【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 4.3平面向量的数量积精品试题 (2)(1).doc

平面向量的数量积(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014大连模拟)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a-b=(3,18),则向量a,b夹角的余弦值等于()a.865b.-865c.1665d.-1665【解析】选d.b=2a-(3,18)=(8,6)-(3,18)=(5,-12),设a,b的夹角为,则cos=20-36513=-1665.2.已知下列结论:(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2;(ab)2=a2b2;若ab,则ab=|a|b|;若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则ab.其中正确结论的个数是()a.1b.2c.3d.4【解析】选b.设a与b的夹角为,对于,结论显然正确;对于,(ab)2=(|a|b|cos)2=|a|2|b|2cos2|a|2|b|2=a2b2,所以不正确;对于,当a,b同向时有ab=|a|b|;当a,b反向时有ab=-|a|b|,故不正确;对于,由|a+b|=|a-b|,得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,所以ab,故正确.3.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则“m=1”是“(a-mb)a”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选c.当m=1时,(a-b)a=a2-ab=1-12cos60=0,故(a-b)a;反之当(a-mb)a时,有(a-mb)a=a2-mab=1-m(12cos60)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)a”的充要条件.4.(2014温州模拟)在abc中,c=90,且ac=bc=3,点m满足bm=2ma,则cmcb等于()a.2b.3c.4d.6【解析】选b.方法一:如图,以c为原点,ca,cb为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则a(3,0),b(0,3),设m(x0,y0),因为bm=2ma,所以x0=2(3-x0),y0-3=2(-y0),所以x0=2,y0=1,所以cmcb=(2,1)(0,3)=3,故选b.方法二:因为bm=2ma,所以bm=23ba,所以cbcm=cb(cb+bm)=|cb|22+cb23ba=9+23332-22=3.5.(2014宝鸡模拟)已知向量a=(cos,sin),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是()a.42,0b.4,42c.16,0d.4,0【解析】选c.根据题意,由于向量a=(cos,sin),向量b=(3,-1),那么可知|2a-b|2=4a2+b2-4ab=4+4-4(3cos-sin)=8-8sin3-,所以最小值为0,最大值为16,故答案为c.【加固训练】已知圆o的半径为1,pa,pb为该圆的两条切线,a,b为两切点,那么papb的最小值为()a.-4+2b.-3+2c.-4+22d.-3+22【解析】选d.设apb=2,|po|=x,则papb=|pa|pb|cos2=|pa|2cos2=(|po|2-1)(1-2sin2)=(x2-1)1-2x2=x2-2-1+2x2-3+22,当且仅当x2=2x2,即x=42时取等号.6.已知非零向量ab与ac满足ab|ab|+ac|ac|bc=0且ab|ab|ac|ac|=12,则abc为()a.等边三角形b.直角三角形c.等腰非等边三角形d.三边均不相等的三角形【思路点拨】注意ab|ab|,ac|ac|是单位向量,利用向量加法的平行四边形法则及平面向量的数量积变形计算,由所得结果进行判断.【解析】选a.因为ab|ab|ac|ac|=abac|ab|ac|=|ab|ac|cosbac|ab|ac|=cosbac=12,所以bac=60,又ab|ab|+ac|ac|与以bac为顶角的菱形的一条对角线共线,即是bac的平分线,由题意,得bac的平分线与bc边垂直,所以ab=ac,故abc为等边三角形.【加固训练】(2014景德镇模拟)在abc中,若|ba+bc|=|ac|,则abc的形状为()a.等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.不能确定【解析】选b.根据向量加法的平行四边形法则可知|ba+bc|等于ac边上的中线的二倍,所以由|ba+bc|=|ac|知ac边的中线长等于ac长度的一半,所以abc为直角三角形.7.(2014青岛模拟)在直角坐标平面内,已知向量ob=(1,0),oc=(0,1),a为动点,|ca|=12,则oa与ob夹角的最小值为()a.6b.4c.3d.2【解析】选c.