广东省揭阳市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程课件 新人教A版选修21.ppt

生活中存在着各种形式的抛物线 抛物线的生活实例 投篮运动 抛物线的生活实例 抛球运动 抛物线的生活实例 飞机投弹 抛物线的生活实例 探照灯的灯面 抛物线的标准方程 请同学们思考两个问题 1 我们对抛物线已有了哪些认识 2 二次函数的图像抛物线的开口方向是什么 想一想 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 抛物线的定义 在二次函数中研究的抛物线 有开口向上或向下两种情形 求曲线方程的基本步骤是怎样的 想一想 抛物线标准方程的推导 1 建 建立直角坐标系 3 列 根据条件列出等式 4 代 代入坐标与数据 5 化 化简方程 2 设 设点 x y 回顾求曲线方程一般步骤 设焦点到准线的距离为常数p p 0 如何建立坐标系 求出抛物线的标准方程呢 抛物线标准方程的推导 试一试 k k 设 kf p 设动点m的坐标为 x y 由抛物线的定义可知 解 如图 取过焦点f且垂直于准线l的直线为x轴 线段kf的中垂线为y轴 抛物线标准方程的推导 p 0 抛物线标准方程的推导 如图 若以准线所在直线为y轴 则焦点f p 0 准线l x 0 由抛物线的定义 可导出抛物线方程为y2 2p x p 0 比较之下 显然方程y2 2px p 0 更为简单 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 抛物线的标准方程 但是 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 方程y2 2px p 0 表示的抛物线 其焦点位于x轴的正半轴上 其准线交于x轴的负半轴 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程还有哪些形式 想一想 抛物线的标准方程 其它形式的抛物线的焦点与准线又如何呢 怎样把抛物线的位置特征 标准位置 和方程特征 标准方程 统一起来 抛物线的标准方程 想一想 抛物线方程 左右型 标准方程为y2 2px p 0 开口向右 y2 2px x 0 开口向左 y2 2px x 0 标准方程为x2 2py p 0 开口向上 x2 2py y 0 开口向下 x2 2py y 0 抛物线的标准方程 上下型 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图形 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的正半轴上 x轴的负半轴上 y轴的正半轴上 y轴的负半轴上 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py f 第一 一次项的变量如为x 或y 则焦点就在x轴 或y轴 上 抛物线的特征 如何判断抛物线的焦点位置 开口方向 第二 一次项的系数的正负决定了开口方向 即 焦点与一次项变量相同 正负决定开口方向 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的方程是y 6x2 求它的焦点坐标和准线方程 3 已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 求它的标准方程 解 方程可化为 故焦点坐标为 准线方程为 例题讲解 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 y 2x2 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 练习 注意 求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式 2 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是f 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 解 y2 12x 解 y2 x 解 y2 4x或y2 4x或x2 4y或x2 4y 练习 反思研究 先定位 后定量 例2 求过点a 3 2 的抛物线的标准方程 解 1 设抛物线的标准方程为x2 2py 把a 3 2 代入 得p 2 设抛物线的标准方程为y2 2px 把a 3 2 代入 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 例题讲解 已知抛物线经过点p 4 2 求抛物线的标准方程 提示 注意到p为第四象限的点 所以可以设抛物线的标准方程为y2 2px或x2 2py 练习3 例4 已知抛物线方程为x ay2 a 0 讨论抛物线的开口方向 焦点坐标和准线方程 例题讲解 例5 点m与点f 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点m的轨迹方程 解 如图所示 设点m的坐标为 x y 由已知条件得 点m与点f的距离等于它到直线x 4 0的距离 根据抛物线的定义 点m的轨迹是以f 4 0 为焦点的抛物线 因为 4 所以p 因为焦点在x轴的正半轴上 所以点