动力学前八章主要内容(总复习).doc

动力学前八章主要内容第一章 绪论本章掌握动力气象学的定义、研究对象、研究内容。重点是强调地球的自转和密度的变化，作为流体力学的分支，动力气象是大气科学的基础理论课程。动力气象学以流体力学和热力学的基本原则原理为基础，运用数学分析方法研究地球大气中各种运动及其演变规律的科学，涉及流体力学、热力学、数学、大气物理学等多门学科领域，是大气科学与物理学相互交叉的学科。动力气象学（性质）是由流体力学中分离出来（分支），是大气科学中一个独立的分支学科。动力气象学定义：是应用物理学定律研究大气运动的动力过程、热力过程，以及它们之间的相互关系，从理论上探讨大气环流、天气系统演变和其它大气运动过程学科。动力气象学研究对象：发生在旋转地球上并且密度随高度递减的空气流体运动的特殊规律。动力气象学研究内容：根据地球大气的特点研究地球大气中各种运动的基本原理以及主要热力学和动力学过程。主要研究内容有大气运动的基本方程、风场、气压坐标、环流与涡度、风与气压场的关系、大气中的波动、大气边界层、大气不稳定等等。一、 基本假设：大气视为“连续流体”，表征大气运动状态和热力状态的各种物理量 (U, V, P, T, et al.) 看成是随时间和空间变化的连续函数；大气宏观运动时，可视为“理想气体”，气压、密度和温度之间满足理想其他的状态方程，大气是可“压缩流体”，动力过程和热力过程相互影响和相互制约； 二、地球大气的动力学和热力学特性大气是“旋转流体”：90%的大气质量集中在10km以下的对流层；水平U, V远大于W（满足静力平衡）；W =7.29x10-5rad/s，中纬度大尺度满足地转平衡（科氏力与水平气压梯度力相当）。大气是“层结流体”：大气密度随高度变化，阿基米德净力使不稳定层结大气中积云对流发展；阿基米德净力使稳定层结大气中产生重力内波。大气中含有水份：水份的相变过程使大气得到（失去）热量。大气下垫面的不均匀性：海陆分布和大地形的影响。三、大气运动的多尺度性：尺度是表征一个系统在空间上的大小，或在时间上持续的长短。空间尺度：水平和铅直方向；时间尺度：从几千公里的大尺度到几公里的小尺度。包括：大尺度中尺度小尺度微尺度水平范围（km）4004400.0440.04时间尺度几日几十日几小时几十小时几分钟几小时几十秒十几分钟中纬度长波温带气旋反气旋锋面飑线背风波积雨云龙卷边界层涡动低纬度云团中尺度对流群对流单体边界层涡动第二章 大气运动方程组本章教学内容：2.1 空气质点所受的力及旋转坐标系下的运动方程2.2连续方程2.3 状态方程、热力学能量方程2.4 局地直角坐标系中基本方程组（P坐标系）2.5 基本方程组的定解问题（闭合方程组及其初边值条件）基本要求： 理解描写大气运动的基本物理过程及定律 掌握全导数和局地导数、旋转参照系（旋转坐标系）、科氏力、惯性离心力、压力梯度力、预报和诊断方程的概念。 了解坐标系的选取方法，了解球坐标系中的基本方程组（运动方程、连续方程；状态方程、热力学方程及其讨论）。 掌握局地直角坐标系中的基本方程组。控制大气运动的基本规律有质量守恒、动量守恒、能量守恒等等。支配其运动状态和热力学状态的基本定律有：牛顿第二定律、质量守恒定律、热力学第一定律和状态方程等等。一、全导数和局地导数的概念拉格朗日方法：以某物质体积元（微团）为对象，研究它的空间位置及其物理属性随时间变化规律，并且推广到整个流体的运动；欧拉方法：则以流体空间某一固定体积元（空间点）为对象，研究不同流体经过该固定点时的运动及其物理属性变化的规律，从而掌握流场中各物理量的空间分布及其变化规律。