比较函数值的大小

盘点“比较函数值大小的方法”杨光冬 湖北省孝感市肖港初级中学 邮编432023初中数学第二十八章锐角三角函数学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中， 我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.一、同一函数中比较函数值的大小解法1：运用增减性比大小例1：点A（-3，y1）、B（-5，y2）均在双曲线上，试比较y1和y2的大小. 解析：因为反比例函数的图象是双曲线，在每个象限内，y随x的减小而增大 且点A（-3，y1）、B（-5，y2）在第三象限的同一支曲线上，所以.例2：点A（-3，y1）、B（-5，y2）均在抛物线上，试比较y1和y2的大小.解析：因为抛物线的对称轴是直线，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y随x的减小而增大，因此.解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小例3：点A（-3，y1）、B（1，y2）均在双曲线上，试比较y1和y2的大小.xyO1-2A(-2，y1)5x=13.5B(3.5，y2)C(5，y3)432.5图（1）解析：因为反比例函数的图象是双曲线，在每个象限内，y随x的减小而减小， 但是点A（-3，y1）、B（1，y2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较和的大小. 又因为A（-3，y1）、B（1，y2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以，因此.解法3：运用距离比较二次函数值的大小例4：点A(-2，y1)、B(3.5，y2)、C(5，y3)均在抛物线y=x2-2x-3上，试比较y1、y2和y3的大小. 解析：因为点A(-2，y1)、B(3.5，y2)、C(5，y3)不在对称轴（直线）同侧的抛物线上，所以不能直接用增减性比较y1和y2、y3的大小，此时我们可以用抛物线的对称性将A(-2，y1)先转化到对称轴右侧的抛物线上，使A、B、C三点在对称轴的同侧，ABCA/图（2）再用抛物线的增减性比较y1、y2和y3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：、. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C(5，y3)最高，点B(3.5，y2)最低，所以可得y3y1y2.解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小例5：当时，试比较和的大小解析：如图(2)，RtABC中，C=90O，当B逐渐增大时，其邻边BC不变，斜边逐渐增大BA/BA，所以. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值逐渐减小，所以当时，lABCA/C/图（3）我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.二、比较不同函数值的大小（一）预备知识：1、比较不同函数值大小的前提条件：当自变量x相等时，才能比较不同函数值的大小.xyOxy1y2xy1y2A（3，5）图（4）例6：如图（4），直线与直线相交于A（3，5），试比较与的大小.解析：如图，经过A点作直线lx轴当x=3时，=当x3时，由图象可看出当x3时，由图象可看出3和 x、？解析：分别经过A、B两点作x轴的垂线. 以这两条垂线和y轴为分界线，将自变量x的取值范围分为六个区域，每个区域x的取值范围如图（5）所示：在第、区域内，两函数值分别相等；yxOA(-2,m),B(3,n),x-2-2x00x3x=-2x=33-2图（5）因为在、区域内，直线在曲线的上面，所以因为在、区域内，直线在曲线的下面,所以因此，当x=-2或x=3时，=当x-2或0x当-2x3时，由以上分析过程，我们可得到三线六域中的三个结论：结论一：在六个区域中，当x的值分别等于两交点横坐标时，两函数值相等；结论二：在、区中，、区结果相同，、区结果相同，结论三：、区的结果与、区的结果相反.有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.（三）三线六域的类比应用xyOB(-1,n)A(3,m)x-1-1x33-1x=-1x=3图（6）当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.例8：如图，抛物线和直线相交于A(3,m)，B(-1,n)，当x分别取何值时，y1= y2、y1 y2？解析：分别经过A、B两点作x轴的垂线.因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以两条垂线作为分