安徽省舒城中学高三数学 寒假作业专题（二）递推数列的通项问题.doc

安徽省舒城中学高三年级20132014学年寒假作业数学部分专题（二 ）递推数列的通项问题一、由递推公式求通项有七种类型（一）an1anf(n)型把原递推公式转化为an1a nf(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(3)f(n1)例8已知数列an满足a1，an1an，求an.解由条件，知an1an， 则(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1) ， 所以ana11. 因为a1，所以an1.变式训练20 已知数列，=2，=+3+2， 求. 数列通项公式. 变式训练21.已知数列满足， 求数列的通项公式. 变式训练22.已知数列满足， 求数列的通项公式 （二）an1f(n)an型把原递推公式转化为f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由f(1)，f(2)，f(n1)，累乘可得f(1)f(2)f(n1)例9已知数列an满足a1，an1an，求an.解由an1an，得， 故ana1. 即an.变式训练23已知是首项为的正项数列，并且，求数列的通项公式。 变式训练24.已知数列前项和为,且， 求数列的通项公式。 变式训练25.已知数列满足， （2）， 求数列的通项公式。 （三）an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an1tp(ant)，比较系数可知t， 可令an1tbn1换元即可转化为等比数列来解决例10已知数列an中，a11，an12an3，求an.解设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)， 即an12ant，则t3. 故递推公式为an132(an3) 令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列所以bn42n12n1，即an2n13.变式训练26. 若数列的递推公式为， 求这个数列的通项公式 变式训练27. 已知数列a中，a=1，a= a+ 1 求通项a 变式训练28. 在数列中， ， 求数列的通项公式。 （四）an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)型（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn1，得，引入辅助数列bn，得bn1bn，再用待定系数法解决；（2）也可以在原递推公式两边同除以pn1，引入辅助数列bn，得 例11.在数列中， （1）设，求数列的通项公式 （2）求数列的前项和解（1）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（2）由（1）知, = 而,又是一个典型的错位相减法模型， 易得 =变式训练 29. 已知数列 中， 求数列的通项公式 变式训练30. 已知数列满足， 求数列的通项公式 变式训练31.已知数列满足， 求数列的通项公式。（五）an1pananb(p1，p0，a0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为anxny是公比为p的等比数列例12设数列an满足a14，an3an12n1(n2)，求an. 解 设递推公式可以转化为ananb3an1a(n1)b， 化简后与原递推式比较，得解得令bnann1.(*)则bn3bn1，又b16，故bn63n123n，代入(*)式，得an23nn1.变式训练 32. 设在数列中， ， 求数列的通项公式。变式训练33. 在数列中， ， 求数列的通项公式。 （六）an1pa(p0，an0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq型数列，再利用待定系数法求解例13已知数列an中，a11，an1 a(a0)，求数列an 的通项公式 解 对an1a的两边取对数，得lg an12lg anlg .令bnlg an，则bn12bnlg .由此得bn1lg2，记cnbnlg，则cn12cn，所以数列cn是以c1b1lglg为首项，2为公比的等比数列 所以cn2n1lg. 所以bncnlg2n1lglglglga12n， 即lg anlga12n，所以ana12n.变式训练 34, 若中, ,且(是正整数), 求数列的通项公式 变式训练35. 数列中,设，求数列的通项公式。（七）an1(a，b，c为常数)型 对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式例14已知数列an的首项a1，an1，n1,2,3，求an的通项公式 解 an1，1. 又1，是以为首项，为公比的等比数列，1， an.变式训练36. 已知， 求数列an的通项公式求变式训练37.已知数列满足时， 求数列an的通项公式求通项公式.变式训练38.已知数列an满足：a1，且an 求数列an的通项公式 变式训练39. 已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项。（）求数列的通项公式；（）若，求成立的正整数的最小值。 数学部分变式训练20 变式训练21. 变式训练22. 变式训练23 变式训练24. 变式训练25. 变式训练26. . 变式训练27. 变式训练28. 变式训练 29. an 变式训练30. 变式训练31. 变式训练 32. 变式训练33. 变式训练 34, 变式训练35.