以温度T为例： dT/dt 为空气个别微团的温度在运动中随时间的变化率，也就是场函数的全导数（个别变化率）T/tlim T(x, y, z, t+dt )-T(x, y, z, t)/ dt 其中dt 0 T/t 为空气大气运动空间中固定点上的温度随时间的变化率，也就是场函数的局地导数（局地变化率）。为温度的平流变化（率），也就是温度平流；-w T/z为温度的对流变化（率）。二、旋转参考系下的运动方程惯性坐标系：若物体不受外力作用，则物体相对于这类参考系作匀速率直线运动(无加速度)。这类参考系叫做惯性参考系。非惯性系参考系：相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学问题。实际观测到的大气运动都是对地面的相对运动,因此在气象学上，以利用固定在地球上的坐标系表示大气运动最为方便。牵连位移，以der表示；绝对位移，以dar表示；相对位移，以dr表示。绝对位移是相对位移和牵连位移的矢量之和，即：dardrder (1)公式两端除以dt，并使dt0（dt），则有：dar/dtdr/dtder/dt (2)即：VaVVe (3)表明绝对速度Va等于相对速度V与牵连速度Ve的矢量之和。Ve是由旋转引起的牵连速度，实际上就是地面上P点由于地球旋转产生的线速度，即：其中是地转角速度，r为地球半径，R是纬圈面上的半径矢。把(4)带入(2)，则有其中，da/dt表示绝对坐标系中的个别变化，d/dt为相对坐标系中的个别变化，(6)式表示绝对坐标系中的个别变化与相对坐标系中的个别变化之间的关系，而且上式的算符对于任意矢量都是成立的。把(5)中的r换成Va后，得到把(3)和(4)带入（7）后，有：“视示力”为虚拟力，是地球旋转效应的反映，不是由物体之间相互作用产生的力。此式表示绝对坐标系中的加速度与相对坐标系中的加速度的关系，其中为柯氏加速度；为向心加速度。为地转偏向力（科氏力）；为惯性离心力。其中，注意，将地转偏向力（科氏力）在展开：如果f2Wsinj及f12Wcosj 定义为地转参数和科氏力参数，则科氏力为：在中纬度地区ff1=10-4s-1二、大气的水平运动：（一）影响大气水平运动的四种力气压梯度力（原动力）；地转偏向力（科氏力，改变方向）；惯性离心力（改变方向）；摩擦力（减速、改变方向）。1、气压梯度力：是空气介质对空气微团的作用力。当气压梯度存在时，作用于单位质量空气上的力，称为气压梯度力。气压梯度力可分为垂直气压梯度力和水平气压梯度力两种。水平气压梯度力使空气从高压区流向低压区，是大气水平运动的原动力，其表达式为：G 水平气压梯度力； 空气密度；p 两条等压线之间的气压差；n 两条等压线之间的垂直距离；p/n 为水平气压梯度；“”负号表示方向由高压指向低压。2、地转偏向力：指由于地球的自转而使地表上运动的物体发生方向偏转的力。它包括水平和垂直两个分力。地转偏向力是使运动空气发生偏转的力，它总是与空气运动方向垂直。在北半球，它使风向右偏；它的大小与风速和纬度成正比，在赤道为零，随纬度而增大，在两极达最大。地转偏向力只改变风的方向，而不能改变风的速度。水平地转偏向力是为解释在转动地球上产生偏向而假想的力，只有物体相对于地面有运动时才产生，物体静止时，无偏向力。水平地转偏向力的方向与空气运动方向始终是垂直的，只改变空气运动的方向，不改变运动的速度。