高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程课件 新人教B版选修21.ppt

第三章2 3双曲线 2 3 1双曲线的标准方程 1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程 2 掌握双曲线的标准方程及其求法 3 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一双曲线的定义 如图 若取一条拉链 拉开它的一部分 在拉开的两边上各选择一点 分别固定在点f1 f2上 把笔尖放在点m处 拉开或闭拢拉链 笔尖经过的点可画出一条曲线 那么曲线上的点应满足怎样的几何条件 答案 曲线上的点满足条件 mf1 mf2 常数 如果改变一下笔尖位置 使 mf2 mf1 常数 可得到另一条曲线 梳理 1 平面内与两个定点f1 f2的距离的差的等于常数 小于 f1f2 且不等于零 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的 两焦点的距离叫做双曲线的 2 关于 小于 f1f2 若将 小于 f1f2 改为 等于 f1f2 其余条件不变 则动点轨迹是以f1 f2为端点的 包括端点 若将 小于 f1f2 改为 大于 f1f2 其余条件不变 则动点轨迹不存在 3 若将 绝对值 去掉 其余条件不变 则动点的轨迹只有双曲线的 4 若常数为零 其余条件不变 则点的轨迹是 绝对值 焦点 焦距 两条射线 一支 线段f1f2的中垂线 思考1 知识点二双曲线的标准方程 双曲线的标准方程的推导过程是什么 答案 1 建系 以直线f1f2为x轴 f1f2的中点为原点建立平面直角坐标系 2 设点 设m x y 是双曲线上任意一点 且双曲线的焦点坐标为f1 c 0 f2 c 0 3 列式 由 mf1 mf2 2a 可得 2a 4 化简 移项 平方后可得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 令c2 a2 b2 得双曲线的标准方程为 a 0 b 0 5 检验 从上述过程可以看到 双曲线上任意一点的坐标都满足方程 以方程 的解 x y 为坐标的点到双曲线两个焦点 c 0 c 0 的距离之差的绝对值为2a 即以方程 的解为坐标的点都在双曲线上 这样 就把方程 叫做双曲线的标准方程 此步骤可省略 思考2 双曲线标准方程中的两个参数a和b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里b2 c2 a2 即c2 a2 b2 其中c a c b a与b的大小关系不确定 而在椭圆中b2 a2 c2 即a2 b2 c2 其中a b 0 a c c与b的大小关系不确定 双曲线中a b c的关系如何 与椭圆中a b c的关系有何不同 答案 梳理 1 两种形式的标准方程 a2 b2 c2 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c a 0 b 0 a 0 b 0 2 焦点f1 f2的位置是双曲线定位的条件 它决定了双曲线标准方程的类型 焦点跟着正项走 若x2项的系数为正 则焦点在上 若y2项的系数为正 那么焦点在上 3 当双曲线的焦点位置不确定时 可设其标准方程为ax2 by2 1 ab 0 4 标准方程中的两个参数a和b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里的b2 与椭圆中的b2 相区别 x轴 y轴 c2 a2 a2 c2 题型探究 类型一双曲线的定义及应用 命题角度1双曲线中焦点三角形面积问题例1已知双曲线的左 右焦点分别是f1 f2 若双曲线上一点p使得 f1pf2 60 求 f1pf2的面积 解答 由定义和余弦定理得 pf1 pf2 6 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 所以102 pf1 pf2 2 pf1 pf2 所以 pf1 pf2 64 引申探究本例中若 f1pf2 90 其他条件不变 求 f1pf2的面积 解答 由双曲线方程知a 3 b 4 c 5 由双曲线的定义得 pf1 pf2 2a 6 所以 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 36 在rt f1pf2中 由勾股定理得 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 2c 2 100 将 代入 得 pf1 pf2 32 求双曲线中焦点三角形面积的方法 1 方法一 根据双曲线的定义求出 pf1 pf2 2a 利用余弦定理表示出 pf1 pf2 f1f2 之间满足的关系式 通过配方 利用整体思想求出 pf1 pf2 的值 2 方法二 特别提醒 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题 一是要注意定义条件 pf1 pf2 2a的变形使用 特别是与 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 间的关系 反思与感悟 跟踪训练1如图所示 已知f1 f2分别为双曲线的左 右焦点 点m为双曲线上一点 并且 f1mf2 求 mf1f2的面积 解答 在 mf1f2中 由余弦定理 得 f1f2 2 mf1 2 mf2 2 2 mf1 mf2 cos f1f2 2 4c2 mf1 2 mf2 2 mf1 mf2 2 2 mf1 mf2 4a2 2 mf1 mf2 式化为4c2 4a2 2 mf1 mf2 1 cos 命题角度2利用双曲线定义求其标准方程例2 1 已知定点f1 2 0 f2 2 0 在平面内满足下列条件的动点p的轨迹中为双曲线的是a pf1 pf2 3b pf1 pf2 4c pf1 pf2 5d pf1 2 pf2 2 4 当 pf1 pf2 3时 pf1 pf2 3 f1f2 4 满足双曲线定义 p点的轨迹是双曲线 答案 