中考数学总复习 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系（试卷部分）课件.ppt

第五章圆 5 1圆的性质及圆有关的位置计算 中考数学 浙江专用 1 2018衢州 10 3分 如图 ac是 o的直径 弦bd ao于e 连接bc 过点o作of bc于f 若bd 8cm ae 2cm 则of的长度是 a 3cmb cmc cmd cm 考点一圆的有关概念及性质 a组2014 2018年浙江中考题组 五年中考 答案d ac bd be de bd 4cm 设 o的半径为rcm 连接ob 则在rt boe中 r2 42 r 2 2 解得r 5 ce 8cm bc 4cm 又 of bc cf bc 2cm oc 5cm of cm 故选d 2 2017金华 7 4分 如图 在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片 则弦ab的长为 a 10cmb 16cmc 24cmd 26cm 答案c如图 作oc ab交ab于d 交圆于c oc 13cm cd 8cm od 5cm 在rt bod中 bd 12 cm ab 2bd 24 cm 思路分析作oc ab交ab于d 交圆于点c 根据垂径定理和勾股定理求ab的长 3 2016绍兴 6 4分 如图 bd是 o的直径 点a c在 o上 aob 60 则 bdc的度数是 a 60 b 45 c 35 d 30 答案d连接oc aob cob 60 根据圆周角定理得 bdc cob 30 故选d 4 2016杭州 8 3分 如图 已知ac是 o的直径 点b在圆周上 不与a c重合 点d在ac的延长线上 连接bd交 o于点e 若 aob 3 adb 则 a de ebb de ebc de dod de ob 答案d连接oe aob adb b 3 adb b 2 adb oe ob oeb b 2 adb adb eoc adb eoc de eo de ob 故选d 思路分析利用圆的性质构建等腰三角形 再利用三角形外角知识结合题干解决问题 方法点拨在解决与圆相关的问题时 应把握好圆的性质 要有找出隐藏条件 添加适当辅助线的能力 5 2016金华 9 3分 足球射门 不考虑其他因素 仅考虑射点到球门ab的张角大小时 张角越大 射门越好 如图的正方形网格中 点a b c d e均在格点上 球员带球沿cd方向进攻 最好的射点在 a 点cb 点d或点ec 线段de 异于端点 上一点d 线段cd 异于端点 上一点 答案c如图 过a b e三点作圆o 易得d在圆上 c在圆外 根据圆周角定理可得 aeb adb amb m为ac与 o的交点 又 amb acb aeb adb acb 设n f分别为线段cd ed上异于端点的点 则点n在 o外 点f在 o内 易知 anb adb afb 由于张角越大 射门越好 故选c 6 2016丽水 10 3分 如图 已知 o是等腰rt abc的外接圆 点d是上一点 bd交ac于点e 若bc 4 ad 则ae的长是 a 3b 2c 1d 1 2 答案c ab是 o的直径 d c 90 在等腰rt abc中 bc 4 ac 4 ab 4 在rt abd中 ad ab 4 bd d c aed bec ade bce 又ad bc 4 1 5 设ae x 则be 5x 则de 5x ce 28 25x ac 4 x 28 25x 4 解得x 1 故选c 评析本题考查了圆的性质 等腰直角三角形的性质 相似三角形的判定及应用等知识点 题目考查的知识点较多 是一道综合性试题 题目难易适中 7 2015衢州 7 3分 数学课上 老师让学生尺规作图画rt abc 使其斜边ab c 一条直角边bc a 小明的作法如图所示 你认为这种作法中判定 acb是直角的依据是 a 勾股定理b 直径所对的圆周角是直角c 勾股定理的逆定理d 90 的圆周角所对的弦是直径 答案b由作图痕迹可以看出o为ab的中点 以o为圆心 ab为直径作圆 然后以b为圆心 bc a为半径画弧与圆o交于一点c 故 acb是直径所对的圆周角 所以这种作法中判断 acb是直角的依据是 直径所对的圆周角是直角 故选b 8 2015宁波 8 4分 如图 o为 abc的外接圆 a 72 则 bco的度数为 a 15 b 18 c 20 d 28 9 2015金华 10 3分 如图 正方形abcd和正三角形aef都内接于 o ef与bc cd分别相交于点g h 则的值是 a b c d 2 答案c如图 连接ac ec ac与ef交于点m 则根据对称性知 ac经过圆心o ac垂直平分ef eac fac eaf 30 不妨设正方形abcd的边长为2 则ac 2 ac是 o的直径 aec 90 在rt aec中 ae ac cos eac 2 ce ac sin eac 2 cem fec fac 30 在rt mce中 cm ce sin cem 易知 gch是等腰直角三角形 且m为gh的中点 gh 2cm 又 aef是等边三角形 ef ae 故选c 解题关键连接ac ec构造出直角三角形是解题的关键 10 2018杭州 14 4分 如图 ab是 o的直径 点c是半径oa的中点 过点c作de ab 交 o于d e两点 过点d作直径df 连接af 则 dfa 答案30 解析 点c是半径oa的中点 