山东省高考数学一轮复习 试题选编31 椭圆 理 新人教A版.doc

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编31：椭圆一、选择题 （山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）若椭圆:()和椭圆:()的焦点相同且.给出如下四个结论: 椭圆和椭圆一定没有公共点; ; ; .其中,所有正确结论的序号是（）a bcd【答案】b （山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点p使,则该椭圆的离心率的取值范围为（）a(0,b()c(0,)d(,1)【答案】d【解析】根据正弦定理得,所以由可得,即,所以,又,即,因为,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义)所以,即,所以,即,所以,解得,即,选d 二、填空题 （山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为,则=_.【答案】 【解析】因为焦点在轴上.所以,所以.椭圆的离心率为,所以,解得. （山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）如图,椭圆的左、右焦点为,上顶点为a,离心率为,点p为第一象限内椭圆上的一点,若,则直线的斜率为_.【答案】 因为椭圆的离心率为,所以,即.设直线的斜率为,则直线的方程为,因为,即,即,所以,解得,(舍去)或,又,即,所以,解得,所以. 三、解答题 （山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知椭圆,椭圆c2以c1的短轴为长轴,且与c1有相同的离心率.(i)求椭圆c2的方程;(ii)设直线与椭圆c2相交于不同的两点a、b,已知a点的坐标为,点在线段ab的垂直平分线上,且,求直线的方程.【答案】 （山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）若椭圆: 和椭圆: 满足,则称这两个椭圆相似,是相似比.()求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;()设过原点的一条射线分别与()中的两椭圆交于、点(点在线段上).若是线段上的一点,若,成等比数列,求点的轨迹方程; 求的最大值和最小值.【答案】解:()设与相似的椭圆的方程. 则有 解得. 所求方程是 () 当射线的斜率不存在时, 设点p坐标p(0,则,.即p(0,) 当射线的斜率存在时,设其方程,p( 由,则 得 同理 又点p在上,则,且由, 即所求方程是. 又(0,)适合方程, 故所求椭圆的方程是 由可知,当的斜率不存在时,当的斜率存在时, , 综上,的最大值是8,最小值是4 （山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、 三点. (1)求椭圆的方程:(2)若点d为椭圆上不同于、的任意一点,当内切圆的面积最大时.求内切圆圆心的坐标;(3)若直线与椭圆交于、两点,证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程.【答案】【解析】:(1)设椭圆方程为 将、代入椭圆e的方程,得 解得.椭圆的方程 (2),设边上的高为 当点在椭圆的短轴顶点时,最大为,所以的最大值为.设的内切圆的半径为,因为的周长为定值6.所以,所以的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为 (3)将直线代入椭圆的方程并整理.得 .设直线与椭圆的交点, 由根系数的关系,得 直线的方程为:,它与直线的交点坐标为 同理可求得直线与直线的交点坐标为 下面证明、两点重合,即证明、两点的纵坐标相等: , 因此结论成立.综上可知.直线与直线的交点住直线上 （山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、,与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足(1)求椭圆的标准方程;(2)若,试证明:直线过定点并求此定点.【答案】解:(1)设椭圆方程为,焦距为2c, 由题意知 b=1,且,又 得 所以椭圆的方程为 (2) 由题意设,设l方程为, 由知 ,由题意, 同理由知 , (*) 联立得 需 (*) 且有 (*) (*)代入(*)得, 由题意,(满足(*), 得l方程为,过定点(1,0),即p为定点 （2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点o,长轴在x轴上,上顶点为a,左、右焦点分别为f1,f2,线段of1,of2的中点分别为b1,b2,且ab1b2 是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过b1作直线l交椭圆于p,q两点,使pb2qb2,求直线l的方程.【答案】【解析】 (1)设所求椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点为f2(c,0).因为ab1b2是直角三角形,又|ab1|=|ab2|,故b1ab2为直角,因此|oa|=|ob2|,得b=. 结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,离心率e= . 在rtab1b2中,oab1b2,故sab1b2=|b1b2|oa|=|ob2|oa|=b=b2. 由题设条件sab1b2=4,得b2=4,从而a2=5b2=20. 