）Aftan70f1.4f-1.5Bftan70f-1.5f1.4Cf1.4ftan70f-1.5Df-1.5f1.4ftan70【答案】A【解析】当x0时，fx=x-1.52-1.52，tan70-1.5tan60-1.50.232，又函数fx为偶函数，所以f-1.5=f1.5，1.5-1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以ftan70f1.4f-1.5.故选A15已知函数fx=x2+mx+1在区间-,-1上是减函数,在区间1,+上是增函数,则实数m的取值范围是( )A-2,2B(-,-2C2,+DR【答案】A【解析】由题意，函数fx=x2+mx+1表示开口向上，且对称轴的方程为x=-m2，要使得函数fx在区间-,-1上是减函数,在区间1,+上是增函数,则-1-m21，解得-2m2，故选A.16幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+)上为增函数，则实数m的值为_【答案】2【解析】由函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1是幂函数，则m2-2m+1=1，解得m=0或m=2；当m=0时，f(x)=x-1，在(0,+)上为减函数，不合题意；当m=2时，f(x)=x3，在(0,+)上为增函数，满足题意故答案为：217. 已知函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数，且f(x)在(0,+)上单调递增，则实数m=_.【答案】2【解析】幂函数f（x）（m2m1）xm在区间（0，+）上单调递增，m2-m-1=1m0，解得m2或-1（舍）故答案为：218已知幂函数f(x)=(k2-2k-7)xk-1在(0,+)上是减函数，则实数k的值为_【答案】-2【解析】因为函数f(x)=(k2-2k-7)xk-1是幂函数，所以k2-2k-7=1，即(k+2)(k-4)=0，解得k=-2或k=4，当k=-2时，f(x)=x-3，满足在(0,+)上是减函数，当k=4时，f(x)=x3，在(0,+)上是增函数，所以k=-2，故答案是：-2.19若f(x)=(m-1)2xm是幂函数且在(0,+)单调递增，则实数m=_.【答案】2【解析】f(x)=(m-1)2xm为幂函数，所以(m-1)2=1，解得m=0或2.当m=0时，fx=x0=1，在(0,+)不单调递增，舍去；当m=2时，f(x)=x2，在(0,+)单调递增成立.故答案为：m=2.20已知幂函数f（x）=（m3m+1）x121-8m-m2的图象与x轴和y轴都无交点（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）f（x2）【答案】（1）f（x）=x4；（2）x|xf（x2）成立，只需|x+1|x2|，解得x12，又f（x）的定义域为x|x0，所以不等式的解集为x|x0，即2m2+m30且a1，解得a=3（负值舍去），所以f(x)=log3x因为g(x)=loga(x+1)+loga(3-x)，所以x+103-x0，即x-1x3，即-1x3，故g(x)的定义域为x|-1x3由于g(x)=log3(x+1)+log3(3-x)=log3(-x2+2x+3)，令u(x)=-x2+2x+3(-1x3)，则由对称轴x=1可知，u(x)在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减；因为y=log3u在(0,+)上单调递增，所以函数g(x)的单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为(1,3)（2）因为不等式g(x)-m+30的解集非空，所以m-3g(x)min,x13,2，由（1）知，当x13,2时，函数g(x)的单调递增区间为13,1，单调递减区间为(1,2，因为g(13)=log3329,g(2)=1，所以g(x)min=1，所以m-31，即m4，故实数m的取值范围为4,+)23设二次函数fx=x2+bx+c，b，cR（1）若fx满足：对任意的xR，均有f-x-fx，求c的取值范围；（2）若fx在0，1上与x轴有两个不同的交点，求c2+1+bc的取值范围【答案】(1) 0,+ (2) 0,116【解析】（1）f-x+fx=-x2