判断水平地转偏向力的方法：在北半球背风而立，空气将偏向初始运动的右方，南半球则偏向初始运动的左方。V相同时，A（A=2Vsin）3、惯性离心力：离心力是指空气作曲线运动时，受到一个离开曲率中心而沿曲率半径向外的作用力。这是空气为了保持惯性方向运动而产生的，所以称为惯性离心力。它的方向与空气运动方向垂直。在一般情况下，空气运动路径的曲率半径很大，惯性离心力远小于地转偏向力；但在空气运动速度很大而曲率半径很小时，如龙卷风、台风，离心力很大，甚至超过地转偏向力。定义：在作曲线运动的物体，时刻受到一个离开曲率半径向外的作用力。这个力是物体为保持作曲线运动而产生的，即惯性离心力。方向：与物体运动的方向相垂直，并指向曲率半径的外侧。惯性离心力的大小：C=v2/r=2rr：空气运动的曲率半径；V：空气运动的线速度；：空气运动时的角速度特点：惯性离心力也是假想的力，只改变空气的运动方向，不改变速度的大小。C值很小，只有在气旋中才很大。4、重力：地心引力（ga）和惯性离心力（W2R）的矢量和。重力处处与地球表面相互垂直，引入重力位势高度F，则5、摩擦力：摩擦力指地面与空气之间，不同运动状况的空气层之间相互作用而产生的阻力。气层之间的阻力，称为内摩擦力；地面对空气的阻力，称为外摩擦力。摩擦力以近地面层最显著，随高度增加而迅速减弱，一般到12km以上就可以忽略不计了，此高度以上气层称为自由大气。摩擦力方向与风向相反，使风速减小，导致地转偏向力也相应减弱。陆地表面摩擦力总是大于海洋表面。旋转参考系中的大气相对运动方程的矢量形式其中：连续方程：是由质量守恒定律推导出来：为速度的散度，表示物质体积元在运动中的相对膨胀率。上式表明：物质体积元在运动中的体积增大（减小）即：时，因质量守恒其密度要减小（增大）。表示单位空间体积元中流体质量的净流出率。上式表明：对于固定体积元而言，当有质量流出（入）时，即：时，固定体积元的密度要减小（增大）。状态方程：表征大气热力状态的参数有气压(P)、温度(T)、密度(r)或者体积(V)。状态方程给出三者之间的关系。干空气的状态方程可表示为：p=rRT其中，R为干空气的比气体参数，R=2.87JK-1kg-1。热力学方程：热力学第一定律：系统内能的改变，等于进入系统的热量与系统对外界作功之差。常用的热力学能量方程为CpCv+R，Cp为干空气定压比热，Cp=1000JK-1kg-1，Cv为干空气定容比热，Cv= 717JK-1kg-1，a=1/r位温（q）的定义：大气绝热运动到气压为1000hPa高度上温度，称为位温。位温表示热力学方程在绝热条件下，位温守恒：热力学方程简化及讨论对位温公式取对数微商利用状态方程和静力平衡方程后，得到：gd称为干绝热垂直递减率，g为气温随高度的递减率。b平面近似：f是纬度j 的函数，设局地直角坐标系的原点在纬度j0，数将f展开为j -j0的泰勒级数，即（见下图）：f=2Wsinj =2Wsinj0+(j-j0)cosj0-1/2(j-j0)2 sinj0+j-j0y/a.f=2Wsinj0+2W cosj0(y/a)-(1/2)2W (y/a)2+f2Wsinj0+ 2W cosj0(y/a)(y/a)RT为空气轨迹的曲率半径，规定当轨迹呈气旋式反时针运动时为RT0，当轨迹呈反气旋式顺时针运动时为RT 0，高（低）压在地转风右（左）侧。当空气密度和地理纬度一定时，地转风的风速与气压梯度成正比。