解析 2 在平面直角坐标系中 点a b的坐标分别为 5 0 5 0 直线am bm相交于点m 且它们的斜率之积是 则点m的轨迹方程为 设m x y 答案 解析 双曲线定义的两种应用 1 根据双曲线的定义判断动点轨迹时 一定要注意双曲线定义中的各个条件 不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数 就认为其轨迹是双曲线 还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零 否则就不是双曲线 2 巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程 可以使运算量大大减小 同时提高解题速度和质量 其基本步骤为 寻求动点m与定点f1 f2之间的关系 根据题目的条件计算是否满足 mf1 mf2 2a 常数 a 0 判断 若2a 2c f1f2 满足定义 则动点m的轨迹就是双曲线 且2c f1f2 b2 c2 a2 进而求出相应a b c 根据f1 f2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程 反思与感悟 跟踪训练2下列命题是真命题的是 将所有真命题的序号都填上 已知定点f1 1 0 f2 1 0 则满足 pf1 pf2 的点p的轨迹为双曲线 已知定点f1 2 0 f2 2 0 则满足 pf1 pf2 4的点p的轨迹为两条射线 到定点f1 3 0 f2 3 0 距离之差的绝对值等于7的点p的轨迹为双曲线 若点p到定点f1 4 0 f2 4 0 的距离的差的绝对值等于点m 1 2 到点n 3 1 的距离 则点p的轨迹为双曲线 答案 解析 6 故点p的轨迹不存在 点m 1 2 到点n 3 1 的距离为 5 8 故点p的轨迹是以f1 4 0 f2 4 0 为焦点的双曲线 类型二待定系数法求双曲线的标准方程 例3 1 已知双曲线的焦点在y轴上 并且双曲线过点 3 4 和 求双曲线的标准方程 解答 解答 待定系数法求方程的步骤 1 定型 即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴 2 设方程 根据焦点位置设出相应的标准方程的形式 若不知道焦点的位置 则进行讨论 或设双曲线的方程为ax2 by2 1 ab 0 3 计算 利用题中条件列出方程组 求出相关值 4 结论 写出双曲线的标准方程 反思与感悟 跟踪训练3根据条件求双曲线的标准方程 1 c 经过点a 5 2 焦点在x轴上 解答 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解答 解答 依题意 则所求双曲线焦点在x轴上 可以设双曲线的标准方程为 类型三双曲线定义的综合运用 证明 如图所示 设 pf1 r1 pf2 r2 f1f2 2c 则在 pf1f2中 对于双曲线有 r2 r1 2m 则在 pf1f2中 对于椭圆有r1 r2 2a 反思与感悟 1 结合双曲线的定义 解决综合问题 诸如 实际应用题 焦点三角形问题等 要充分利用双曲线的定义 正弦定理 余弦定理等 利用化归思想 重点考查综合运用能力与求解能力 2 双曲线与椭圆的比较如下表 利用双曲线与椭圆的关系 可类比椭圆得到双曲线的有关结论 或用类似方法解决双曲线的有关问题 以及双曲线与椭圆的综合问题 跟踪训练4 1 已知双曲线与椭圆有共同的焦点 且过点 4 求双曲线的方程 证明 2 已知椭圆c a b 0 具有性质 若m n是椭圆c上关于原点对称的两点 点p是椭圆c上任意一点 设直线pm pn的斜率都存在 并记为kpm kpn 那么kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值 试对双曲线c 写出具有类似特殊的性质 并加以证明 解答 类似的性质如下 若m n为双曲线上关于原点对称的两点 点p是双曲线上任意一点 设直线pm pn的斜率都存在 并记为kpm kpn 那么kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值 其证明过程如下 设p x y m m n 则n m n 故kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值 当堂训练 由双曲线的定义得 pf1 pf2 2a 6 即 3 pf2 6 解得 pf2 9 负值舍去 故选b 1 若双曲线e 的左 右焦点分别为f1 f2 点p在双曲线e上 且 pf1 3 则 pf2 等于a 11b 9c 5d 3 答案 解析 1 2 3 4 5 2 设f1 f2分别是双曲线x2 1的左 右焦点 p是双曲线上的一点 且3 pf1 4 pf2 则 pf1f2的面积等于 答案 解析 1 2 3 4 5 又由 f1f2 10可得 pf1f2是直角三角形 1 2 3 4 5 3 已知圆c x2 y2 6x 4y 8 0 以圆c与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点 则所得双曲线的标准方程为 答案 解析 1 2 3 4 5 令x 0 得y2 4y 8 0 方程无解 即该圆与y轴无交点 令y 0 得x2 6x 8 0 解得x 2或x 4 则符合条件的双曲线中a 2 c 4 b2 c2 a2 16 4 12 且焦点在x轴上 1 2 3 4 5 4 已知双曲线2x2 y2 k k 0 的焦距为6 则k的值为 答案 解析 6或6 由题意知 k 0 解得k 6 综上 k 6或k 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 已知双曲线上一点m的横坐标为5 则点m到左焦点的距离是 答案 解析 1 2 3 4 5 即为点m到右焦点的距离 由双曲线的定义知点m到左焦点的距离为 规律与方法 1 双曲线定义的理解 1 定义中距离的差要加绝对值 否则只为双曲线的一支 设f1 f2表示双曲线的左 右焦点 若 mf1 mf2 2a 则点m在右支上 若 mf2 mf1 2a 则点m在