oc oa od 又 de ab cdo 30 doa 60 dfa doa 30 思路分析利用垂径定理和三角函数得出 cdo 30 进而得出 doa 60 利用圆周角定理得出 dfa 30 解题关键此题考查了垂径定理 三角函数以及圆周角定理 解题关键是利用垂径定理和三角函数得出 cdo 30 11 2018嘉兴 14 4分 如图 量角器的0度刻度线为ab 将一矩形直尺与量角器部分重叠 使直尺一边与量角器相切于点c 直尺另一边交量角器于点a d 量得ad 10cm 点d在量角器上的读数为60 则该直尺的宽度为cm 答案 解析连接oc od c是 o的切点 co ce且co ad 设co交ad于h 则ah hd ad 5cm dob 60 aod 120 aoc 60 ao co cm oh cm ch cm 即直尺的宽度为cm 12 2017绍兴 12 4分 如图 一块含45 角的直角三角板 它的一个锐角顶点a在 o上 边ab ac分别与 o交于点d e 则 doe的度数为 答案90 解析 dae与 doe所对的弧都是 则 doe 2 dae 2 45 90 故答案为90 13 2017湖州 12 4分 如图 已知在 abc中 ab ac 以ab为直径作半圆o 交bc于点d 若 bac 40 则的度数是度 答案140 解析 ab ac bac 40 b c 70 的度数为2 70 140 14 2015宁波 17 4分 如图 在矩形abcd中 ab 8 ad 12 过a d两点的 o与bc边相切于点e 则 o的半径为 答案 解析连接eo 并延长交ad于点h 连接ao 四边形abcd是矩形 o与bc边相切于点e eh bc ad bc eh ad 根据垂径定理 得ah dh ab 8 ad 12 ah 6 he 8 设 o的半径为r 则ao r oh 8 r 在rt oah中 由勾股定理得 8 r 2 62 r2 解得r o的半径为 15 2015衢州 14 4分 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径oa 1m 水面宽ab 1 2m 某天下雨后 水管水面上升了0 2m 则此时排水管水面宽cd等于m 答案1 6 解析过点o作oe ab于e 交cd于f 连oc ab 1 2m oe ab oa 1m 则易知oe 0 8m 水管水面上升了0 2m of 0 8 0 2 0 6m cf 0 8m cd 1 6m 16 2014宁波 18 4分 如图 半径为6cm的 o中 c d为直径ab的三等分点 点e f分别在ab两侧的半圆上 bce bdf 60 连接ae bf 则图中两个阴影部分的面积和为cm2 答案6 解析如图 作 dbf的轴对称图形 cag 作am cg on ce cag是 dbf的轴对称图形 acg bdf acg bdf 60 ecb 60 g c e三点共线 am cg on ce am on 在rt onc中 ocn 60 on oc sin ocn oc 根据已知条件易得oc oa 2cm on cm am 2cm on ge ne gn ge 连接oe 在rt one中 ne cm ge 2ne 2cm s age ge am 2 2 6cm2 题图中两个阴影部分的面积和为6cm2 解后反思对于此类面积问题 通常我们可以选择对图形进行拆解或拼合来求解 本题较复杂 需应用垂径定理 勾股定理等进行解题 辅助线的添加由轴对称 图形拼合 以及垂径定理 勾股定理的应用来确定 17 2018温州 22 10分 如图 d是 abc的bc边上一点 连接ad 作 abd的外接圆 将 adc沿直线ad折叠 点c的对应点e落在上 1 求证 ae ab 2 若 cab 90 cos adb be 2 求bc的长 解析 1 证明 由折叠的性质可知 ade adc aed acd ae ac abd aed abd acd ab ac ae ab 2 如图 过a作ah be于点h ab ae be 2 bh eh 1 abe aeb aeb adb cos adb cos abe cos adb ab 3 cab 90 ac ab bc 3 思路分析 1 由折叠得出 aed acd ae ac 结合 abd aed知 abd acd 从而得出ab ac 据此得证 2 作ah be于h 由ab ae且be 2知bh eh 1 根据 abe aeb adb知cos abe cos adb 据此得ac ab 3 利用勾股定理可得答案 方法总结本题主要考查三角形的外接圆 解题的关键是掌握折叠的性质 圆周角定理 等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点 18 2017杭州 23 12分 如图 已知 abc内接于 o 点c在劣弧ab上 不与点a b重合 点d为弦bc的中点 de bc de与ac的延长线交于点e 射线ao与射线eb交于点f 与 o交于点g 设 gab acb eag eba 1 点点同学通过画图和测量得到以下近似数据 猜想 关于 的函数表达式 关于 的函数表达式 并给出证明 2 若 135 cd 3 abe的面积为 abc的面积的4倍 求 o的半径 解析 1 90 180 证明 连接cg 因为ag是直径 所以 acg 90 因为de垂直平分bc 所以eb ec 所以 ebc ecb