【全程复习方略】（广东专用）高考数学 第十一章 第二节 证明不等式的基本方法课时作业 理 新人教A版.doc

【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学 第十一章 第二节 证明不等式的基本方法课时作业 理 新人教a版一、选择题1.设ab,a+b0,则下列不等式中不一定成立的是()(a)a2ab-a2(b)2a-b(c)a2b2(d)2b-a2.(2013孝感模拟)已知a,b,m是正实数,则不等式b时成立(b)当a0(b)(a+b+c)(c)ab+bc+acabc4.若x2+xy+y2=1,且x,yr,则n=x2+y2的取值范围是()(a)0n1(b)2n3(c)n2(d)n25.已知a,b为正实数,x=,y=,则有()(a)xy6.已知a0,b0,m=+,n=+,p=,则m,n,p的大小顺序是()(a)mnp(b)mnp(c)nmp(d)nmp7.已知a,b,c为正实数,x=,y=,z=,则有()(a)xyz(b)yxz(c)yzx(d)zyx8.(2013武汉模拟)设a,b,c为正实数,且a+b+c=1,若m=(-1)(-1)(-1),则必有()(a)0m(b)m1(c)1m8(d)m89.已知函数f(x)=-2x+1,对于任意正数,使得|f(x1)-f(x2)|成立的一个充分但不必要条件是()(a)|x1-x2|(b)|x1-x2|(c)|x1-x2|10.设a,b是正实数,以下不等式:;a|a-b|-b;a2+b24ab-3b2;ab+2.其中恒成立的序号为()(a)(b)(c)(d)11.设a,b是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()(a)(a+3)22a2+6a+11(b)a2+a+(c)|a-b|+2(d)-二、填空题12.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若xy,则实数a,b应满足的条件为.13.若an是各项都为正的等比数列,且公比q1,则a1+a4与a2+a3的大小关系是.14.已知a,b,c为正实数,则+与+的大小关系是.15.已知,是实数,给出下列四个论断:|+|=|+|;|-|+|;|2,|2;|+|5.以其中的两个论断为条件,其余两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题.三、解答题16.(2013荆州模拟)(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3.(2)若xr,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明,如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.答案解析1.【解析】选b.由条件ab,a+b0可知,b的符号不确定,故不等式2a-b不一定成立.2.【解析】选b.,-0,即0,b0,m0,a-b0,即a0,ab+bc+acyz,且x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是()(a)xyyz(b)xzyz(c)xyxz(d)x|y|z|y|【解析】选c.由x+y+z=0,且xyz得x0,z0,y=0,yy,z0,所以xz0,.6.【解析】选a.由已知,m=+,n=+,得a=b0时m=n,可否定b,c.比较a,d项,不必论证m,n与p的关系.取特值a=4,b=1,则m=4+=,n=2+1=3,mn,可排除d.7.【解析】选b.a,b,c为正实数,xy.又x2=,z2=,a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,三式相加得a2+b2+c2ab+bc+ca,3a2+3b2+3c2(a+b+c)2,z2x2,zx.8.【解析】选d.由已知得m=(-1)(-1)(-1)=8.【变式备选】已知a,b(0,+),且a+b=1,求证:(1)+8.(2)a2+b2.(3)+8.(4)(a+)2+(b+)2.(5)(a+)(b+).(6)+2.【思路点拨】以上六个不等式的左边都含有(或隐含有)ab或,因此只要利用a+b=1得出ab及的范围,就能够证出以上六个不等式.【证明】由得ab4.(1)+=(a+b)(+)+22+4=4+4=8,+8.(2)a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2=,a2+b2.(3)+8,+8.(4)由(2)、(3)的结论,知(a+)2+(b+)2=a2+b2+4+4+8=,(a+)2+(b+)2.(5)方法一:欲证原式,即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,即证4(ab)2-33ab+80,即证ab或ab8.a0,b0,a+b=1,ab8不可能成立.1=a+b2,ab,从而得证.方法二:a+b=1,a0,b0,a+b2,ab,(a+)(b+)-=-=0.(a+)(b+).方法三:a+b=1,a0,b0,a+b2,ab,1-ab1-=(1-ab)2,即(a+)(b+).(6)方法一:x0,y0,x+y2,2(x+y)(x+y)+2=(+)2+,由此得:+=2.方法二:要证+2,即证(+)28,即证2(a+b)+2+28,a+b=1,从而只需证2,即证2,只需证ab,而a0,b0,1=a+b2,ab显然成立,故原不等式成立.9.【解析】选c.由|f(x1)-f(x2)|=|(-2x1+1)-(-2x2+1)|=2|x1-x2|知|x1-x2|0,b0,a+b2,=,故不等式缺等号,不恒成立,因此排除选项a,b,又(a2+b2)-(4ab-3b2)=a2-4ab+4b2=(a-2b)20,故不等式也缺等号,也不恒成立,因此又排除选项c,故选d.11.【解析】选c.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2b时,恒成立,当ay,则x-y=a2b2+5-(2ab-a2-4a)=a2b2-2ab+a2+4a+5=(ab-1)2+(a+2)20,ab1或a-2.答案:ab1或a-2【方法技巧】1.作差比较法(1)作差比较法的一般步骤是:作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时,常用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法的一般步骤是:作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(2)若所证不等式的两边是积、商、幂、对数、根式形式时,常用作商比较法.(3)利用作商比较法时,要注意分母的符号.13.【解析】(a1+a4)-(a2+a3)=a1+a1q3-a1q-a1q2=a1(1+q)(1-q)2,an0,q0,又q1,a1(1+q)(1-q)20,即a1+a4a2+a3.答案:a1+a4a2+a314.【解析】因为+2,+2,+2,三式相加可得+.答案:+15.【解析】成立时,|+|=|+|45,成立.又由,知0,|-|+|成立,即成立,同理.答案:或(写一个即可)16.【解析】(1)因为x是正数,由基本不等式知,x+12,1+x22x,x3+12,故(x+1)(x2+1)(x3+1)22x2=8x3(当x=1时等号成立).(2)若xr,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3仍然成立.由(1)知,当x0时,不等式成立;当x0时,8x30.而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)(x-)2+0,此时不等式仍然成立.【方法技巧】不等式证明的方法与技巧(1)不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式最基本的方法.比较法证不等式有作差(商)、变形、判号、结论四个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述;如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证.综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野.(2)不等式证明还有一些常用的技巧:拆项、添项、逆代、换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换,在应用换元法时,要注意代换的等价性.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,