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专题十九 解决概率统计与算法问题 【典题导引】例1.在市统测后，从高二年级抽出名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示（1）估计这次数学考试的平均成绩；（2）从样本中任选一学生，该生数学成绩在 (单位：分)之间的概率；（3）用分层抽样的方法在分数段为(单位：分)的学生中抽取一个容量为的样本，从中选取人作学习数学经验介绍，求选到(单位：分)和(单位：分)这两个分数段各一人的概率例1图解：（1）由表知：本次考试成绩共分为组，各组的频率分别为：， 估计这次数学考试的平均成绩为：；（2）由（1）得，数学成绩在的频率为， 从样本中任选一学生，该生数学成绩在之间的概率为0.66；（3）分层抽样比为，在分数段抽取（人），在分数段 抽取（人），这名学生中，在的3名学生记为：，在的2名学生记为：则在这名学生中选取2名学生的所有可能的基本事件：， ，共个；两个分数段各一人的所有可能的基本事件：，共个；选取人作学习数学经验介绍，选到这两个分数段的事件记为，则答：（1）估计这次数学考试的平均成绩为分；（2）从样本中任选一学生，该生数学成绩在之间的概率为0.66；例2图（3）选到这两个分数段各一人的概率为例2. 如图所示的算法中，令，若在集合中，给取一个值，输出的结果是（1）求值所在的范围；（2）求函数有个零点的概率解：(1)由程序框图知，输出的是中的最大值则，因此的取值范围是.(2)由已知，得，得，.函数有个零点的概率.例3. 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定个男生和个女生来参与，把个人分别编号为，其中号是男生，号是女生，将每个人的编号分别写在张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目（1）为了选出人来表演双人舞，连续抽取张卡片，求取出的人不全是男生的概率；（2）为了选出人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率解: （1）利用树形图我们可以列出连续抽取张卡片的所有可能结果(如下图所示)由上图可以看出，试验的所有可能结果数为，因为每次都随机抽取，所以这种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型用表示事件“连续抽取人是一男一女”，表示事件“连续抽取人都是女生”，则与互斥，并且表示事件“连续抽取张卡片，取出的人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，的结果有种，的结果有种，由互斥事件的概率加法公式，可得，即连续抽取张卡片，取出的人不全是男生的概率为.（2）有放回地连续抽取张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出号，第二次取出号”就用来表示，所有的可能结果可以用下表列出. 第二次抽取第一次抽取试验的所有可能结果数为，并且这种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型用表示事件“独唱和 朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，的结果共有种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率.例4(2012北京)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾可回收物其他垃圾（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，.当数据的方差s2最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时s2的值.解：（1）厨余垃圾投放正确的概率约为：厨余垃圾箱里厨余垃圾量 /厨余垃圾总量;（2）设生活垃圾投放错误为事件,则事件表示生活垃圾投放正确,事件的概率约为厨余垃圾箱里厨余垃圾量,可回收物箱里可回收物量与其他垃圾箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即约为.所以约为;（3）因为,所以,当a=600,时, s2取得最大值,最大值为.【归类总结】1古典概型与几何概型：（1）有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数；对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏；（2）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域2运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解3抽样方法：（1）在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体（2）在分层抽样中，要求各层在样本中和总体中所占比例相同4频率分布直方图的纵轴表示，图中读出的纵坐标的数据并非是频率，需要乘以组距以后才为频率频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以