bed ced 因为 bag bcg 所以 bcg acg bag acg 90 因为 ecg 90 cd de 所以 bcg ced 所以 bec 2 所以 eag eba bag eab eba bag 180 bec 180 2 180 2 因为 135 所以 45 135 所以 ecb ebc 45 所以 ecb为等腰直角三角形 又因为cd 3 所以bc 6 所以ce be 3 因为 abe的面积为 abc的面积的4倍 所以ae ac 4 1 所以ae 4 在rt abe中 ab 5 连接bg 因为ag是直径 所以 abg 90 在rt abg中 bag 45 所以bg ab 所以ag 10 所以 o的半径为5 19 2016温州 21 10分 如图 在 abc中 c 90 d是bc边上一点 以db为直径的 o经过ab的中点e 交ad的延长线于点f 连接ef 1 求证 1 f 2 若sinb ef 2 求cd的长 解析 1 证明 连接de bd是 o的直径 deb 90 e是ab的中点 da db 1 b b f 1 f 2 1 f ae ef 2 ab 2ae 4 在rt abc中 ac ab sinb 4 bc 8 设cd x 则ad bd 8 x 在rt acd中 由勾股定理 得ac2 cd2 ad2 即42 x2 8 x 2 解得x 3 cd 3 评析本题考查与圆有关的角的证明和线段长度的计算 主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等 等腰三角形的性质 直径所对的圆周角是直角 勾股定理等 这是一道圆中的综合题 1 2016衢州 9 3分 如图 ab是 o的直径 c是 o上的点 过点c作 o的切线交ab的延长线于点e 若 a 30 则sin e的值为 a b c d 考点二与圆有关的位置关系 答案a连接oc ce是 o的切线 oc ce a 30 boc 2 a 60 e 90 boc 30 sin e sin30 故选a 评析此题考查了切线的性质 圆周角定理以及特殊角的三角函数值 注意准确作出辅助线是解此题的关键 2 2016湖州 8 3分 如图 圆o是rt abc的外接圆 acb 90 a 25 过点c作圆o的切线 交ab的延长线于点d 则 d的度数是 a 25 b 40 c 50 d 65 答案b连接oc cd为 o的切线 oc cd ocd 90 在rt abc中 abc 90 a 65 ob oc ocb abc 65 bcd 90 ocb 25 d abc bcd 65 25 40 故选b 评析本题考查切线的性质及三角形内角和定理 属容易题 3 2015湖州 8 3分 如图 以点o为圆心的两个圆中 大圆的弦ab切小圆于点c oa交小圆于点d 若od 2 tan oab 则ab的长是 a 4b 2c 8d 4 答案c 大圆的弦ab切小圆于点c aco 90 在rt aco中 tan oac ac 2oc 2od 2 2 4 由垂径定理 得ab 8 故选c 4 2015衢州 10 3分 如图 已知等腰 abc中 ab bc 以ab为直径的圆o交ac于点d 过点d的 o的切线交bc于点e 若cd 5 ce 4 则 o的半径是 a 3b 4c d 答案d如图 连接od bd oa od a ado ab bc a c ado c od bc de是 o的切线 od de de bc 又 cd 5 ce 4 de 3 ab是 o的直径 adb 90 s bcd bd cd 2 bc de 2 5bd 3bc bd bc bd2 cd2 bc2 52 bc2 解得bc ab bc ab o的半径是 2 故选d 5 2015湖州 9 3分 如图 ac是矩形abcd的对角线 o是 abc的内切圆 现将矩形abcd按如图所示的方式折叠 使点d与点o重合 折痕为fg 点f g分别在边ad bc上 连接og dg 若og dg 且 o的半径长为1 则下列结论不成立的是 a cd df 4b cd df 2 3c bc ab 2 4d bc ab 2 答案a如图 设 o与bc的切点为m 连接mo并延长mo交ad于点n 利用 aas 易证 omg gcd 所以om gc 1 cd gm bc bm gc bc 2 又因为ab cd 所以可得bc ab 2 设ab a bc b ac c o的半径为r 由 o是rt abc的内切圆可得r a b c 所以c a b 2 在rt abc中 由勾股定理可得a2 b2 a b 2 2 整理得2ab 4a 4b 4 0 又因为bc ab 2 即b 2 a 所以2a 2 a 4a 4 2 a 4 0 解得a1 1 a2 1 舍去 所以a 1 b 3 即可得bc ab 2 4 再设df x 在rt onf中 fn 3 1 x of x on 1 1 由勾股定理可得 2 x 2 2 x2 解得x 4 所以cd df 1 4 2 3 cd df 1 4 5 综上只有选项a错误 故选a 6 2018宁波 17 4分 如图 正方形abcd的边长为8 m是ab的中点 p是bc边上的动点 连接pm 以点p为圆心 pm长为半径作 p 当 p与正方形abcd的边相切时 bp的长为 答案3或4 解析 m为ab的中点 正方形abcd的边长为8 bm am 4 设bp x 则cp 8 x 由勾股定理可知 mp2 x2 16 