【全程复习方略】（福建专用）高考数学 分类题库考点18 双曲线（）理 人教版(1).doc

考点18 双曲线1.（2010全国卷理科9）已知，为双曲线c:的左、右焦点，点p在c上，=60，则到轴的距离为（ ）(a) (b) (c) (d) 【命题立意】本小题主要考查双曲线的几何性质、余弦定理，突出考查双曲线中的焦点三角形问题，通过本题可以有效地考查考生对知识的的综合运用能力，运算能力以及解决解析几何问题的解题技巧.【思路点拨】方法一：利用双曲线的第一定义列出方程求解；方法二：利用双曲线的第二定义，结合余弦定理求解；方法三：直接利用双曲线的焦点三角形的面积公式.【规范解答】选b.（方法一）不妨设点在双曲线的右支上，则.由余弦定理得（方法二）不妨设点p在双曲线的右支上,由双曲线的第二定义得， ，由余弦定理得cosp=,即cos60,解得,所以，故p到x轴的距离为.（方法三）由焦点三角形面积公式得:2.（2010江西高考理科）点在双曲线的右支上，若点a到右焦点的距离等于，则_.【命题立意】本题主要考查双曲线的基本知识，考查双曲线的焦半径公式及对知识的灵活运用能力【思路点拨】先确定双曲线的基本量，再由双曲线的焦半径公式求解.【规范解答】因为，所以，.由焦半径公式得.代入得，解得.【答案】3.（2010重庆高考文科21）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程.（2）如 图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点e在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交与,两点，求的值.【命题立意】本小题考查双曲线的定义、标准方程、性质等基础知识，考查直线方程的基础知识，考查平面向量的运算求解能力，体现了方程的思想和数形结合的思想方法.【思路点拨】（1）由e,求出，再由求出.（2）点e是关键点，根据点e的坐标求出直线mn的方程，解两条直线组成的方程组得点g，h的坐标，即向量,的坐标，再进行向量的数量积运算，化简、整理可得.【规范解答】(1)设c的标准方程为(,)，则由题意知.又， 所以，所以c的标准方程为，c的渐近线方程为，即和.（2）（方法一）由题意点在直线：和：上，因此有，所以点m，n均在直线上，因此直线mn的方程为.设g，h分别是直线mn与渐近线，的交点，故.因为点e在双曲线上，有，所以.（方法二）设，由方程组解得因为，所以直线mn的斜率，故直线mn的方程为，注意到，因此直线mn的方程为.以下与方法一相同.【方法技巧】（1）字母运算是解答本题的主要特点.（2）已知与未知的相互转化，即关于点e的坐标的两个等式和，通过转化字母的已知与未知的关系，和看作已知，点和代入方程，得到直线mn的方程.（3）关键点e在解题中的关键作用.4.（2010重庆高考理科20）已知以原点o为中心，为右焦点的双曲线c的离心率.（1）求双曲线c的标准方程及其渐近线方程.（2）如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点e在双曲线c上，直线mn与两条渐近线分别交与g，h两点，求的面积.【命题立意】本小题主要考查直线、双曲线的基础知识，考查方程的思想和数形结合的思想方法.【思路点拨】（1）由e,求出，再由求出.（2）点e是关键点，根据点e的坐标求出直线mn的方程，解两条直线组成的方程组得到点g，h的纵坐标，求出直线与轴的交点的横坐标，确定oq的长，从而表示出的面积，化简即得.【规范解答】(1)设c的标准方程为(,)，则由题意知.又， 所以，所以c的标准方程为,c的渐近线方程为，即和.（2）（方法一）如图，由题意点在直线：和：上，因此有，所以点m，n均在直线上，因此直线mn的方程为.设g，h分别是直线mn与渐近线，的交点，设mn与轴的交点为q，则在直线中，令，因为，所以.又因为，所以+，即的面积是2.（方法二）设，由方程组解得因为，所以直线mn的斜率故直线mn的方程为，注意到，因此直线mn的方程为.以下与方法一相同. 【方法技巧】（1）字母运算是解答本题的主要特点.（2）已知与未知的相互转化，即关于点e的坐标的两个等式和，通过转化字母的已知与未知的关系，和看作已知，点和代入方程，得到直线mn的方程.（3）关键点e在解题中的关键作用. 5.（2010全国高考卷理科21）已知斜率为1的直线与双曲线c：相交于b,d两点，且bd的中点为m（1,3）（）求c的离心率.（）设c的右顶点为a，右焦点为f，|df|bf|=17.证明：过a，b，d三点的圆与x轴相切.【命题立意】本题考查了直线、双曲线、直线与双曲线的位置关系等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，体现了数形结合思想及化归与转化思想.【思路点拨】由已知可得直线方程，代入双曲线方程，由根与系数的关系与已知m点得到a、b的关系，及得离心率。第二问用韦达定理及|df|bf|=17，可求得双曲线的方程，考查并证明ma=mb=md且ma轴.【规范解答】（1）由题意知，的方程为：y=x+2.代入c的方程化简，得 （b-a）x-4ax-4a- =0 设b（x,y）、d(x,y),则 x+x=,xx= 由m（1，3）为bd的中点知，故，即 故所以的离心率（）由可知，c的方程为：，a（a,0）,f(2a,0),0, 故不妨设bffd=又fdbf=17，故解得故bd=连结ma，则由a（1，0），m（1，3）知ma=mb=md,且ma轴，因此以m为圆心，ma为半径的圆经过a,b,d三点，且在点a处与x轴相切，所以过a, b,d三点的圆与x轴相切。abmdfoxy【方法技巧】 1.解析几何问题要求根据曲线的几何特征熟练地转化为数量关系（如