即地转风的风速随等压线的疏密程度而变，当等压线愈密时，地转风的风速愈大，等压线愈稀疏，地转风的风速愈小。当空气的密度与气压梯度一定时，地转风的风速与地理纬度的正弦成反比，即低纬度地转风大于高纬度。但由于低纬度气压梯度力很小，地转风也很小。当气压梯度和地理纬度不变时，地转风的风速与空气密度成反比。白贝罗定律：在北半球，风顺着等压线吹，背风而立，低压在左手边，高压在右手边；南半球相反。地转运动必须满足的条件： 气流方向无外力； 地转运动是水平、定常； 水平气压梯度力和科氏力严格相平衡，因此实际大气风场不大可能是地转风场。中纬度自由大气中水平气压梯度力和科氏力近似平衡，运动是准水平、准定常的。其分量形式为：二、惯性运动（Vi）惯性运动（流）：气压水平分布均匀（水平气压梯度力为零）科氏力与惯性离心力相平衡的流场为惯性流，其动力学关系式为：所以有：和 Vi=0为静止，无意义； 在北半球f0，需要RT0时，需要，即中心为低压，反之RT 0时，则中心为高压。旋衡运动可以是气旋式的，也可以是反气旋式的（见下图）。旋平衡运动中力的平衡图中Ca表示惯性离心力，P表示水平气压梯度力惯性离心力都是指向外面的。惯性离心力（v2/RT）与科氏力（fv）的比值相当于罗斯贝数。R0为罗斯贝参数，当比值很大时，旋衡是近似正确的。低纬度地区f值小，低纬度地区多中尺度涡漩！四、梯度风（VG）讨论北半球梯度风的性质：由梯度风的公式，得出梯度风公式：梯度风方程解的分类（北半球）5.3 地转风随高度变化热成风（正压大气和斜压大气）热成风：在静力平衡条件下，水平气压场结构随高度因温度分布不均而变地转风关系也随之变化。正压大气：大气密度的空间分布仅依赖于气压(p)的大气，即：r=r(p)，正压大气中地转风不随高度变化，没有热成风。斜压大气：大气密度的空间分布依赖于气压(p)和温度(T)的大气，即：r=r(p, T)。实际大气都是斜压大气，和正压大气不同，斜压大气中等压面、等比容面（或等密度面）和等温面是彼此相交的。P坐标系下的地转风表达式为：上式为热成风方程！是一个非常有用的诊断方程！热成风定义为在铅直方向上两等压面上地转风的矢量差：如果令为两等压面之间的平均温度，则有： 可见，热成风方向与等平均温度线（等厚度线）平行，在北半球，暖（冷）区在热成风方向的右（左）侧。热成风大小与平均温度梯度成正比，与纬度的正弦为反比。地转风与平均等温场之间的关系：地转风向随高度逆（顺）时针转动，与此相伴随的是冷（暖）平流。大气的斜压性是地转风垂直切变的充分必要条件。5.4 地转偏差地转偏差：实际风与地转风的矢量差：不计摩擦的水平运动方程为可见，地转偏差与水平加速度方向相垂直，在北半球指向水平加速度的左侧。其大小与水平加速度成正比，与纬度的正弦为反比。地转偏差物理意义：地转偏差由水平加速度造成，即由水平气压梯度力与科氏力的不平衡引起。在多数情况下与实际大气十分接近大气运动处于准动态平衡中。第六章 环流定理与涡度方程1、主要内容：1. 环流与环流定理2. 涡度与铅直涡度方程3. 位势涡度方程4. 散度与散度方程2、基本要求：正确理解环流的定义以及Kelvin环流定理；掌握涡度、散度的概念及其表达式；掌握正压大气中绝对环流守恒定理之证明；涡度方程各项的含义3、本章难点；矢量分析；斯托克斯（Stokes）定理一、绝对环流定理（速度）环流：在流体中任取一闭合曲线（回路）L，曲线上每一点的速度大小和方向是不一样的，如果对各点的流体速度在曲线L方向上的分量作线积分，则此积分定义为速度环流，简称为环流C（见下图），即：其中，V3为速度，ds是曲线L方向上一致的弧元，a为V3与ds之间的夹角。