p与正方形的边相切分两种情况 当 p与cd相切于点c时 cp pm 即 8 x 2 x2 16 解得x 3 当 p与ad相切时 设切点为e 则pe 8 即x2 16 82 解得x1 4 x2 4 不合题意 舍去 综上所述 bp的长是3或4 7 2017杭州 12 4分 如图 at切 o于点a ab是 o的直径 若 abt 40 则 atb 答案50 解析 at与 o相切 ab是 o的直径 at ab 即 bat 90 在rt abt中 abt 40 atb 90 40 50 思路分析切线垂直于过切点的直径 所以 abt是以 a为直角的直角三角形 故 atb 90 abt 8 2017绍兴 16 5分 如图 aob 45 点m n在边oa上 om x on x 4 点p是边ob上的点 若使以点p m n为顶点的三角形是等腰三角形的点p恰好有三个 则x的取值范围是 答案x 0或x 4 4或4 x 4 解析若 mnp是等腰三角形 则有mp np mn mp mn np三种情况 对于任意m点 可作mn的垂直平分线 与ob必有一个交点p1 则p1满足mp1 np1 下面分情况以m为圆心 4为半径画圆 并以n为圆心 4为半径画圆 如图1 当m与点o重合 即x 0时 恰好有三个点满足 分别为p1 p2 p3 图1 当0 x 4时 如图2 圆m与ob只有一个交点p3 要满足题意 只需圆n与ob只有一个公共点p2 则np2 4 且np2 ob 则om on mn np2 4 4 4 图2 当x 4时 因为mn 4 所以n点到ob的距离 on sin45 x 4 4 则mn np不存在 故要满足题意 需圆m与ob有两个交点 当om 4 即x 4时 如图3 p3与o重合 则不符合题意 图3 当x 4时 如图4 要使圆m与ob有两个交点 只需要m到ob的距离小于4 即x 4 得x 4 图4综上 x的取值范围是x 0或x 4 4或4 x 4 思路分析以m n p三点为等腰三角形的三顶点 则有mp mn 4 np mn 4 pm pn这三种情况 易知pm pn这一种情况始终存在 当mp mn时 可作以m为圆心 4为半径的圆 看与ob的交点的个数 当np mn时 可作以n为圆心 4为半径的圆 看与ob的交点的个数 9 2018衢州 22 10分 如图 已知ab为 o的直径 ac是 o的切线 连接bc交 o于点f 取弧的中点d 连接ad交bc于点e 过点e作eh ab于h 1 求证 hbe abc 2 若cf 4 bf 5 求ac和eh的长 解析 1 证明 ac是 o的切线 ab为 o的直径 ac ab cab 90 he ab ehb 90 abc abc hbe abc 2 连接af ab是 o的直径 afb 90 cfa cab c c caf cba cf 4 bc cf bf 4 5 9 ac 6 d为的中点 fad bad eh ab ef af ef eh 设eh x 则ef x be 5 x hbe abc x 2 即eh 2 10 2018金华 21 8分 如图 在rt abc中 点o在斜边ab上 以o为圆心 ob为半径作圆 分别与bc ab相交于点d e 连接ad 已知 cad b 1 求证 ad是 o的切线 2 若bc 8 tanb 求 o的半径 解析 1 证明 连接od ob od 3 b b 1 3 1 在rt acd中 1 2 90 3 2 90 4 180 2 3 180 90 90 od ad ad是 o的切线 2 设 o的半径为r 在rt abc中 ac bc tanb 8 4 ab 4 oa 4 r 在rt acd中 tan 1 tanb cd ac tan 1 4 2 ad2 ac2 cd2 42 22 20 在rt ado中 oa2 od2 ad2 4 r 2 r2 20 解得r 11 2016金华 22 10分 四边形abcd的对角线交于点e 有ae ec be ed 以ab为直径的半圆过点e 圆心为o 1 利用图1 求证 四边形abcd是菱形 2 如图2 若cd的延长线与半圆相切于点f 已知直径ab 8 连接oe 求 obe的面积 求的长 图1图2 解析 1 证明 ae ec be ed 四边形abcd是平行四边形 ab为直径 且半圆过点e aeb 90 即ac bd 又四边形abcd是平行四边形 四边形abcd是菱形 2 连接of cd的延长线与半圆相切于点f of cf fc ab of与 abd的ab边上的高相等 s abd ab of 8 4 16 点o e分别是ab bd的中点 s abe s abd 8 s obe s abe 4 过点d作dh ab于点h 则dh为 abd的高 由 知dh of 4 在rt dah中 sin dah dah 30 点o e分别为ab bd的中点 oe ad eob dah 30 aoe 180 eob 150 评析本题考查了菱形的判定和性质 切线的性质 圆周角定理的推论 锐角三角函数的定义 三角形中位线性质 弧长公式等 作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 12 2016宁波 23 10分 如图 已知 o的直径ab 10 弦ac 6 bac的平分线交 o于点d 过点d作de ac交ac的延长线于点e 1 求证 de是 o的切线 2 求de的长 解析 1 证明 连接od ad平分 bac dae