|ca|=12,所以a点在以c(0,1)为圆心,以12为半径的圆上,如图oa与圆c相切时,aob最小,易得aoc=6,所以aob=3,故选c.【误区警示】解答本题易误选a,出错的原因有二,一是不能利用|ca|=12确定a点的轨迹,使解题思路受阻,而猜a;二是误把aoc的大小当作oa与ob的夹角.8.(能力挑战题)已知平面内的向量oa,ob满足:|oa|=|ob|=2,oa与ob的夹角为2,又op=1oa+2ob,011,122,则点p的集合所表示的图形的面积是()a.8b.4c.2d.1【思路点拨】建立平面直角坐标系,转化为坐标运算,求点p的坐标满足的不等式组,画出其表示的平面区域,然后求其面积.【解析】选b.如图,以o为原点,oa所在直线为x轴,ob所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则a(2,0),b(0,2),设p(x,y),则由op=1oa+2ob,得(x,y)=1(2,0)+2(0,2)=(21,22),即x=21,y=22.又因为011,122,所以0x2,2y4.所以点p的集合为(x,y)|0x2,2y4,它表示正方形区域(如图中阴影部分所示),所以点p的集合所表示的图形的面积为22=4.【加固训练】已知o是abc内部一点,oa+ob+oc= 0,abac=23,且bac=30,则aob的面积为()a.2b.1c.12d.13【解析】选d.由oa+ob+oc=0,得o为abc的重心,saob=13sabc.又abac=|ab|ac|cos30=23,得|ab|ac|=4,sabc=12|ab|ac|sin30=1.故saob=13.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014绍兴模拟)已知两个非零向量a与b,定义|ab|=|a|b|sin,其中为a与b的夹角.若a=(-3,4),b=(0,2),则|ab|的值为.【解析】|a|=(-3)2+42=5,|b|=02+22=2,ab=-30+42=8,所以cos=852=45,又因为0,所以sin=1-cos2=1-452=35,故根据定义可知|ab|=|a|b|sin=5235=6.答案:610.(2013山东高考)在平面直角坐标系xoy中,已知oa=(-1,t),ob=(2,2),若abo=90,则实数t的值为.【解析】ab=ob-oa=(2,2)-(-1,t)=(3,2-t),因为abo=90,所以abob,所以abob=0,32+2(2-t)=0,所以t=5.答案:511.(2014济宁模拟)已知|a|=|b|=2,a与b的夹角为60,则a+b在a上的投影为.【解析】(a+b)a=a2+ba=4+|b|a|cos60=6.令两向量(a+b),a的夹角为,则由(a+b)a=|a+b|a|cos,得|a+b|cos=3,则a+b在a上的投影为3.答案:312.如图,半圆的直径ab=4,o为圆心,c为半圆上不同于a,b的任意一点,若p为半径oc上的动点,则(pa+pb)pc的最小值为.【思路点拨】注意pa+pb=2po,而po与pc共线反向,且|oc|=2,引入参数用oc表示op,pc,利用平面向量的数量积公式转化为函数的最值.【解析】设op=oc,则pc=(1-)oc,由o为ab的中点可得pa+pb=2po=-2op.所以(pa+pb)pc=-2oppc=-2oc(1-)oc=-2(1-)|oc|2=-8(1-)=8-122-14.故当=12时,(pa+pb)pc取得最小值,最小值为8-14=-2.答案:-2三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.已知两个不共线的向量a,b,它们的夹角为,且|a|=3,|b|=1,x为正实数.(1)若a+2b与a-4b垂直,求tan.(2)若=6,求|xa-b|的最小值及对应的x的值,并判断此时向量a与xa-b是否垂直?【解析】(1)由题意,得(a+2b)(a-4b)=0,即a2-2ab-8b2=0,得32-231cos-812=0,得cos=16,又(0,),所以sin=1-cos2=1-162=356,所以tan=sincos=35.(2)|xa-b|=9x-362+14,故当x=36时,|xa-b|取得最小值为12.此时a(xa-b)=xa2-ab=369-31cos6=0,故向量a与xa-b垂直.14.(2014郑州模拟)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),其中0.(1)求证:a+b与a-b互相垂直.(2)若ka+b与ka-b(k0)的长度相等,求-.【解析】(1)因为(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)2-(cos2+sin2)2=1-1=0.所以a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),ka-b=(kcos-cos,ksin-sin),所以|ka+b|=k2+2kcos(-)+1,|ka-b|=k2-2kcos(-)+1,因为|ka+b|=|ka-b|,所以k2+2kcos(-)+1=k2-2kcos(-)+1,有2kcos(-)=-2kcos(-),因为k0,故cos(-)=0,又因为0,0-1时,cos-(x2-1)(2x-2)