因此所求椭圆的标准方程为+=1. (2)由(1),知b1(-2,0),b2(2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m2+5)y2-4my-16=0. 设p(x1,y1),q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1y2=-. 又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-. 由pb2qb1,得=0,即16m2-64=0,解得m=2. 满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0. （山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科）已知椭圆的离心率为,过右焦点做垂直于轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为.()求椭圆的标准方程;()设点,直线:,过任作一条不与轴重合的直线与椭圆相交于两点,过的中点作直线与轴交于点,为在直线上的射影,若 、 成等比数列,求直线的斜率的取值范围【答案】解:()由题意可得 ,解得 椭圆的标准方程为 ()设的斜率为,的斜率为,直线的方程为, 联立直线与椭圆的方程 ,整理得 直线与椭圆有两个公共点, 或 由 得 设则 直线的方程,令,得, 、 成等比数列, 则有 ,或 所以, 即,或 由,可得 由,可得 的取值范围为 （山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知圆的方程为,过点作圆的两条切线,切点分别为、,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.()求椭圆的方程;()设是椭圆(垂直于轴的一条弦,所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点,直线、分别交定直线于两点、,求证. rqop【答案】 解:() 观察知,是圆的一条切线,切点为, 设为圆心,根据圆的切线性质, 所以, 所以直线的方程为 线与轴相交于,依题意, 所求椭圆的方程为 () 椭圆方程为,设 则有, 在直线的方程中,令,整理得 同理, ,并将代入得 =. 而= 且, （山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.()若,求外接圆的方程;()若过点的直线与椭圆相交于两点、,设为上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.【答案】解:()由题意知:,又, 解得:椭圆的方程为: 可得:,设,则, ,即 由,或 即,或 当的坐标为时,外接圆是以为圆心,为半径的圆,即 当的坐标为时,所以为直角三角形,其外接圆是以线段为直径的圆,圆心坐标为,半径为, 外接圆的方程为 综上可知:外接圆方程是,或 ()由题意可知直线的斜率存在. 设, 由得: 由得:() ,即 ,结合()得: , 从而, 点在椭圆上,整理得: 即,或 （山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）椭圆的两个焦点为,m是椭圆上的一点,且满足.()求离心率的取值范围;()当离心率e取得最小值时,椭圆上的点到焦点的最近距离为.求此时椭圆g的方程;设斜率为k(k0)的直线l与椭圆g相交于不同的两点a、b,q为ab的中点,问a、b两点能否关于过点、q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.【答案】解:(1)设m(x,y),则 由 又m在椭圆上, , 又0x2a2, , (2)依题意得: 椭圆方程是: .设l:y=kx+m,由 而0可得m20）过m（2，） ，n(,1)两点，o为坐标原点，（i）求椭圆e的方程；（ii）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且？若存在，写出该圆的方程，并求|ab |的取值范围，若不存在说明理由。【答案】解:（1）因为椭圆e: （a,b0）过m（2，） ，n(,1)两点,所以解得所以椭圆e的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）设a(x1, y1),b(x2, y2)是椭圆c:(ab0)上两点,已知,若mn=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,o为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)试问aob的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.【答案】 （山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）已知直线圆椭圆的离心率直线l被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.()求椭圆c的方程;()过椭圆右焦点f的直线l与椭圆c交于a,b两点.(1)若=2求直线l的方程;(2)若动点p满足=+,问动点p的轨迹能否与椭圆c存在公共点?若存在,求出点p的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】 解:()设椭圆的半焦距为c,圆心o到直线l的距离为 . 由题意得 解得 故椭圆c的方程为 ()(1)当直线l的斜率为0时,检验知 设 由,得 则有 设直线l: 联立 消去x,整理得 结合,得 代入 得 即解得 故直线l的方程是 (2)问题等价于在椭圆上是否存在点p,使得成立. 