dab oa od oda dao oda dae od ae 3分 de ac od de de是 o的切线 5分 2 过点o作of ac于点f af cf 3 of 4 7分 ofe def ode 90 四边形ofed是矩形 9分 de of 4 10分 方法总结 1 有关切线的证明 遵循 有切点 连半径 证垂直 无切点 作垂直 证半径 的原则 2 圆中涉及弦长 通常是利用半弦 半径 弦心距组成的直角三角形求解 13 2015杭州 19 8分 如图1 o的半径为r r 0 若点p 在射线op上 满足op op r2 则称点p 是点p关于 o的 反演点 如图2 o的半径为4 点b在 o上 boa 60 oa 8 若点a b 分别是点a b关于 o的反演点 求a b 的长 图1图2 解析因为oa oa 16 且oa 8 所以oa 2 同理可知 ob 4 即b点的反演点b 与b重合 设oa交 o于点m 连接b m 因为 boa 60 om ob 所以 ob m为正三角形 又因为点a 为om的中点 所以a b om 根据勾股定理 得ob 2 oa 2 a b 2 即16 4 a b 2 解得a b 2 14 2016丽水 22 10分 如图 ab是以bc为直径的半圆o的切线 d为半圆上一点 ad ab ad bc的延长线相交于点e 1 求证 ad是半圆o的切线 2 连接cd 求证 a 2 cde 3 若 cde 27 ob 2 求的长 解析 1 证明 连接od bd ab是半圆o的切线 ab bc 即 abo 90 ab ad abd adb ob od dbo bdo abd dbo adb bdo ado abo 90 ad是半圆o的切线 2 证明 由 1 得 ado abo 90 a 360 ado abo bod 180 bod 又 doc 180 bod a doc ode 90 odc cde 90 bc是直径 odc bdo 90 bdo cde bdo obd doc 2 bdo doc 2 cde a 2 cde 3 cde 27 由 2 得 doc 2 cde 54 bod 180 54 126 ob 2 评析本题考查了切线的性质 弧长的计算 圆周角定理及等腰三角形的性质 正确作出辅助线是解题的关键 1 2018湖北武汉 10 3分 如图 在 o中 点c在优弧上 将弧折叠后刚好经过ab的中点d 若 o的半径为 ab 4 则bc的长是 a 2b 3c d 考点一圆的有关概念及性质 b组2014 2018年全国中考题组 答案b连接ao 并延长交 o于点d 则 abd 90 连接bd cd dd dd 交bc于点e 连接od ob oc d为ab的中点 od ab ab 4 bd ab 2 ob od 1 bd 2od 2 即bd bd 显然点d与点d 关于直线bc对称 abd 90 abc cbd 45 根据圆周角定理得 aoc 90 d oc 90 cd oc cbd 45 bd 2 be ed 根据勾股定理得ce 2 所以bc be ce 3 故选b 方法指导在求解涉及圆的性质的问题时 通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关系 求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形 利用勾股定理等知识进行求解 2 2015山东临沂 8 3分 如图 a b c是 o上的三个点 若 aoc 100 则 abc等于 a 50 b 80 c 100 d 130 答案d如图 在优弧ac上任取一点d 连接ad cd aoc 100 adc aoc 50 adc abc 180 abc 180 50 130 故选d 3 2015山东威海 9 3分 如图 已知ab ac ad cbd 2 bdc bac 44 则 cad的度数为 a 68 b 88 c 90 d 112 答案b ab ac ad abc acb 点b c d在以a为圆心的圆周上 bdc bac cad 2 cbd bac 44 bdc 22 cbd 2 bdc cbd 44 cad 2 cbd 88 故选b 关键提示本题考查了等腰三角形的性质 圆周角与圆心角的关系 解题的关键是要能发现点b c d在以a为圆心的圆周上 1 2014湖北武汉 10 3分 如图 pa pb切 o于a b两点 cd切 o于点e 交pa pb于c d 若 o的半径为r pcd的周长等于3r 则tan apb的值是 a b c d 考点二与圆有关的位置关系 答案b连接oa ob op 延长bo交射线pa于点f pa pb切 o于a b两点 cd切 o于点e oap obp 90 ca ce db de pa pb pcd的周长 pc ce de pd pc ac pd db pa pb 3r pa pb r 在rt afo和rt bfp中 rt afo rt bfp af fb 在rt fbp中 pf2 pb2 fb2 pa af 2 pb2 fb2 bf2 解得bf r tan apb 故选b 评析本题主要考查切线的性质 相似三角形的判定及三角函数的定义 属难题 2 2015江苏南京 6 2分 如图 在矩形abcd中 ab 4 ad 5 ad ab bc分别与 o相切于e f g三点 过点d作 o的切线交bc于点m 切点为n 则dm的长为 a