讲义_复习专题1_因式分解720.doc

天作教育学科教师辅导讲义课 题因 式 分 解教学内容一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式；因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。例01下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A BC D例02在下面多项式中，能通过因式分解变形为的是（ ）A B C D二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“”号，使括号内的第一项系数为正；公因式的系数和字母应分别考虑：系数是各项系数的最大公约数； 字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。例01在下面因式分解中，正确的是（ ）A BC D例02把分解因式的结果为 。例03分解因式：. 说明：观察题目结构特征 对于与的符号有下面的关系： 例04解方程： 例05不解方程组求：的值. 类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：注意：条件：两个二次幂的差的形式；平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清、分别表示什么。例如：分解因式：（1）； （2）； （3）2、利用完全平方公式因式分解：注意：是关于某个字母（或式子）的二次三项式；其首尾两项是两个符号相同的平方形式；中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 公式原型，弄清、分别表示的量。典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）； （2）说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。例2 分解因式：（1）； （2）.说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）；（2）； （3）；（4）.说明：可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式： ； 说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.例5 分解因式： . 说明：分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解.分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式： ； ； . 说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若是完全平方式，求的值.说明：根据完全平方公式特点求待定系数，熟练公式中的“、”便可自如求解.例8 已知，求的值.说明：将所求的代数式变形，使之成为的表达式，然后整体代入求值.例9 已知，求的值.说明：这类问题一般不适合通过解出、的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于与的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知和满足方程组，求代数式的值。类型三、分组分解法1、条件：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。2、原则：分组后能继续分解（即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接达到分解的目的）。3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为：组内提公因式或运用公式； 组间提公因式或运用公式。分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟一，且灵活多变.例如：am+an+bm+bn； x2-y2+2x+1.例1 选择题：对运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）（A）（B） （C）（D） 说明：本组题目用来判断分组是否适当.例2 因式分解： （1）； （2）说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一； （2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单； （3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带“”的括号时，括号内每项要变号；例3 分解因式：（1）； （2）； 说明：把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；。例4 分解因式： 说明：根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。例5 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）. 说明：对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.例6 分解因式： （1）； （2）说明：本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”。类型四、关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解事实上：x2+(p+q)x+pq =x2+px+qx+pq =(x2+px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p