当直线l的斜率为0时,可以验证不存在这样的点, 故设直线l的方程为 用(1)的设法,可得p 若点p在椭圆c上,则 即 又点a,b在椭圆上,有 则 即 由(1)知 代入式得 解得,即. 当时, 当时, 故椭圆c上存在点p,使得成立, 即动点p的轨迹与椭圆c存在公共点,公共点的坐标是. （山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的短轴长.与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点.(1)求、的方程;(2)求证:.(3)记的面积分别为,若,求的取值范围.mxyabode【答案】(1) 又,得 (2)设直线则 =0 (3)设直线 ,同理可得 同理可得 （山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.(1)求椭圆的方程;(2)过点的动直线l交椭圆c于a、b两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点t,使得以ab为直径圆恒过点t?若存在求出点t的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】 （山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）如图,设是圆上的动点,点是在轴上投影,为上一点,且.当在圆上运动时,点的轨迹为曲线. 过点且倾斜角为的直线交曲线于两点.(1)求曲线的方程;(2)若点f是曲线的右焦点且,求的取值范围.【答案】解:(1)设点m的坐标是,的坐标是,因为点是在轴上投影,m为上一点,且,所以,且,在圆上,整理得. 即的方程是. (2)如下图,直线交曲线于两点,且. 由题意得直线的方程为. 由,消去得. 由解得. 又,. 设,则, . . . 又由椭圆方程可知, , , , 因, ,故或, 又,故. （山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.(1)求椭圆c的方程:(2)设直线与椭圆c交于a、b两点,坐标原点o到直线的距离为,求aob面积的最大值.【答案】 （山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知椭圆的离心率,长轴的左、右端点分别为.()求椭圆的方程;()设直线与椭圆交于,两点,直线与交于点.试问:当变化时,点是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.【答案】 （山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,以原点o为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切;若直线与椭圆c相交于a、b两点直线oa和ob的斜率分别为koa和kob,且koakob=.(1)求椭圆c的方程;(2)求证:aob的面积为定值;(3)在椭圆上是否存在一点p,使四边形oapb为平行四边形?若存在,求出|op|的取值范围,若不存在说明理由.【答案】 （山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知椭圆c:,点a,f分别是椭圆c的左顶点和左焦点,点p是 o上的动点.(1)若,pa是o的切线,求椭圆c的方程;(2)是否存在这样的椭圆c,使得恒为常数?如果存在,求出这个数及c的离心率e;如果不存在,说明理由.【答案】 （山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形abcd的顶点在椭圆上,且对角线ac、bd过原点o,若,(i) 求的最值. (ii) 求证:四边形abcd的面积为定值;第22题图【答案】解:(1)由题意,又, 解得,椭圆的标准方程为 (2)设直线ab的方程为,设 联立,得 - = (i) 当k=0(此时满足式),即直线ab平行于x轴时,的最小值为-2. 又直线ab的斜率不存在时,所以的最大值为2 (ii)设原点到直线ab的距离为d,则 . 即,四边形abcd的面积为定值 （2011年高考（山东理）已知动直线与椭圆:交于两不同点,且的面积,其中为坐标原点.(1)证明:和均为定值; (2)设线段的中点为,求的最大值;(3)椭圆上是否存在三点,使得?若存在,判断的形状;若不存在,请说明理由.【答案】解析:()当直线的斜率不存在时,两点关于轴对称,则, 由在椭圆上,则,而,则 于是,. 当直线的斜率存在,设直线为,代入可得 ,即,即 , 则,满足 , , 综上可知,. ()当直线的斜率不存在时,由()知 当直线的斜率存在时,由()知, , ,当且仅当,即时等号成立,综上可知的最大值为. ()假设椭圆上存在三点,使得, 由()知, . 解得, 因此只能从中选取,只能从中选取, 因此只能从中选取三个不同点,而这三点的两两连线必有一个过原点,这与相矛盾, 故椭圆上不存在三点,使得. （山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）在平面直角坐标系中,已知椭圆c:的离心率为,且椭圆c上一点n到点q(0,3)的距离最大值为4,过点m(3,0)的直线交椭圆c于点a、b.()求椭圆c的方程;()设p为椭圆上一点,且满足(o为坐标原点),当时,求实数t的取值范围.【答案】解:() 则椭圆方程为即 设则 当时,有最大值为 解得,椭圆方程是 ()设方程为 由 整理得. 由,得. 