b c d 2 答案a在矩形abcd中 o分别与边ad ab bc相切 又dm为 o的切线 所以由切线长定理得ae af bf bg de dn mn mg 且易知bg 2 dn 3 设mn mg x 在rt dcm中 dm2 mc2 dc2 即 3 x 2 3 x 2 42 解得x 则dm 3 故选a 3 2018安徽 12 5分 如图 菱形aboc的边ab ac分别与 o相切于点d e 若点d是ab的中点 则 doe 答案60 解析 ab ac分别与圆o相切于点d e od ab oe ac 在菱形aboc中 ab bo 点d是ab的中点 bd ab bo bod 30 b 60 又 ob ac a 120 在四边形adoe中 doe 360 90 90 120 60 解题关键由题意得出od垂直平分ab及ab bo是解答本题的关键 4 2017内蒙古包头 24 10分 如图 ab是 o的直径 弦cd与ab交于点e 过点b的切线bp与cd的延长线交于点p 连接oc cb 1 求证 ae eb ce ed 2 若 o的半径为3 oe 2be 求tan obc的值及dp的长 解析 1 证明 连接ad 如图 a bcd aed ceb aed ceb ae eb ce ed 3分 2 o的半径为3 oa ob oc 3 oe 2be oe 2 be 1 ae 5 可设ce 9x de 5x x 0 ae eb ce ed 5 1 9x 5x x ce 3 de 5分 过点c作cf ab于点f oc ce 3 of ef oe 1 bf 2 在rt ocf中 cfo 90 cf2 of2 oc2 cf 2 在rt cfb中 cfb 90 tan obc 8分 cf ab cfb 90 bp是 o的切线 ab是 o的直径 ebp 90 cfb ebp 又 ef be 1 cef peb cef peb ep ce 3 dp ep ed 3 10分 5 2016北京 25 5分 如图 ab为 o的直径 f为弦ac的中点 连接of并延长交于点d 过点d作 o的切线 交ba的延长线于点e 1 求证 ac de 2 连接cd 若oa ae a 写出求四边形acde面积的思路 解析 1 证明 连接oc 如图 oa oc f为ac的中点 od ac de是 o的切线 od de ac de 2 求解思路如下 在rt ode中 由oa ae od a 可得 ode ofa为含30 角的直角三角形 由 acd aod 30 可知cd oe 由ac de 可知四边形acde是平行四边形 由 ode ofa为含有30 角的直角三角形 可求de df的长 进而可求四边形acde的面积 1 2015吉林长春 7 3分 如图 四边形abcd内接于 o 若四边形abco是平行四边形 则 adc的大小为 a 45 b 50 c 60 d 75 考点一圆的有关概念及性质 c组教师专用题组 答案c设 adc x 则 aoc 2x 四边形abco是平行四边形 b aoc b d 180 x 2x 180 x 60 adc 60 故选c 2 2014温州 8 4分 如图 已知点a b c在 o上 为优弧 下列选项中与 aob相等的是 a 2 cb 4 bc 4 ad b c 答案a由圆周角定理可得 aob 2 c 故选a 3 2014湖州 4 3分 如图 已知ab是 abc外接圆的直径 a 35 则 b的度数是 a 35 b 45 c 55 d 65 答案c ab是 abc外接圆的直径 c 90 a 35 b 90 a 55 故选c 4 2014嘉兴 6 4分 如图 o的直径cd垂直弦ab于点e 且ce 2 de 8 则ab的长为 a 2b 4c 6d 8 答案d ce 2 de 8 cd 10 oc od ob 5 oe 3 ab cd 在rt obe中 be 4 ab 2be 8 故选d 5 2015丽水 13 4分 如图 圆心角 aob 20 将旋转n 得到 则的度数是 答案20 解析如图 将旋转n 得到 根据旋转的性质 得 aob 20 cod 20 的度数是20 6 2015绍兴 12 5分 如图 已知点a 0 1 b 0 1 以点a为圆心 ab为半径作圆 交x轴的正半轴于点c 则 bac等于度 答案60 解析在rt aoc中 ao 1 ac 2 则 aco 30 所以 bac 60 7 2018安徽 20 10分 如图 o为锐角 abc的外接圆 半径为5 1 用尺规作图作出 bac的平分线 并标出它与劣弧的交点e 保留作图痕迹 不写作法 2 若 1 中的点e到弦bc的距离为3 求弦ce的长 解析 1 尺规作图如图所示 4分 2 连接oe交bc于m 连接oc 因为 bae cae 所以 易得oe bc 所以em 3 rt omc中 om oe em 5 3 2 oc 5 所以mc2 oc2 om2 25 4 21 rt emc中 ce2 em2 mc2 9 21 30 所以弦ce的长为 10分 思路分析对于 2 连接oe交bc于点m 再连接oc 由 bae cae可得 可推出oe bc 最后利用勾股定理求出ce 8 2017安徽 20 10分 如图 在四边形abcd中 ad bc b d ad不平行于bc 过点c作ce ad交 abc的外接圆o于点e 连接ae 1 求证 四边形aecd为平行四边形 2 连接co 求证 co平分 bce 证明 1 b