圆周角定理及其推论.doc

通过数学实验认识圆周角定理及其推论柳州市第十四中学 郑容2016年1月内容摘要：教师使用几何画板中的动态功能和度量功能，通过演示，让学生在动态环境中观察和发现圆周角和圆心角的关系，即在某些数量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，在演示中，教师进行了如下操作圆周角的顶点在圆周上运动改变弧的大小改变圆的大小，不仅让学生获得最直接的观察思考，还从更广泛的角度去验证学生的猜想，帮助学生更好地理解圆周角定理及相关推论，针对该班学生基础较薄弱的实际，借助几何画板让孩子更直观的理解图形的生成，不仅方便而且科学严谨，具有充分的说服力。关键词：几何画板，圆周角定理，探索 在初三数学中，不少学生对圆一章的学习感到畏惧，面对抽象变化的图形和定理感到含糊不解，因此课堂上我们老师想到了用几何画板模拟图形的变化，通过数学实验让学生更好地认识圆周角定理及其推论 一、学习目标描述1、了解圆周角的概念，通过画图、观察、度量、归纳等方式探索发现“一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系”及其相关推论2、能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性，以及证明该定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况（圆心在角的边上）3、结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论，化归的思想方法二、学习内容分析1、学生要动手画圆周角，在动手操作中体会圆心与圆周角的三种位置关系2、学生以学习小组为单位，合作交流，先度量角的度数，再猜想，然后教师利用软件在动态环境中验证3、从特殊位置关系入手，再将其他一般情形转化为特殊情形4、在学习中，要让学生充分动手，能够以画图、观察、度量、归纳等方式发现相关的结论5、在学习中，注重领悟数学中分类讨论，化归，由特殊到一般的思想三、学生学情分析学习本节课时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏。部分学生符合语言的运用能力不足，学生有小组合作学习的经验，课堂学习交流意识强四、教学环节环节1：学生阅读课本，并观察图形，教师引导学生结合图形理解圆周角的概念1、顶点在圆上2、角的两边都和圆相交，接着学生思考并回答练习中的问题，巩固对圆周角的理解环节2：1、学生画图，并观察图中BAC和BOC的位置关系，找到它们的关联：都对着弧BC，从而诱发对两角度数关系的思考，对两角进行度量，发现数量关系BAC=BOC2、教师利用几何画板进一步拖拽点A在圆周上运动，和学生共同记下BCA和BOC变化的数据，用实验验证猜想圆周角的顶点在优弧BC上运动改变弧的大小改变圆的大小3、把猜想用文字叙述为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半环节3：1、学生进一步画图：在圆上任意取弧BC，画出圆心角BOC和圆周角BAC，教师同时提问：圆心与圆周角有几种位置关系？2、学生以小组为单位，交流并思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系，并画出来圆心圆周角的一边上圆心在圆周角的内部圆心在圆周角的外部3、教师提问：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？学生以小组为单位，结合三种位置的图形，认识到先情形是特殊情况，此时如图，A、O、B三点在同一条直线上，利用圆内等腰三角形和外角性质，证明比较简单，讨论后，请学生板书出证明过程4、教师提问：在种情况下，又如何证明猜想是正确的？学生思考交流，尝试解决问题，教师可根据学生的情况提示：将情形转化为，并共同完成证明如下由情形的证明可得：BAD=BOD，CAD=CODBAC=BAD+CAD=BOD+COD= (BOD+COD)= BOC学生再独立完成的证明，从而猜想是真命题，得到圆周角定理5、教师引导学生总结证明过程在动点问题中运用分类讨论研究数学问题可从特殊到一般，再将一般化为特殊情况，这种数学思想叫做化归类比我们前面所学知识，进一步认识图形中的数量关系例如，点C在线段AB上和线段AB的延长线上时，线段AB、AC、BC的数量关系 射线OC在AOB的内部和外部时，AOB、AOC、BOC的数量关系环节41、教师先提问“一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？”学生根据教师提问画出图形：弧BC所对的几个圆周角，并实际测量观察结果得出结论2、教师利用几何画板进一步演示，改变点A的位置，让其在优弧BC上运动，利用软件的度量功能学生可观察到BAC的度数没有变化，即根据圆周角定理它们都等于圆心角BOC的一半3、教师提问：在圆周角定理中，如果这条弧是一个半圆，或所对的弦是一条直径，那么所对的圆周角会有什么特殊性吗？学生根据半圆的角度为180，可容易得出圆周角为90的结论4、教师提问：在上述的演示中，图中点A在圆上任意运动，观察拖拽点A的过程中，圆周角BAC的度数是怎样变化的？你观察得出的结论与在上面得出的“同弧所对的圆周角相等”有不一样的地方吗？学生从演示中可发现BAC的度数出现了两种情况，并进一步发现当点A在优弧BC上时为锐角，当点A在劣弧BC上时为钝角，且两个度数相加为180学生交流讨论得出“同弦所对的圆周角相等或互补”并利用圆周角定理叙述证明5、认识“圆内接四边形”的定义，得出“圆内接四边形的对角互补环节5例题：如图，O的直径AB的长为10cm，弦AC长6cm,ACB的平分线交O于点D，求BC，AD，BD的长师生共同分析已知条件、求证和解题思路，学生独立完成证明过程，并进行课堂交流设计的圆周角定理作课件截图如下：五、信息技术运用1、在环节1中，学生在O中，观察圆周角C，运用几何画板的度量功能量出A的度数，用动画功能使点C在圆周上自由的运动，同时观察C的度数可能有什么变化，学生可以很快发现A的度数在一定条件下只有有两个可能，如41和139，且它们相加正好等于180,教师再引导学生以小组为单位讨论归纳：是什么条件，可反复观察图形的生成，用相关的语言尽可能的描述，最后总结出：同弧所对的圆周角相等；同弦所对的圆周角相等或互补；圆内接四边形的两个对角的和为180。使用数学软件模拟事物的变化，引起学生的兴趣与积极性，并大大降低了原本数学问题探究上的难度，更重要的是，让学生在事前获得相关知识的情感体验，先学后教，进一步发展学生的归纳思维和推理思维，符合本班学生的认知实际2、环节2中，在1的基础上连OB和OC，观察圆心角BOC和A，观察两角的度数变化通过点A运动改变A的位置，但所对的弧不变；点A的位置始终不变，改变弧BC的大小，观察两角之间的大小关系，最后从中获取若干组数据进行对比归纳，学生从中学习科学研究事物变化的方法，猜想归纳，数学能力得到发展，更轻松的理解圆周角定理。由上可以感受到老师对教材不再是照搬，而是根据学生知识的生成进行了改造与整合，打破了先有定理再有推论的一贯教学。在本课中，教师使用数学软件几何画板中的动态功能和度量功能，通过演示，让学生在动态环境中观察和发现圆周角和圆心角的关系，即在某些数量变化的过程中让学生观察不变的数量关