山东省招远市第二中学高一数学《31 函数与方程》导学案.doc

山东省招远市第二中学高一数学31 函数与方程导学案1函数零点的概念对于函数yf(x) (xd)，我们把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x) (xd)的零点注意以下两点：(1)方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(2)函数零点的求法：代数法：求方程f(x)0的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2函数零点的判断一般地，如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根我们不妨把这一结论称为零点存在性定理对函数零点存在性定理的理解(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y.(2)函数yf(x)如果满足：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号如函数yx2有零点x00，但显然函数值没有变号但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号(4)函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在(a，b)内有且只有一个零点但要注意：如果函数yf(x)在a，b上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)f(b)0.3二分法所谓二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使：区间a，b的长度尽量小；f(a)、f(b)的值比较容易计算，且f(a)f(b)0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)，可以构造函数f(x)f(x)g(x)，函数f(x)的零点即为方程f(x)g(x)的根. 题型一判断零点所在区间根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间是_.x10123ex0.3712.727.3920.09x212345解析令f(x)exx2，由图表知f(1)0.3710.630，f(0)1210，f(1)2.7230.280，f(3)20.09515.090，由于f(1)f(2)0时，f(x)2 008xlog2 008x，则函数f(x)的零点的个数为()a1b2c3d2 006解析因为函数f(x)为r上的奇函数，所以f(0)0，因为log2 0081,2 0081，所以f2 008log2 0080，所以，当x0时，f(x)2 008xlog2 008x，函数在区间内存在零点，又根据单调函数的定义可证明f(x)在(0，)上为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数在r上零点的个数为3，故选c.答案c点评认识函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点(除原点外)是成对出现的注意到函数为奇函数且在原点有定义，因此有f(0)0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分 题型三用二分法求方程的近似解求方程x22x1的一个近似解(精确度0.1)解设f(x)x22x1.f(2)10，在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，f(2.5)0.250，2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；再取2.25与2.5的平均数为2.375，f(2.375)0.109 40，2.375x00.|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.点评对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如f(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之函数f(x)x的零点个数为()a0b1c2d3错解因为f(1)2，f(1)2，且x0时，f(x)0时，f(x)0，所以yf(x)有一个零点，故选b.错因分析函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域通过作图可知函数f(x)x的图象不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用正解函数的定义域为xr，且x0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0成立的自变量x的取值范围是_解析由表中数据可知f(2)0，f(3)0，因此函数的零点有两个是2和3.这两个零点将x轴分成三个区间(，2，(2,3，(3，)在区间(，2中取特殊值3，表中数据有f(3)60，因此根据二次函数零点的性质得：当x(，2)时，都有f(x)0；同理可得：当x(3，)时也有f(x)0.故使f(x)0的自变量x的取值范围是x(，2)(3，)答案(，2)(3，)1下列函数中不能用二分法求零点的是()af(x)3x1 bf(x)x3cf(x)|x| df(x)lnx答案c解析对于选项c而言，令|x|0，得x0，即函数f(x)|x|存在零点；当x0时，f(x)0，当x0，f(x)|x|的函数值非负，即函数f(x)|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点2若yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()a若f(a)f(b)0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0b若f(a)f(b) 0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0d若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a，b)，使得f(c)0答案d解析由零点存在性定理可知选项a不正确；对于选项b可通过反例“f(x)x(x1)(x1)在区间2，2上满足f(2)f(2)0，但其存在两个零点：1,1”推翻3方程2xx0在下列哪个区间内有实数根()a(2，1) b(0,1)c(1,2) d(1,0)答案d解析设函数f(x)2xx，其对应的函数值如下表：x21012f(x)136由于f(1)f(0)0，所以方程2xx0在(1,0)内有实数根4函数f(x)的零点是_答案2解析本题易认为零点有两个，即由x240求出x2，事实上x2不在函数的定义域内5设x0是方程lnxx4的根，且x0(k，k1)，求正整数k.解设f(x)lnxx4，则函数f(x)lnxx4在正数范围内是单调递增的，故函数f(x)lnxx4仅有一个零点，f(1)ln1140，f(2)ln2240，f(2)f(3)0，即k2.6求方程2x33x30的一个近似解(精确度0.1)解设f(x)2x33x3，经试算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：(a，b)(a，b) 的中点f(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5，0.75)0.625f(0.5)0f(0.625) 0(0.625，0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5) 0因为|0.687 50.75|0.062 50且a1)有两个不同的零点，求a的取值范围解研究函数f(x)axxa (a0且a1)的零点，即相当于研究方程axxa的根(1)当a1时，分别画出yax与yxa的图象，如图(1)所示