【决胜】（预测题）中考数学 专题45 动态几何之和差问题（含解析）.doc

专题45 动态几何之和差问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。动态几何形成的和差问题是动态几何中的常见问题，其考点包括和差为定值问题；和差最大问题；和差最小问题。在这些问题中又有线段的和差，面积的和差，线段平方的和差等类型。本专题原创编写动态几何之和差问题模拟题。在中考中，动态几何形成的和差问题命题形式选择题、填空题和解答题都有体现。在中考压轴题中，动态几何形成的和差问题的重点是线段的和（三角形周长）最小问题，它的关键是应用轴对称的性质进行探究；而问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。1. 如图，已知abc为等腰直角三角形，点d为边bc上的一动点（点d不与b、c重合），以ad为边作正方形adef（a、d、e、f按逆时针排列），连接cf。求证： cf+cd=ac。【答案】解：正方形adef，af=ad，daf=90。abc是等腰直角三角形，ab=ac，bc=ac，bac=90。bacdac=dafdac，即bad=caf。在bad和caf中，ab=ac，bad=caf，ad=af，badcaf（sas）。cf=bd。cf+cd=bd+cd=bc=ac。【考点】动点问题，正方形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等量代换。【解析】一方面根据已知得出ad=af，ab=ac，bac=daf=90，求出bad=caf，证badcaf，从而得到cf=bd；另一方面，根据等腰直角三角形的性质得出bc=ac，从而得到cf+cd=bd+cd=bc=ac。2. 如图，等腰直角梯形abcd中，adc=bcd=90，bc=cd=4，p为边ad上的一个动点，aebp，cfbp，垂足分别为点e、f。证明：de2+bf2=16。【答案】解：由已知adc=bcd=90，bc=cd，aebp，cfbp，又dce+bcf=cbf+bcf，dce=cbf。在bcf和cde中，bc=cd，cbf =dce，cfb =dec，bcfcde（aas）。cf=de。de2+bf2= cf2+bf2=bc2=16。【考点】单动点问题，等腰直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等量代换。3. 如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点a（3，6）（1）求直线y=kx的解析式和线段oa的长度；（2）点p为抛物线第一象限内的动点，过点p作直线pm，交x轴于点m（点m、o不重合），交直线oa于点q，再过点q作直线pm的垂线，交y轴于点n试探究：线段qm与线段qn的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点b为抛物线上对称轴右侧的点，点e在线段oa上（与点o、a不重合），点d（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足bae=bed=aod继续探究：m在什么范围时，符合条件的e点的个数分别是1个、2个？【答案】（1）y=2x, （2）线段qm与线段qn的长度之比是一个定值2（3）当时，e点只有1个，当时，e点有2个【解析】解：（1）把点a（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。 y=2x。（2）线段qm与线段qn的长度之比是一个定值，理由如下：线段qm与线段qn的长度之比是一个定值。（3）如图2，延长ab交x轴于点f，过点f作fcoa于点c，过点a作arx轴于点r。aod=bae，af=of。oc=ac=。aro=fco=90，aor=foc，aorfoc。of=。点f（，0）。设点b（x，），过点b作bkar于点k，则akbarf。，即。解得x1=6，x2=3（舍去）。点b（6，2）。bk=63=3，ak=62=4。ab=5。在abe与oed中，bae=bed，abe+aeb=deo+aeb。abe=deo。顶点为。如图3， 当时，oe=x=，此时e点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时e点有2个当时，e点只有1个，当时，e点有2个。4. 如图，ab是o的一条弦，点c是o优弧ab上一动点，且acb=45，点e、f分别是ac、bc的中点，直线ef与o交于g、h两点，若o的半径为7，则ge+fh的最大值为 【答案】解：如图，连接oa，ob， 【考点】单动点问题，圆的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质、三角形中位线定理，转换思想的应用。5. 如图，直线l1与x轴、y轴分别交于a、b两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为（1）求直线l2的解析式；（2）过a点在abc的外部作一条直线l3，过点b作bel3于e，过点c作cfl3于f，请画出图形并求证：be+cf=ef；（3）abc沿y轴向下平移，ab边交x轴于点p，过p点的直线与ac边的延长线相交于点q，与y轴相交于点m，且bp=cq，在abc平移的过程中，om为定值；mc为定值在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值【答案】（1）；（2）作图和证明见试题解析；（3）对，om=3【解析】om=bc（ob+cm）=bc（ch+cm）=bcom，om=bc=3考点：1轴对称的性质；2全等三角形的判定与性质6. 如图，在菱形abcd中，e是ab上一点，be=2，ae=4be，p是ac上一动点，则pb+pe的最小值是 【答案】解：如图，连接de，交ac于p，连接bp，则此时pb+pe的值最小。四边形abcd是菱形，b、d关于ac对称。pb=pd，pb+pe=pd+pe=de。be=2，ae=4be，ae=8，ad=ab= 10。过点d作dfab于点f，af=8。点e与点f重合。pb+pe的最小值是6。【考点】单动点问题，菱形的性质，应用轴对称确定最短路线，锐角三角函数定义，勾股定理。7. 如图1，矩形mnpq中，点e、f、g、h分别在np、pq、qm、mn上，若，则称四边形efgh为矩形mnpq的反射四边形在图2、图3中，四边形abcd为矩形，且，（1）在图2、图3中，点e、f分别在bc、cd边上，图2中的四边形efgh是利用正方形网格在图上画出的矩形abcd的反射四边形请你利用正方形网格在图3上画出矩形abcd的反射四边形efgh；（2）图2、图3中矩形abcd的反射四边形efgh的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形abcd的反射四边形efgh的周长各是多少；（3）图2、图3中矩形abcd的反射四边形efgh的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形abcd的反射四边形efgh的面积各是多少【答案】（1）如下图；（2）定值是；（3）不是定值，分别是16、12【解析】试题分析：（1）仔细分析题意，读懂题中“反射四边形”的特征即可作出图形；（2）根据题中“反射四边形”的特征结合格点图形的特征、勾股定理即可求得结果；（3）根据题中“反射四边形”的特征结合格点图形的特征、图形的面积公式即可求得结果（1）如图所示：考点：应用与设计作图点评：作图题是初中数学学习中的重要题型，在中考中比较常见，一般难度不大，需熟练掌握.8. 如图，在平面坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点a，点b，动点p（a，b）在第一象限内，由点p向x轴，y轴所作的垂线pm，pn（垂足为m，n）分别与直线ab相交于点e，点f，当点p（a，b）运动时，矩形pmon的面积为定值2当点e，f都在线段ab上时，由三条线段ae，ef，bf组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为s1，oef的面积为s2试探究：是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：存在。此三角形的外接圆的面积为。