【全程复习方略】（福建专用）高中数学 7.8立体几何中的向量方法训练 理 新人教A版 .doc

【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学 7.8立体几何中的向量方法训练 理 新人教a版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知直线l1的方向向量是a=(2,4,x)，直线l2的方向向量是b=(2，y,2)，若|a|=6，且ab=0，则x+y的值是( )(a)-3或1 (b)3或-1(c)-3 (d)12.在正方体abcd-a1b1c1d1中，若e为a1c1中点，则直线ce垂直于( )(a)ac (b)bd (c)a1d (d)a1a3.(2012三明模拟)如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且ac=bc=2，acb=90，f、g分别是线段ae、bc的中点，则ad与gf所成的角的余弦值为( )(a) (b) (c) (d)4.(2012金华模拟)正三棱柱abca1b1c1的棱长都为2，e，f，g为ab，aa1，a1c1的中点，则b1f与平面gef所成角的正弦值为( )(a) (b)(c) (d)5.(2012厦门模拟)如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,棱长为a,m,n分别为a1b和ac上的点,a1m=an=,则mn与平面bb1c1c的位置关系是( )(a)相交 (b)平行(c)垂直 (d)不能确定6.（易错题）如图，矩形abcd中，ab=3，bc=4，沿对角线bd将abd折起，使a点在平面bcd内的射影o落在bc边上，若二面角cabd的大小为，则sin的值等于( )(a) (b) (c) (d)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012九江模拟)已知两平面的法向量分别为m=(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_.8.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则点o到平面abc1d1的距离为_.9.正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且so=od，则直线bc与平面pac所成的角是_三、解答题(每小题15分，共30分)10.(预测题)如图，已知四棱锥pabcd的底面是正方形，pa底面abcd，且pa=ad=2，点m、n分别在侧棱pd、pc上，且pm=md.(1)求证：am平面pcd；(2)若，求平面amn与平面pab所成二面角的余弦值.11.（2012厦门模拟)如图，在三棱锥pabc中， pa底面abc，pa=ab,abc=60,bca=90,点d、e分别在棱pb，pc上，且debc.（1）求证：bc平面pac；（2）当d为pb的中点时，求ad与平面pac所成角的余弦值.【探究创新】(16分)如图，在矩形abcd中，ab=2，bc=a，pad为等边三角形，又平面pad平面abcd(1)若在边bc上存在一点q，使pqqd，求a的取值范围；(2)当边bc上存在唯一点q，使pqqd时，求二面角apdq的余弦值答案解析1.【解析】选a.由题意知,得x=4.由=4+4y+2x=0得x=-2y-2,当x=4时，y=-3,x+y=1；当x=-4时，y=1,x+y=-3,综上x+y=-3或1.2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【解析】选b.以a为原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则a(0，0，0)，c(1，1，0)，b(1，0，0)，d(0，1，0)，a1(0，0，1)，e(，1)，=(，1)，=(1，1，0)，=(-1，1，0)，=(0，1，-1)，=(0，0，-1)，显然，即cebd.3.【解析】选a.如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且ac=bc=2，acb=90，f、g分别是线段ae、bc的中点.以c为原点建立空间直角坐标系cxyz,a(0，2，0)，b(2，0，0)，d(0，0，2)，g(1，0，0)，f(0，2，1)，=(0，-2，2)，=(-1，2，1)，=-2，.直线ad与gf所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选b.【变式备选】在正方体abcda1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是( )(a) (b) (c) (d)【解析】选d.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知amop总成立，即am与op所成的角为4.【解析】选a.如图，取a1b1的中点e1，建立如图所示空间直角坐标系exyz.则e(0,0,0),f(-1,0,1),b1(1,0,2),a1(-1,0,2),c1(0,2),g().=(-2,0,-1),设平面gef的一个法向量为n=(x,y,z),由，得，令x=1,则=(1,1),设b1f与平面gef所成角为，则.5.【解题指南】建立坐标系，判断与平面bb1c1c的法向量的关系.【解析】选b.分别以c1b1，c1d1，c1c所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.a1m=an=,m(),n().又c1(0，0，0)，d1(0,a,0),=(0,a,0).是平面bb1c1c的一个法向量，且mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.6.【解析】选a.由题意可求得bo=，oc=，ao=，建立空间直角坐标系如图，则c(,0,0)，b(,0,0)，a(0,0,)，d(,3,0)，=(4,3,0)，=()设=(x，y，z)是平面abd的一个法向量则，取z=，x=7,y=.则.又=(0,3,0)是平面abc的一个法向量.sin.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法，其步骤是：建系，分别求构成二面角的两个半平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】，,两平面所成二面角的大小为或.答案：或【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有,而忽视.8.【解析】以d为原点，da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o(,1)，设平面abc1d1的法向量=(x,y,z)，由，得，令x=1，得n=(1,0,1)，又，o到平面abc1d1的距离.答案: 9.【解析】如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设od=so=oa=ob=oc=a，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(-a,0,0)，p(0,)，则=(2a,0,0)，=(-a,)，=(a，a,0)，设平面pac的一个法向量为，可取=(0,1,1)，则，=60，直线bc与平面pac所成的角为9060=30.答案：3010.【解析】(1)pa底面abcd，cd底面abcd，pacd.又正方形abcd中，cdad，paad=a,cd平面pad，而am平面pad，cdam.由题意知ampd,又pdcd=d，am平面pcd.(2)如图建立空间直角坐标系axyz,又pa=ad=2，则有p(0，0，2)，d(0，2，0)，m(0，1，1)，c(2，2，0)，=(2,2,-2),设n(x,y,z),则有x-0=(2-x),.同理可得,n().由，得pcan.又am平面pcd,ampc.aman=a,pc平面amn，平面amn的一个法向量为=(2，2，-2)，而平面pab的法向量可为=(0，2，0)，.故所求平面amn与平面pab所成二面角的余弦值为.【变式备选】(2012吉林模拟)如图,已知四棱锥p-abcd的底面abcd是边长为2的正方形，pd底面abcd，e、f分别为棱bc、ad的中点.(1)若pd=1，求异面直线pb与de所成角的余弦值.(2)若二面角p-bf-c的余弦值为，求四棱锥p-abcd的体积.【解析】(1)e，f分别为棱bc，ad的中点，abcd是边长为2的正方形dfbe且df=bedfbe为平行四边形debfpbf等于pb与de所成的角.pbf中，bf=，pf=，pb=3cospbf=异面直线pb和de所成角的余弦值为.(2)以d为原点，直线da，dc，dp分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设pd=a，可得如下点的坐标：p(0,0,a)，f(1，0，0)，b(2，2，0)，则有：=(1，0，-a)，=(1，2，0)，因为pd底面abcd，所以平面abcd的一个法向量为=(0，0，1)，设平面pfb的一个法向量为=(x,y,z)，则可得即，令x=1，得，所以.已知二面角p-bf-c的余弦值为，所以得：，解得a=2.因为pd是四棱锥p-abcd的高，所以，其体积为vp-abcd=24=.11.【解析】以a为原点建立空间直角坐标系 axyz,设paa,由已知可得a（0，0，0），b（）,c().（2）d为pb的中点，debc,e为pc的中点，又由（1）知，bc平面pac,de平面pac，垂足为点e.dae是ad与平面pac所成的角，【探究创新】【解析】(1)取ad中点o，连接po，则poad平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，po平面abcd.建立如图的空间直角坐标系，则p(0,0,),d(,0,0)设q(t，2，0)，则pqqd，a=2(t+)，a0,t0,2(t+)8,等号