d b e d e ce ad e dae 180 d dae 180 ae dc 四边形aecd是平行四边形 5分 2 过点o作om ec on bc 垂足分别为m n 四边形aecd是平行四边形 ad ec 又ad bc ec bc om on co平分 bce 10分 思路分析 1 根据 在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等 可推出 e b 再由 d b ce ad可推出ae dc 问题得证 2 作om ce on bc 垂足分别为m n 由已知及 1 得出ce bc 再根据 同一个圆内等弦对应的弦心距相等 可得om on 从而由角平分线的判定定理可得结论 解题关键抓住 在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相等 是解决本题的关键 9 2016湖州 20 8分 如图 已知四边形abcd内接于圆o 连接bd bad 105 dbc 75 1 求证 bd cd 2 若圆o的半径为3 求的长 解析 1 证明 四边形abcd内接于圆o dcb bad 180 1分 bad 105 dcb 180 105 75 2分 dbc 75 dcb dbc 3分 bd cd 4分 2 dcb dbc 75 bdc 30 5分 由圆周角定理 得的度数为60 6分 的长 8分 10 2015宁波 26 14分 如图 在平面直角坐标系中 点m是第一象限内一点 过m的直线分别交x轴 y轴的正半轴于a b两点 且m是ab的中点 以om为直径的 p分别交x轴 y轴于c d两点 交直线ab于点e 位于点m右下方 连接de交om于点k 1 若点m的坐标为 3 4 求a b两点的坐标 求me的长 2 若 3 求 oba的度数 3 设tan oba x 0 x 1 y 直接写出y关于x的函数解析式 解析 1 连接dm mc om为直径 mdo mco 90 aob 90 md oa mc ob m是ab的中点 d是ob的中点 c是oa的中点 m 3 4 ob 2mc 8 oa 2md 6 b 0 8 a 6 0 3分 在rt aob中 oa 6 ob 8 ab 10 m是ab的中点 bm ab 5 bom bed 又 obm ebd obm ebd be 6 4 me be bm me 6 4 5 1 4 6分 2 连接dp 3 ok 3mk om 4mk pk mk op pm bd do dp为 bom的中位线 dp bm pdk mek 又 pkd mke pk mk dpk emk dk ke om为直径 om de cos dpk dp pm 2pk cos dpk dpk 60 dom 30 在rt aob中 m为ab的中点 bm mo oba dom oba 30 10分 3 y关于x的函数解析式为y 0 x 1 14分 下列解答过程仅供参考 连接oe om为直径 meo 90 设be 1 则在rt obe中 oe be tan obe x 设bm om m me be bm 1 m 在rt ome中 1 m 2 x2 m2 m me 1 m dp bm m 又易知 dpk emk 1 p为mo的中点 y y关于x的函数解析式为y 0 x 1 评析本题对知识的掌握量与掌握度要求很高 通过在直角坐标系中生成几何图形 把函数 几何推理 方程 计算融在了一起 11 2015台州 22 12分 如图 四边形abcd内接于 o 点e在对角线ac上 ec bc dc 1 若 cbd 39 求 bad的度数 2 求证 1 2 解析 1 bc dc bac cad cbd cbd 39 bac cad 39 bad bac dac 78 2 证明 ec bc cbe ceb cbe 1 cbd ceb 2 bac 1 cbd 2 bac 又 bac cbd 1 2 12 2016宁夏 23 8分 已知 abc 以ab为直径的 o分别交ac于d bc于e 连接ed 若ed ec 1 求证 ab ac 2 若ab 4 bc 2 求cd的长 解析 1 证明 ed ec cde c 又 四边形abed是 o的内接四边形 cde b b c ab ac 4分 2 连接ae 则ae bc be ec bc 在 abc与 edc中 c c cde b abc edc 6分 得dc 由ab 4 bc 2 得dc 8分 评析本题考查圆内接四边形的性质 三角形相似的判定与性质 属中档题 13 2015江苏南京 26 8分 如图 四边形abcd是 o的内接四边形 bc的延长线与ad的延长线交于点e 且dc de 1 求证 a aeb 2 连接oe 交cd于点f oe cd 求证 abe是等边三角形 证明 1 四边形abcd是 o的内接四边形 a bcd 180 又 dce bcd 180 a dce dc de dce aeb a aeb 4分 2 a aeb abe是等腰三角形 oe cd cf df oe垂直平分cd ed ec 又dc de dc de ec dce是等边三角形 aeb 60 abe是等边三角形 8分 14 2015贵州遵义 26 12分 如图 abc中 ab ac 以ab为直径作 o 交bc于点d 交ca的延长线于点e 连接ad de 1 求证 d是bc的中点 2 若de 3 bd ad 2 求 o的半径 