24.3正多边形和圆(第1课时).doc

教学设计24.3正多边形和圆(第1课时)兴国县第七中学 凌兴民【内容和内容解析】1.内容正多边形的有关概念及计算2.内容解析本节内容选自新课标人教版九年级上册数学教材第24章第3节，本节教学分两课时，第一课时主要探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的有关概念，并能熟练进行一些特殊的正多边形有关计算，第二课时主要是探索正多边形的画法.正多边形是生活中常见的图形，因此正多边形的有关计算在生活中经常用到正多边形和圆关系密切，只要把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念与正多边形的外接圆关系密切，这些概念是进行与正多边形有关计算的基础在探究正多边形和圆的关系时，学生经历观察、猜想、推理、迁移等过程，充分感受知识的形成过程，体会由特殊到一般的思想.例题中的这一实际问题，需转化为正多边形计算问题，再将正多边形的问题转化为等腰三角形和直角三角形的问题.因此本节内容无论在知识体系和实际应用上，还是对学生数学观念的培养上，都有着十分重要的作用基于以上分析，本课时的教学重点是：探索正多边形与圆的关系，掌握正多边形的有关概念，熟练进行特殊正多边形的有关计算【目标和目标解析】1.目标(1)理解正多边形与圆的关系，掌握正多边形的有关概念，熟练进行一些特殊正多边形的有关计算(2)通过观察、猜想、推理、迁移，发展学生合情推理能力和演绎推理能力，让学生体会由特殊到一般及转化的思想.(3)激发学生的学习热情，调动学生的学习积极性，培养学生科学严谨的治学态度和应用意识，提高学生的审美意识，感受中国文化的博大精深，在数学活动中获取成功的体验2.目标解析达成目标(1)的标志是：理解正多边形与圆的关系，理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，能熟练进行特殊正多边形的有关计算，并能解决一些简单的实际问题达成目标(2)的标志是：对于正多边形的问题能进行简单的推理，会添加适当的辅助线，将正多边形的问题转化为三角形的问题达成目标(3)的标志是：学生能积极参与数学活动，能够独立思考、自主探究【教学问题诊断分析】学生在前面学习了正多边形的概念，知道各边相等、各内角相等的多边形是正多边形，但涉及到正多边形的严格证明，学生会感觉到比较困难.学生在本册中学习了圆的有关性质，理解了圆中弧与弦，弧与圆周角的关系，但有部分学生不知道将正多边形的边、角转化到圆中的弦和圆周角来解决学生之前遇到的数学图形以三角形、四边形为主，图形较为简单，在正多边形中，随着边数的增加，图形变得复杂，学生较难从复杂图形中分离出简单、熟悉的图形.基于以上分析，本课时的教学难点是：探索正多边形与圆的关系及将正多边形的问题转化为三角形的问题【教学支持条件分析】学生在前面已经学习了正多边形的概念和圆的有关性质，并初步具有了条理地思考与表达的能力，为本节课的学习打下了良好的基础.在证明圆内接正五边形时，学生观察正五边形的边，就是圆的弦，从而用圆的弧与弦关系得到各边相等，正五边形的内角，就是圆中的圆周角，从而利用弧与圆周角的关系得到各角相等.再推广到正n边形，符合学生认知规律和特点，降低了问题的难度.在进行正多边形的有关计算时，转化的关键都是添加适当辅助线，将正多边形的问题转化为三角形的问题纵观整节课，每个环节的设计与展开，都是以“问题研究和学生活动”为中心，让学生处于主动学习的状态，使课堂充满新鲜感、愉快感、成功感，在探索中形成自己的观点，在活动中培养学生的归纳与推理的能力.【教学过程设计】一、设置情境大家知道蜜蜂是以勤劳和团结著称，蜂巢是蜜蜂居住与繁衍的场所.你知道蜂巢的横截面是由一些什么图形严丝合缝构成的吗？从数学的角度来看，蜜蜂为什么选择正六边形，而不是其它图形？同学们，你知道这里的奥秘吗？师生活动：教师设问引导，学生进行观察、思考.设计意图：通过这一活动，激发学生学习新知识的兴趣，让学生形成探究新知的心理需要，调动学生学习的积极性二、温故知新什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形是正多边形吗？正方形呢？师生活动：教师设问，学生回答.设计意图：目的让学生回顾正多边形的定义，并让学生明白判定一个正多边形的条件有两个：各边相等、各角相等，缺一不可.师：同学们，你会画一个正多边形吗？比如正五边形.生：学生经过思考，发现很难直接画出能同时满足它的各边相等、各个角也相等的正五边形.有部分同学提出可以借助圆来画正五边形.设计意图：这一环节，鼓励学生积极思考，激发学生的求知欲望，发挥学生丰富的创造力.三、探究新知问题1 已知：如图，点A，B，C，D，E是O的五等分点，依次连接AB，BC，CD，DE，EA.求证：五边形ABCDE是O的内接正五边形.师生活动：教师引导学生从正多边形的定义入手证明，学生观察、分析能够得出5段相等的弧所对的弦也是相等的，证明五边形的各边相等.思考1：正五边形的角在圆中是什么角？学生通过观察发现各个内角都圆周角.思考2：每一个圆周角所对的弧有什么特点？