Vcosa是风速沿该线元的分量。（1）式就是速度环流的表达式，它表示流体沿着闭合曲线L的流动趋势，也表示转动的倾向。若取直角坐标系，以r表示曲线上点的矢径，则ds=|dr|，于是有：为简便起见，考虑水平方向的速度引起的环流，水平速度V的分量分别为u和v，则上式为：积分路径（即曲线L）的方向确定？习惯上规定，如果沿曲线走，曲线所包围的面积始终在其左侧，则该方向确定为曲线（回路）的正方向，反之，则为负方向。在水平面上，如果曲线所包围的是单通区域，那么逆时针方向就是曲线的正方向，这时的环流大于零，称为气旋式环流；顺时针方向为曲线的负方向，环流小于零，称为反气旋式环流。绝对环流：实际问题上，不仅需要确定环流，更需要知道环流随时间的变化，及环流变化的动力学原因。考察闭合曲线L的环流C随时间的变化，环流C对时间求导，得到：由于时间和空间运算可以互相交换，因此有：上式右边第一项是由于加速度引起的环流变化，右边第二项是由于闭合曲线L的变化所引起的环流变化。|dr|=ds，ds是曲线的弧元，它是随流体运动而变化的；其次dr的算符是空间微分，与个别微商d/dt是两个独立运算，故可以交换次序，所以有： 因此右边第二项变为：所以环流随时间的变化可以表示为：这就是绝对环流定理，它表明：沿任意闭合回线的速度环流随时间的变化率，等于沿同一回线的加速度环流。简单地说，环流的加速度等于加速度的环流。如果从惯性坐标系下观测大气运动，对绝对速度作闭合回线L的积分，得到绝对环流Ca。表示为：相应地，绝对环流Ca随时间的变化率可以表示为：不计摩擦力作用的绝对运动方程为： 是地球引力位势。于是对上式作闭合回线L的积分，得到：在笛卡儿直角坐标系中，任意变量f(x, y, z)的全导数可记为：所以有：带入绝对环流随时间的变化率后有：上式为绝对环流定理，表明绝对环流的变化与地球引力无关，仅与气压梯度力的切向分量沿闭合曲线的积分来确定。上式中右端称为力管项，取（p, a）平面坐标系（下图），力管项的数值大小由p-a平面上积分路径L所包围的面积决定。因此如果在该平面上画出许多等压线和等比容线，并令每相邻的等值线都相差一个单位，那么由L内的方格数就是力管项的大小。积分，当L为逆时针方向时为正，力管为正，反之，力管为负。力管项的物理意义为：积分就是气压梯度力沿闭合回路的积分，沿着气压梯度与路径相同，则环流加强，反之减弱。力管项的存在的必要条件就是大气的斜压性。通常实际大气中，等比容面和等气面相交。举例：海路风相对环流：对于气象问题，需要考察相对于地球的运动，故相对运动及其变化是我们所讨论的实际问题。由于绝对速度可分为绝对速度和牵连速度：于是有：C和Ce分别为相对环流和由地球自转产生的牵连环流，计算Ce，需要利用斯托克斯 (Stokes) 定理： s 表示闭合回路L所围面积，为曲面元ds的外法向方向；S为面积s在赤道平面上的投影。L的走向与构成右手系统（如图）。闭合回路L所围面积在赤道平面上的投影利用矢量运算规则有：带入上式因此，C=Ca-CeCa-2SW对上式求个别微商，并利用：就得到皮叶克尼斯环流定理：上式表明造成相对环流随时间变化的原因有2个：1是力管项；2. 是面积（惯性）变化项。在北半球，若闭合回路L所包围的面积在赤道面的投影随时间减小，即dS/dt0，则相对环流减弱。正压大气，相对环流变化完全由面积变化项决定。