高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算课件 苏教版选修22.ppt

3 2复数的四则运算 第3章数系的扩充与复数的引入 1 掌握两个复数相加减的法则 会正确地进行复数的加减运算 2 掌握共轭复数的概念及其简单的性质 3 掌握两个复数相乘除的法则 能熟练地进行复数的四则运算及复数乘方的运算 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一复数代数形式的加减运算1 复数的加减法法则设z1 a bi z2 c di 则z1 z2 a bi c di a c b d i 即两个复数相加 减 只需要把它们的实部与实部 虚部与虚部分别相加 减 2 复数的加法的运算律依复数加法法则 容易验证 复数的加法满足交换律与结合律 即对于任意的复数z1 z2 z3 c 有 1 z1 z2 z2 z1 2 z1 z2 z3 z1 z2 z3 思考 1 两个复数的和是个什么数 它的值唯一确定吗 答案是复数 唯一确定 2 若复数z1 z2满足z1 z2 0 能否认为z1 z2 答案不能 例如可取z1 3 2i z2 2i 答案 知识点二复数的乘法1 复数的乘法法则 a bi c di ac adi bci bdi2 ac bd ad bc i 2 复数乘法的运算律对任意的z1 z2 z3 c 有 1 z1z2 z2z1 2 z1z2 z3 z1 z2z3 3 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 3 复数的乘方设z1 z2 c m n n 则 1 zmzn zm n 2 zm n zmn 3 z1z2 n 其中 应注意特别的重要结论 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i in in 1 in 2 in 3 0 思考写出下列各题的计算结果 1 a b 2 2 3a 2b 3a 2b 3 3a 2b a 3b 答案 a2 2ab b2 9a2 4b2 3a2 11ab 6b2 思考判断 1 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件 2 若z1 z2 c 且 0 则z1 z2 0 3 两个共轭虚数的差为纯虚数 4 在复平面内 两个共轭复数的对应点关于实轴对称 答案 知识点四复数的除法利用共轭复数的乘积为实数这一性质 对分母实数化 即得复数除法法则 其中c di 0 这一公式不必背记 只需理解其分母实数化的思想方法就可以了 思考写出下列各题的计算结果 i i i 答案 返回 题型探究重点突破 解析答案 题型一复数加减法的运算例1计算 1 3 4i 4 3i 解原式 3 4 4 3 i 1 i 2 5 6i 1 2i 3 4i 解原式 5 6i 1 2i 3 4i 5 1 3 6 2 4 i 1 0 i 1 反思与感悟 反思与感悟 当多个复数进行加减时 既可以直接按加减法的法则进行运算 也可以先化减为加 然后分别求其实部 虚部的代数和 解析答案 跟踪训练1计算 1 2i 2 3i 3 4i 4 5i 2011 2012i 2012 2013i 解方法一原式 1 2 3 4 2011 2012 2 3 4 5 2012 2013 i 1006 1006i 方法二 1 2i 2 3i 1 i 3 4i 4 5i 1 i 2011 2012i 2012 2013i 1 i 将上列1006个式子累加可得原式 1006 1 i 1006 1006i 解析答案 题型二复数乘除法的运算例2计算 1 2 i 2 i 解 2 i 2 i 4 i2 4 1 5 2 1 2i 2 解 1 2i 2 1 4i 2i 2 1 4i 4i2 3 4i 反思与感悟 1 复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行 注意选用恰当的乘法公式进行简便运算 例如平方差公式 完全平方公式等 2 像3 4i和3 4i这样的两个复数叫做互为共轭复数 其形态特征为a bi和a bi 其数值特征为 a bi a bi a2 b2 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2计算 1 1 2i 3 4i 2 i 解 1 2i 3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i 2 3 4i 3 4i 解 3 4i 3 4i 32 4i 2 9 16 25 3 1 i 2 解 1 i 2 1 2i i2 2i 解析答案 例3计算 1 1 2i 3 4i 反思与感悟 反思与感悟 复数的除法先写成分式的形式 再把分母实数化 方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数 若分母是纯虚数 则只需同时乘以i 解析答案 解析答案 题型三共轭复数及应用 所以2 a bi a bi 6 i 即3a bi 6 i 故f z 2 2 i 2 i 3i 6 4i 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 即 z 1 z 1 3i 0 z 1或z 1 3i 复数的运算在复数开平方运算和分解因式中有广泛应用 下面通过具体的实例加以说明 1 求复数的平方根复数z a bi开平方 只要令其平方根为x yi 利用平方根的定义 以及复数相等的充要条件 即可求出未知量 从而得到复数z的平方根 知识拓展 复数运算的应用 解析答案 例5求8 6i的平方根 解设8 6i的平方根为x yi x y r 则 x yi 2 8 6i 即 x2 y2 2xyi 8 6i 则8 6i的平方根为3 i或 3 i 2 分解因式由于a2 b2 a bi a bi 则很多在实数集内不能分解的因式在复数集内可分解因式 例6分解因式 1 x2 2xy y2 z2 解x2 2xy y2 z2 x y 2 z2 x y zi x y zi 2 x4 81 解x4 81 x2 9 x2 9 x 3i x 3i x 3 x 3 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 若复数z满足z i 3 3 i 则z 解析据题意 得z 3 i i 3 6 2i 6 2i 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知复数z1 a2 2 a 4 i z2 a a2 2 i a r 且z1 z2为纯虚数 则a 解析 z1 z2 a2 a 2 a 4 a2 2 i a r 为纯虚数 1 1 2 3