学生分析、讨论发现每一个圆周角所对的弧都是三段五等分的弧，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形.教师利用课件展示证明过程（略）推广：把圆分成n 个等份，依次连接各个分点，所得的多边形是圆内接正n边形吗？设计意图：让学生通过观察、猜想、推理、迁移，以圆内接正五边形为例，推广到正n边形的情形，从而得到正多边形与圆的关系.让学生充分经历知识的形成过程，体会由特殊到一般的这种研究问题的方法，培养学生科学严谨的治学态度.四、概念学习教师演示课件，图文并茂地给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.问题2计算一1. 正n边形的每个中心角等于 ；正n边形的内角和等于 ，每个内角等于 ；正n边形的外角和等于 ，每个外角等于 ；2. 正八边形的每个中心角等于 ，每个内角等于 ,每个外角等于 .问题2 计算二1.如图1，已知一个正ABC的半径为2，则它的边长为 . （变式）已知一个正三角形ABC的半径为R，则它的边长和边心距分别为 . 2.如图2，已知一个正方形ABCD的边心距为2，则它的半径为 .3.如图3，已知一个正六边ABCDEF的边长为2，则它的边心距为 . 图1 图2 图3 师生活动：学生应用所学概念，把已知和要求的线段补充完整（图2、3），教师引导学生解题后要进行归纳总结：1.由正n边形的边数，可以求出中心角的度数，与它其它条件无关；2.解题的关键是抓住半径、边心距、边长的一半三者的数量关系.设计意图：学生通过解决这三个特殊的正多边形计算问题，进一步明确正多边形的有关概念，能熟练地求出正多边形的中心角，并利用“半径、边心距、边长的一半”三者的数量关系进行解题，并且让学生明白正多边形中的半径、边心距、边长这三个量，只要已知一个量，就可以求出另外两个量.五、学以致用问题3有一个亭子，它的地基是半径为 4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）引导学生把实际问题转化成数学问题，结合图形，明确哪一部分是地基，知道要计算是哪一部分.教师演示地基的数学图形，引导学生进行分析.思考1：欲求地基的周长，需要先求出正六边形的什么？学生分析得出先求正六边形的边长.思考2:欲求地基的面积，有正六边形的面积公式吗？直接不能求的话，我们还可以如何求？学生思考、分析后发现正六边形的半径将正六边形分成六个全等的等腰三角形，然后转化为求三角形的面积，进而作出边心距.解题后，引导学生进行题后反思、归纳总结，提升出数学思想和方法.设计意图：在解决教科书例题时，让学生会将实际问题转化为数学问题，将正六边形的问题转化为等腰三角形和直角三角形的问题，并将正六边形的规律推广到正多边形，进一步熟练掌握半径、边心距、边长这三者的关系，让学生充分体会由复杂图形转到简单图形、将陌生问题化归为熟悉问题的转化过程.六、综合运用问题4 用24米长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种方案：正三角形、正方形、正六边形、圆.哪种场地的面积最大？师生活动：学生有了上述活动和解题经验后，很快形成解题策略，得出答案.教师注意引导学生进行猜想，学生容易发现：当周长一定时，随着边数的增加，正多边形的面积随之增加，当正多边形变为圆时，面积最大.设计意图：进一步熟练掌握正多边形的有关计算，最后观察计算结果，得出“当周长一定时，随着边数的增加，正多边形的面积随之增加，当正多边形变为圆时，面积最大”这一结论，为解决情景问题打下基础.七、问题解决再次回到情景问题，让学生思考、分析、讨论后，回答蜜蜂为什么选择正六边形？ 思考：既然周长（材料）一定时，圆的面积最大，蜜蜂为什么不选择圆形？ 学生深思后发现，若选择圆形的话，蜂巢将会出现缝隙，实际上由前面的镶嵌知识可知，若只选择一种正多边形进行镶嵌，只能选择正三角形、正方形、正六边形.所以，蜜蜂选择正六边形，是最好和最节约的筑巢方式.八、课堂小结1.本节课，你印象最深刻的是什么？2.本节课，你最感兴趣的是什么？3.本节课，你还有什么疑惑？师生活动：通过引导学生民主小结，围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获.设计意图：通过小结和学生反思，让学生进一步梳理本节课知识，培养学生的学习能力，有利于学生提升数学思想方法，积累数学活动的经验同时通过引出“已知正五边形的半径为2，是否可以求出它的边长、边心距、周长、面积呢？”这一问题，激疑设悬，让学生课外主动地去探索、探究，课断而思不断，言尽而意不尽，同时，也能为学生以后的学习作好铺垫.九、布置作业图4一、必做题：教科书习题 24.3第 4，6题二、选做题：1.教科书习题 24.3 第 8 题； 2.如图4，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20,则正八边形的面积为 .图53.如图5，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格