引起投影面积S变化可能有3种情况：1、闭合回路L所包围的投影面积在球面上有南北移到时候，投影面积S会发生改变，向北部时移动S增大，向南移动时S会减小；2、辐散幅合造成面积s本身扩张和收缩，使投影面积S发生改变；3、速度场不均匀使面积s相对于球面在空间的倾斜发生改变，从而使投影面积S发生变化。二、涡度和涡度方程1）涡度的概念及涡度与环流的关系：环流及其随时间变化的环流定理引进在气象上对气象学理论有十分积极的作用，但在实际气象上是无法直接运用的，需要引进新的概念：涡度。对速度环流C引用斯托克斯定理，把线积分变为面积分后得到：由此可见，沿闭合回线L的速度环流是和速度的旋度（）紧密相互联系的。上式表明：沿闭合回线L的速度环流等于提供该回线所确定的面积上的涡旋通量。或简言之，环流等于速度旋度的面积分单位面积上的环流。通常称速度的旋度为涡度。环流是流体旋转的宏观度量；涡度是流体旋转的微观度量。对上式取面积s趋于0的极限后，所以，涡度在法方向的分量就等于单位面积上的环流，因此认为涡度是对流体转动的微观度量。2）涡度的其他表达式及含义：在水平面上一面积元的环流与涡度的关系（涡度），涡度的其他表示公式？自然坐标系下的涡度表达式：该式表明，涡度由两方面（作用）造成：第一项表示气流的弯曲作用，称为曲率项；第二项表示风速在r方向的分布不均（）的作用，称为切变项。涡度是由曲率项和切变项的综合效应产生。曲率项；如果，则表示气流作弯曲运动时，涡度不等于零。流线的曲率用1/r表示，当气流按逆（顺）时针旋转，r(0，那么，将使涡度在x方向的分量x（绕x轴旋转的分量）转向z轴而发生倾斜（如图），如果原来的涡管为OB，将因为w的分布而转到OB。于是便出现了涡管的铅直分量，原来的涡度的x分量x将减小，而涡度在z方向的分量z将增大，即z/t0。同理，当w随y增大（w/y0），则将使y方向的涡管转向z轴线倾斜，若原来的y方向的涡度h0，则将产生正的铅直涡度分量。假定：3. 力管项（）：，令是水平面上任意面元的法向矢量，也是局地直角坐标系中z方向的单位矢量，因此：由环流定理：可见上式为力管项，利用stokes定理，则：s为闭合回路L包围的面积，所以：可见，涡度方程中的力管项正好就是水平面积上单位面积的力管数。代表了大气的斜压性对绝对涡度的贡献。正压大气中，力管项为零。如果此时，水平风速随高度也不发生变化，在这种情况下，铅直涡度方程变为正压涡度方程，即：，研究相对涡度局地变化时，铅直涡度方程可以写成以下形式：局地涡度的输送项：相对涡度平流：相对涡度的铅直输送：牵连涡度平流：3）位涡方程的简化：大尺度（天气）尺度运动中各基本尺度的量级分别取为：水平尺度：L106m；铅直尺度：DH104m；水平速度尺度：U10ms-1，垂直速度尺度：W10-2ms-1，时间尺度：tL/U105s，重力加速度：g10ms-2，地转参数：f010-4s-1，b参数：由尺度分析可得：散度：水平气压梯度力：p, r, T的尺度分别记为：P, p, T*，由静力平衡方程：， 利用状态方程：所以：RT*gH105m2S-2，H为标高所以密度改变量：同时涡度： 涡度比散度：所以，对大尺度运动系统而言，相对涡度比散度大一个量级。又：，所以相对涡度比牵连涡度小一个量级。所以涡度方程中的散度项近似表示为：因此涡度方程：各项的量级分别为： 保留其中10-10s-2的量级，得到大尺度的近似涡度方程为：注意：近似涡度方程或者写为：大尺度（天气尺度）水平运动中，空气微团的绝对涡度变化，完全由散度作用决定，所以水平无辐散运动的绝对涡度是守恒的。