则, 由点p在椭圆上,得 化简得 又由 即将,代入得 化简,得 则, 由,得 联立,解得或 （山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）如图,已知圆c与y轴相切于点t(0,2),与x轴正半轴相交于两点m,n(点m必在点n的右侧),且椭圆d:的焦距等于,且过点( i ) 求圆c和椭圆d的方程;() 设椭圆d与x轴负半轴的交点为p,若过点m的动直线与椭圆d交于a、b两点,是否恒成立?给出你的判断并说明理由.【答案】解:()设圆的半径为,由题意,圆心为, 因为 故圆的方程为. 在中,令 即 又 解得(舍去),则 故椭圆的方程为. ()恒有成立, 点在椭圆的外部,直线可设为. 由 设则 因为 所以 当时,此时,对方程,不合题意. 综上,过点的动直线与椭圆交于两点,恒成立 （山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆的左、右焦点分别为f1、f2,点是椭圆上任意一点,且,椭圆的离心率(i)求椭圆e的标准方程; (ii)直线交椭圆e于另一点,椭圆右顶点为a,若,求直线的方程;(iii)过点作直线的垂线,垂足为n,当变化时,线段pn的长度是否为定值?若是,请写出这个定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.【答案】 （2013山东高考数学（理）椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程; ()点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;()在()的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值. 【答案】解:()由于,将代入椭圆方程得 由题意知,即 又 所以, 所以椭圆方程为 ()由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为, 所以,而,所以 (3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: ,所以,而,代入中得 为定值. （山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形.() 求椭圆方程;() 若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点,证明:为定值;()在()的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1), 椭圆方程为 (2),设,则. 直线:,即, 将代入椭圆得 由韦达定理有 ,. , (定值) (3)设存在满足条件,则. , 则由得 ,从而得. 存在满足条件. （山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）已知椭圆c的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.(i)求椭圆c的标准方程;(ii)直线x=2与椭圆c交于p、q两点,a、b是椭圆o上位于直线pq两侧的动点,且直线ab的斜率为.求四边形apbq面积的最大值;设直线pa的斜率为,直线pb的斜率为,判断+的值是否为常数,并说明理由.【答案】解:()设椭圆c的方程为 由已知b= 离心率 ,得 所以,椭圆c的方程为 ()由()可求得点p、q的坐标为 ,则, 设ab(),直线ab的方程为,代人 得:. 由0,解得,由根与系数的关系得 四边形apbq的面积 故当 由题意知,直线pa的斜率,直线pb的斜率 则 = =,由知 可得 所以的值为常数0 （2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知椭圆c:的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线与以原点为圆心,以椭圆c的短半轴长为半径的圆相切.(i)求椭圆c的方程;()设m是椭圆的上顶点,过点m分别作直线ma,mb交椭圆于a,b两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线ab过定点(,-l).【答案】 （山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模）已知椭圆的焦点坐标为(-1,0),(1,0),过垂直于长轴的直线交椭圆于p、q两点,且|pq|=3,(1) 求椭圆的方程;(2) 过的直线l与椭圆交于不同的两点m、n,则mn的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1) 设椭圆方程为=1(ab0),由焦点坐标可得c=1 由pq|=3,可得=3, 解得a=2,b=, 故椭圆方程为=1 (2) 设m,n,不妨0, b0)的左、右焦点分别为f1,f2.f2也是抛物线c2:的焦点,点m为c1与c2在第一象限的交点,且|mf2|=.()求c1的方程;()平面上的点n满足,直线lmn,且与c1交于a,b两点,若,求直线l的方程.【答案】解:()由:知. 设,在上,因为,所以,得,. 在上,且椭圆的半焦距,于是 消去并整理得 , 解得(不合题意,舍去). 故椭圆的方程为. ()由知四边形是平行四边形,其中心为坐标原点, 因为,所以与的斜率相同, 故的斜率.设的方程为. 由 消去并化简得 . 设,. 因为,所以. . 所以.此时, 故所求直线的方程为,或. （山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆c方程为,过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为.(1)求椭圆方程.(2)已知a,b方程为椭圆的左右两个顶点,t为椭圆在第一象限内的一点,为点b且垂直轴的直线,点s为直线at与直线的