【决胜】（预测题）中考数学 专题20 几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题（含解析）.doc

专题20 几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。中考压轴题中轴对称 (折叠)问题，包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。一. 有关三角形的轴对称性问题1. 如图，ad是abc的角平分线，deab，dfac，垂足分别是点e，f，连接ef，交ad于点g，求证：adef2. 如图，在rtabc中，c=900，b=300，bc=，点d是bc边上一动点（不与点b、c重合），过点d作debc交ab边于点e，将b沿直线de翻折，点b落在射线bc上的点f处，当aef为等腰三角形时，bd的长为 。【答案】。【考点】翻折问题，轴对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的判定，分类思想的应用。二. 有关四边形的轴对称性问题3. 如图是33菱形格，将其中两个格子涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕菱形abcd的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【 】 a4种 b5种 c6种 d7种【答案】b。【考点】利用旋转的轴对称设计图案。【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案： 得到的不同图案有：共5个。故选b。4. 如图，abc中，已知bac=45，adbc于d，bd=2，dc=3，求ad的长。小萍同学灵活运用了轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。（1）分别以ab、ac为对称轴，画出abd、acd的轴对称图形，d、c点的对称点分别为e、f，延长eb、fc相交于g点，求证：四边形aegf是正方形；（2）设ad=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值。【答案】（1）由翻折变换可得eadb90，ebbd2，cfcd3，fadc90，aead，afad，再结合可得四边形aegf为矩形，再有aeafad，即可证得结论；（2）6【解析】据勾股定理即可列方程求得结果.在rtbgc中，解得（不合题意，舍去）adx=6.考点：翻折变换，正方形的判定，勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形.5. 菱形abcd中，abc=450，点p是对角线bd上的任一点，点p关于直线ab、ad、cd、bc的对称点分别是点e、f、g、h， be与df相交于点m，dg与bh相交于点n，证明:四边形bmdn是正方形。【答案】四边形abcd是菱形， abd=dbc=adb=bdc。 abc=450，点p关于直线ab、ad、cd、bc的对称点分别是点e、f、g、h， mbn=mdn=900，mbc=mdb=450。bdm是等腰直角三角形。bmd=900，bm=dm。 四边形bmdn是正方形。【考点】菱形的性质，轴对称的性质，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质。三. 有关圆的轴对称性问题6. 如图，已知o的直径cd为4，弧ac的度数为120，弧bc的度数为30，在直径cd上作出点p，使bp+ap的值最小，若bp+ap的值最小，则bp+ap的最小值为 。【答案】。【考点】圆的综合题，轴对称（最短路线问题），弧、圆心角和圆周角的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，配方法的应用。【分析】如图，过b点作弦becd，连接ae交cd于p点，连接pb，则点p 即为使bp+ap的值最小的点。7. 已知a，b，c为o上相邻的三个六等分点，点e在劣弧ac上(不与a，b，c重合)，ef为o的直径，将o沿ef折叠，使点a与a重合，点b与b重合，连接eb，ec，ea。设eb=b，ec=c，ea=p。试探究b，c，p三者的数量关系。【答案】如图1，若点e在弧ab上，连接ab、ac、bc，由题意，点a、b、c为圆上的六等分点，ab=bc，。在等腰abc中，过顶点b作bnac于点n，则ac=2cn=2bccosacb=2cos300bc，。连接ae、be，在ce上取一点d，使ed=ea，连接ad，c = p +。abc=ced，abc与ced为顶角相等的两个等腰三角形。abcced。，acb=dce。acb=acd+bcd，dce=bce+bcd，acd=bce。在acd与bce中，acd=bce，acdbce。ea=ed+da=ec+。由折叠性质可知，p=ea=ea，b=eb=eb，c=ec。p=c+。【考点】圆的综合题，折叠问题，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，分类思想的应用。【分析】分点e在弧ab上和点e在弧bc上两种情况讨论，分别根据折叠的性质，综合应用圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义求解即可。四. 有关利用轴对称性求最值问题8. 如图，已知直线abc，且a与b之间的距离为3，且b与c之间的距离为1，点a到直线a的距离为2，点b到直线c的距离为3，ab=试在直线a上找一点m，在直线c上找一点n，满足mna且am+mn+nb的长度和最短，则此时am+nb=【】a12 b10 c8 d6【答案】c。【考点】轴对称的应用（最短线路问题），平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质，勾股定理。【分析】mn表示直线a与直线c之间的距离，是定值，只要满足am+nb的值最小即可，如图，作点a关于直线a的对称点a，连接ab交直线c与点n，过点n作nm直线a，连接am，9. 已知抛物线：的顶点在坐标轴上（1）求的值；（2）时，抛物线向下平移个单位后与抛物线：关于轴对称，且过点，求的函数关系式；（3）时，抛物线的顶点为，且过点问在直线 上是否存在一点使得的周长最小，如果存在，求出点的坐标， 如果不存在，请说明理由 【答案】解：当抛物线的顶点在轴上时解得或 1分当抛物线的顶点在轴上时 2分综上或 ， 3分抛物线： 过点，即 4分解得（由题意，舍去） 抛物线： 5分【解析】略五. 有关平面解析几何中图形的轴对称性问题10. 将矩形oabc置于平面直角坐标系中，点a的坐标为（0，4），点c的坐标为（m，0）（m0），点d（m，1）在bc上，将矩形oabc沿ad折叠压平，使点b落在坐标平面内，设点b的对应点为点e，当ade是等腰直角三角形时，m= ，点e的坐标为 ；【答案】3；（0，1）。【考点】折叠问题，矩形的性质，折叠的对称性质，正方形的判定和性质。11. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，），且与y轴交于点c（0，），与x轴交于a，b两点（点a在点b的左边）。（1）求抛物线的解析式及a，b两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点p，使ap+cp的值最小？若存在，求ap+cp的最小值，若不存在，请说明理由。 （2）存在。如图，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为a、