四、（水平）散度方程：局地直角坐标系下（z）无摩擦的大气运动基本方程组为(1)式对x求偏导，(2)式对y求偏导，然后将所得到的结果相加，得到垂直散度（）方程（p坐标系类似）：若令：垂直散度方程为类似p坐标系下的（垂直）散度方程为：散度方程(3c)右端各项分别为：散度的平流项；散度的铅直输送项；水平风速的铅直切变项；散度平方项；变形项；等压面的坡度改变项；最后两项为旋转效应项。散度方程的零级近似为：(4)式是地转平衡关系的方程，为地转风涡度方程。散度方程的一级近似为：(5)式也称为平衡方程，平衡方程是准定常，无辐散(d=0)，准水平(w=0)，忽略非线性变化项，得到线性平衡方程：五、位势涡度涡度方程应用于某一面或者很薄的薄层，如果考虑一个层次大气的平均涡度变化，需要引进位势涡度的概念。在短时间内无水汽相变过程中发生的运动，可视为干绝热运动（），位温q 是守恒的，绝热运动的空气微团在等q面上运动。在两个等q 面之间的取一个与等q 面相垂直的空气柱，q 为常数，密度r仅仅是气压p的函数（），表明在等q 面上的力管项为零，将无摩擦的绝对环流定理用于等q 面上，即：假定空气柱在距离为dp的2个等q面q0和q0+dq之间运动，为等q 面法线方向，（如下图）根据质量守恒原理：又因为dq 为一常数，dq =3|q |dn，q为绝对位势涡度，简称绝对位涡（位涡）。如令，S为熵，则：也为位涡。在无摩擦和干绝热运动中空气微团的位涡是守恒的（埃特尔位势涡度守恒定律）：位涡为标量。位温是描述大气热力状态的物理量，涡度是描述大气运动状态的物理量，位涡则是综合描述大气运动和热力状态的物理量。位涡是守恒定律揭示了大气热力结构对涡度变化的约束作用。位势涡度方程简化：所以：位涡方程简化为： （Cp为常数）其中，与大气稳定度有关。上式表明，在大气中取一个气柱加以跟踪，如果气柱伸长（缩短），稳定度减小（增大），则绝对涡度增加（减小）。气象上常用的方程为：在静力平衡条件下，p坐标系的位涡方程为：。在绝热过程中，在两个等q 面之间的dq 不变，dp为气压差（表示铅直有效厚度），位涡守恒表明：当铅直厚度增大（减小），则绝对涡度增大（减小）。均质不可压流体，密度和体积为常数，即：dsdz=const，则有： 这是位涡守恒的另外一个表达形式。第八章 大气行星边界层大气中热量和水汽的源主要集中在下垫面，下垫面首先影响与之直接接触的大气行星边界层，通过湍流扩散（混合）作用，使热量和水汽向上扩展，进而影响其上的自由大气层。虽然大气动量主要集中在自由大气层，但动量却大多是在行星边界层被消耗掉，因此，大气行星边界层是整个大气的主要热量和水汽的源，是动量的汇。因存在摩擦力，边界层的风往往和等压面相交而向低压方向吹，从而使边界层内低压和高压系统分别伴随水平的幅合和辐散；特别是当边界层是潮湿时，它对低压系统产生的水平幅合极为重要，进而降水与之有密切联系。故行星边界层对自由大气的热力和动力强迫和耗散作用也是大气中天气系统发生、发展、演变和消亡的重要因素。所以，研究大气行星边界层中的大气运动的规律，是大气动力学研究重要的内容之一。主要内容：1 大气边界层及其特征；2 湍流平均运动方程、混合长理论3 近地面风随高度的变化规律；4 埃克曼层中风随高度的变化规律；5 二级环流、埃克曼（Ekman）抽吸和旋转减弱；6 湍流发展判据：Richardson数重点：埃克曼风随高度的变化规律，Ekman抽吸和旋转减弱。