【创新设计】高考数学一轮复习 第八章 第7讲 立体几何中的向量方法(Ⅱ)求空间角配套限时规范训练 理 苏教版.doc

第7讲 立体几何中的向量方法()求空间角分层训练a级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1. 如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1上的动点，则直线no、am的位置关系是_解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则a(2,0,0)，m(0,0,1)，o(1,1,0)，n(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，则直线no、am的位置关系是异面垂直答案异面垂直2在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为棱aa1和bb1的中点，则sin，的值为_解析设正方体的棱长为2，以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，所以sin，.答案3在长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为_解析建立坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.答案4(2011全国卷改编)已知直二面角l，点a，acl，c为垂足，点b，bdl，d为垂足，若ab2，acbd1，则cd_.解析如图，建立直角坐标系dxyz，由已知条件b(0,0,1)，a(1，t,0)(t0)，由ab2解得t.答案5在正方体abcda1b1c1d1中，e是棱bb1中点，g是dd1中点，f是bc上一点且fbbc，则gb与ef所成的角为_解析如图建立直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件g，b，e，f，cos，0，则.答案906正四棱锥s abcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac的夹角的大小为_解析如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac的夹角为906030.答案30二、解答题(每小题15分，共30分)7. (2012盐城中学期中调研)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，bac30，bc1，aa1，m是棱cc1的中点(1)求证：a1bam；(2)求直线am与平面aa1b1b所成角的正弦值解(1)c1c平面abc，bcac，分别以ca，cb，cc1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则b(0,1,0)，a1(，0，)，a(，0,0)，m.(，1，)，3030，.即a1bam.(2)由(1)，知(，1,0)，(0,0，)，设平面aa1b1b的法向量为n(x，y，z)，则不妨取n(，3,0)设直线am与平面aa1b1b所成角为.sin |cos，n|.8. (2011湖北卷)如图，已知正三棱柱abc va1b1c1的底面边长为2，侧棱长为3，点e在侧棱aa1上，点f在侧棱bb1上，且ae2，bf.(1)求证：cfc1e；(2)求二面角ecfc1的大小解建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则由已知可得a(0,0,0)，b(，1,0)，c(0,2,0)，c1(0,2，3)，e(0,0，2)，f(，1，)(1)证明(0，2，)，(，1，)0220，所以cfc1e.(2)解(0，2,2)，设平面cef的一个法向量为m(x，y，z)，由m，m，得即解得可取m(0，1)，设侧面bc1的一个法向量为n，由n，n，及(，1,0)，(0,0,3)，可取n(1，0)设二面角ecfc1的大小为，于是由为锐角可得cos ，所以45.即所求二面角ecfc1的大小为45.分层训练b级创新能力提升1. 如图，在四棱锥pabcd中，侧面pad为正三角形，底面abcd为正方形，侧面pad底面abcd，m为底面abcd内的一个动点，且满足mpmc，则点m在正方形abcd内的轨迹为_解析以d为原点，da、dc所在直线分别为x、y轴建系如图：设m(x，y,0)，设正方形边长为a，则p，c(0，a,0)，则mc，mp .由mpmc得x2y，所以点m在正方形abcd内的轨迹为直线yx的一部分答案2已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点p在线段bd1上，当apc最大时，三棱锥pabc的体积为_解析以b为坐标原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)设，可得：p(，)再由cos apc可求得当时，apc最大故vpabc11.答案3已知p是二面角ab棱上的一点，分别在、平面上引射线pm、pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为_解析不妨设pma，pnb，如图，作meab于e，nfab于f，epmfpn45，pea，pfb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角ab的大小为90.答案904(2011全国卷改编)已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系dxyz，设da1由已知条件a(1,0,0)，e，f，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，面aef与面abc所成的二面角为由令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面abc的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案5. 如图所示，已知点p在正方体abcdabcd的对角线bd上，pda60.(1)求dp与cc所成角的大小；(2)求dp与平面aadd所成角的大小解如图所示，以d为原点，da为单位长度建立空间直角坐标系dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接bd，bd.在平面bbdd中，延长dp交bd于h.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，即|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即dp与cc所成的角为45.(2)平面aadd的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60，可得dp与平面aadd所成的角为30.6如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc90，pa平面abcd，pa3，ad2，ab2，bc6.(1)求证：bd平面pac；(2)求二面角pbda的大小(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2，6,0)，d(0,2,0)，p(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6