3 在 2 的条件下 求弦ae的长 解析 1 证明 ab为 o的直径 ad bc 2分 又 ab ac d是bc的中点 4分 2 ab ac b c 又 b e c e dc de bd de 3 5分 又bd ad 2 ad 1 6分 在rt abd中 bd 3 ad 1 ab 7分 则 o的半径为 8分 3 解法一 在 cab和 cde中 b e c c 公共角 cab cde 9分 10分 ca ab ce 11分 ae ce ac 12分 解法二 连接be ab是 o的直径 bec 90 9分 在 adc和 bec中 adc bec 90 c c adc bec 10分 ce 11分 ae ce ac 12分 评析本题考查了圆的有关性质 等腰三角形的性质 勾股定理 相似三角形的性质与判定 属中档题 1 2015嘉兴 舟山 7 3分 如图 在 abc中 ab 5 bc 3 ac 4 以点c为圆心的圆与ab相切 则 o的半径为 a 2 3b 2 4c 2 5d 2 6 考点二与圆有关的位置关系 答案b易知 abc为直角三角形 o的半径r等于rt abc斜边上的高 r 2 4 故选b 2 2014湖州 9 3分 如图 已知正方形abcd 点e是边ab的中点 点o是线段ae上的一个动点 不与a e重合 以o为圆心 ob为半径的圆与边ad相交于点m 过点m作 o的切线交dc于点n 连接om on bm bn 记 mno aom dmn的面积分别为s1 s2 s3 则下列结论不一定成立的是 a s1 s2 s3b aom dmnc mbn 45 d mn am cn 答案a如图 作mp ao交on于点p 当am md时 s mno mp ad oa dn mp 此时s mno s梯形onda s1 s2 s3 不一定有s1 s2 s3 即a不一定成立 mn是 o的切线 om mn 又 四边形abcd为正方形 a d 90 amo dmn 90 amo aom 90 aom dmn 在 aom和 dmn中 aom dmn 故b成立 如图 作bp mn于点p mn bc是 o的切线 pmb mob cbm mob pmb cbm ad bc cbm amb amb pmb 在rt mab和rt mpb中 rt mab rt mpb aas am mp abm pbm bp ab bc 在rt bpn和rt bcn中 rt bpn rt bcn hl pn cn pbn cbn mbn mbp pbn abm nbc abc 45 mn mp pn am cn 故c d成立 综上所述 a不一定成立 评析本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质 关键是通过作出辅助线证明三角形全等 3 2018四川成都 20 10分 如图 在rt abc中 c 90 ad平分 bac交bc于点d o为ab上一点 经过点a d的 o分别交ab ac于点e f 连接of交ad于点g 1 求证 bc是 o的切线 2 设ab x af y 试用含x y的代数式表示线段ad的长 3 若be 8 sinb 求dg的长 解析 1 如图 连接od ad为 bac的平分线 bad cad oa od oda oad oda cad od ac 又 c 90 odc 90 od bc bc是 o的切线 2 连接df 由 1 可知 bc为 o的切线 fdc daf cda cfd afd adb 又 bad daf abd adf ad2 ab af ad2 xy ad 3 连接ef 在rt bod中 sinb 设圆的半径为r r 5 ae 10 ab 18 ae是直径 afe 90 又 c 90 ef bc aef b sin aef af ae sin aef 10 af od dg ad ad dg 思路分析 1 连接od 由od oa ad平分 bac 易得od ac 所以od bc 证得bc为圆o的切线 2 连接df 判定 abd adf 得ad2 ab af xy 即ad 3 连接ef 设圆的半径为r 由sinb的值 解直角 abc 直角 aef 根据od af 表示出dg ad 又ad 进而可以求出dg的长 易错警示本题属于圆的综合题 考查了切线的判定与性质 相似三角形的判定与性质及锐角三角函数 题中涉及直角三角形的条件间的转化较多 易造成代换或计算错误 加强对三角函数概念的理解 提高计算能力 是减少错误的关键 4 2017河北 23 9分 如图 ab 16 o是ab中点 点c在线段ob上 不与点o b重合 将oc绕点o逆时针旋转270 后得到扇形cod ap bq分别切优弧于点p q 且点p q在ab异侧 连接op 1 求证 ap bq 2 当bq 4时 求优弧的长 结果保留 3 若 apo的外心在扇形cod的内部 求oc的取值范围 解析 1 证明 连接oq 1分 ap bq分别与优弧相切 op ap oq bq 即 apo q 90 又oa ob op oq rt apo rt bqo 3分 ap bq 4分 2 bq 4 ob ab 8 q 90 sin boq boq 60 5分 oq 8 cos60 4 优弧的长为 7分 3 设点m为rt apo的外心 则m为oa的中心 om 4 当点m在扇形cod的内部时 om oc 4 oc 8 9分 思路分析 1 连接oq 根据切线的