1 大气边界层及其特征1 大气的动力分层大气边界层的定义：与地表直接接触，厚度约为11.5km、具有湍流特性的大气层(PBL，Planetary Boundary Layer)。各层常见的、不同的名称：大气边界层：行星边界层，边界层，摩擦层贴地层：表面层近地面层：接地层，地面边界层，常通量层，SL (Surface Layer)埃克曼（Ekman）层：上部边界层，上部摩擦层2 贴地层的主要特点：分子粘性力起主要作用；主要运动形式：分子扩散。3 近地层的主要特点：1) 湍流摩擦力和气压梯度力起主要作用，科氏力可省略。2) 风向几乎不随高度变化，但风速随之增加。3) 物理量通量的垂直输送几乎不随高度改变（常值通量层）。4) 物理量垂直梯度物理量的水平梯度，5) 湍流运动明显，地气相互作用强烈，调整较快，呈准定常。4 Ekman 层的主要特点：1) 湍流摩擦力，气压梯度力和科氏力同等重要。2) 物理量垂直梯度水平梯度。3) 下垫面对自由大气的影响通过该层向上输送。4) 风向、风速随高度的变化呈Ekman 螺线规律。5 自由大气层的主要特点1) 湍流摩擦力可忽略，水平气压梯度力和科氏力起主要作用。2) 受行星边界层顶垂直运动的影响，其下边界条件即为大气边界层的上边界条件。2 湍流平均运动方程、混合长理论1 平均运算规则任意物理量q(x, y, z, t)：数学期望: 运算规则（6条）：2 平均连续方程if ，（瞬时）连续方程为不可压的，即：对上式取时间平均，根据上述平均运算规则，得到平均连续方程：以及湍流脉动所满足的连续方程：3 平均运动方程（大气湍流运动方程）对（瞬时）运动方程以x方向的运动方程为例，利用不可压缩连续方程，对上式取时间平均，根据上述平均运算规则，得到x方向时间平均的运动方程：同理，得到y和z方向时间平均的运动方程：平均的运动方程与瞬时的运动方程的区别有二点： 原来的瞬时速度、气压和科氏力变为了平均量； 平均运动方程右端多了由湍流脉动所引起的项：称之为湍流粘性应力。湍流粘性应力是由于流体运动的状态决定的。4 混合长理论直接测定是相当麻烦的，通过半检验半理论（混合长理论），把它用大尺度的变量来表示（边界层的参数化），湍流动量输送可以用平均运动的参数表示。设有一湍涡所携带的物理量属性为s，它在运动过程中不断与周围的介质进行混合，最后完全失去其原有的特性。作如下的假定：假设其在运行某一距离之后才与四周的介质混合失去其原有的性质，但在此之前，其仍然保持原有特性。这个能够保持原来物理特性不变的长度称之为混合长。如下图（图中A相当于s）。混合长示意图 （Z高度上属性A的脉动）设z处的某一属性为s(z)，平均值为：，脉动值为：但是为s(z)是湍涡从处移来的物理属性，在未超过的距离长度之前，它仍保持原有属性，即：，所以：将为在s(z)作泰勒展开：当很小时，略去高阶项，即有：这样就通过混合长把脉动值与平均值（梯度）联系起来了。对于速度u的脉动值则是表示为：湍流的均匀和各向同性时，脉动速度具有相同量级，即：可令，c为常数。所以有：，取绝对值是为了保证，当时，向上运动（），与同号。所以：定义：为平均混合长，定义为湍流交换系数。定义为湍流系数。因此，简化后的行星边界层湍流平均动量方程为：略去加速度项和水平梯度及密度随高度不变后，则：注意上式已略去平均符号。3 近地面风随高度的变化规律在近地面层忽略科氏力后，水平运动方程的矢量形式为：略去加速度，即为水平气压梯度力和湍流摩擦力二者的平衡运