【创新设计】高考数学一轮总复习 第十篇 圆锥曲线与方程教案 理 苏教版(1).doc

第十篇圆锥曲线与方程第1讲椭圆知 识 梳 理1椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距(2)第二定义：平面内与一个定点f和一条定直线l的距离的比是常数e(0eb0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)b1(b,0)，b2(b,0)轴长轴a1a2的长为2a；短轴b1b2的长为2b焦距|f1f2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2辨 析 感 悟1对椭圆定义的认识(1)平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)动点p到两定点a(0，2)，b(0,2)的距离之和为4，则点p的轨迹是椭圆()2对椭圆的几何性质的理解(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(5)(教材习题改编)椭圆1的离心率为.()3椭圆的方程(6)若椭圆1的焦点坐标是f1(，0)，f2(，0)，则k2.()(7)(2013广东卷改编)已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f(1,0)，离心率等于，则c的方程是1.()感悟提升1一点提醒椭圆定义中的常数必须大于|f1f2|，如(1)、(2)2两个防范一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆，如(3)；二是注意椭圆方程的焦点位置是在x轴上还是y轴上，当ab0时，方程1的焦点在x轴上；当ba0时，方程1的焦点在y轴上，如(7).考点一椭圆定义及标准方程【例1】 (1)设f1，f2分别是椭圆1的左、右焦点，p为椭圆上一点，m是f1p的中点，|om|3，则p点到椭圆左焦点的距离为_(2)求过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程(1)解析由题意知，在pf1f2中，|om|pf2|3，|pf2|6，|pf1|2a|pf2|1064.答案4(2)解法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.法二因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.规律方法 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决(2)求椭圆的标准方程有两种方法定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为ax2by21(a0，b0，ab)【训练1】 在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为.过f1的直线l交c于a，b两点，且abf2的周长为16，那么椭圆c的方程为_解析设椭圆方程为1(ab0)，由e知，故.由于abf2的周长为|ab|bf2|af2|(|af1|af2|)(|bf1|bf2|)4a16，故a4.b28.椭圆c的方程为1.答案1考点二椭圆的几何性质【例2】 已知f1、f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，f1pf260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：f1pf2的面积只与椭圆的短轴长有关(1)解法一设椭圆方程为1(ab0)，|pf1|m，|pf2|n，则mn2a.在pf1f2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2(当且仅当mn时取等号)，即e.又0e1，e的取值范围是.法二如图所示，设o是椭圆的中心，a是椭圆短轴上的一个顶点，由于f1pf260，则只需满足60f1af2即可，又f1af2是等腰三角形，且|af1|af2|，所以0f1f2a60，所以cosf1f2a1，又ecosf1f2a，所以e的取值范围是.(2)证明由(1)知mnb2，spf1f2mnsin 60b2，即pf1f2的面积只与短轴长有关规律方法 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|pf1|pf2|2a，得到a，c的关系(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式e；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)【训练2】 (1)(2013四川卷改编)从椭圆1(ab0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且abop(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_(2)(2012安徽卷)如图，f1，f2分别是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，a是椭圆c的顶点，b是直线af2与椭圆c的另一个交点，f1af260.且af1b的面积为40，则a_，b_.解析(1)左焦点为f1(c,0)，pf1x轴，当xc时，1yb2yp(负值不合题意，已舍去)，点p，由斜率公式得kab，kop.abop，kabkopbc.a2b2c22c2，e.(2)法一a24c2，b23c2，直线ab的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得b，所以|ab|c.由saf1b|af1|ab|sinf1abaca240，解得a10，b5.法二设|ab|t(t0)因为|af2|a，所以|bf2|ta.由椭圆定义|bf1|bf2|2a可知，|bf1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由saf1baaa240知，a10，b5.答案(1)(2)105考点三直线与椭圆的位置关系【例3】 (2013陕西卷)已知动点m(x，y)到直线l：x4的距离是它到点n(1,0)的距离的2倍(1)求动点m的轨迹c的方程；(2)过点p(0,3)的直线m与轨迹c交于a，b两点若a是pb的中点，求直线m的斜率审题路线(1)根据题意列出等式坐标化整理可得动点m的轨迹方程(2)设直线m的方程，交点a，b的坐标由a是pb的中点得出a，b两点坐标间的关系又点a，b在点m的轨迹上联立方程组解得a或b点坐标根据斜率公式求k.解(1)设m到直线l的距离为d，根据题意，d2|mn|.由此得|4x|2，化简得1，所以，动点m的轨迹方程为1.(2)由题意，设直线m的方程为ykx3，a(x1，y1)，b(x2，y2)a是pb的中点，x1，y1.又1，1，联立，解得或即点b的坐标为(2,0)或(2,0)，所以，直线m的斜率为或.规律方法 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形【训练3】 (2014山东省实验中学诊断)设f1，f2分别是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，过f1倾斜角为45的直线l与该椭圆相交于p，q两点，且|pq|a.(1)求该椭圆的离心率；(2)设点m(0，1)满足|mp|mq|，求该椭圆的方程解(1)直线pq斜率为1，设直线l的方程为yxc，其中c，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则p，q两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，x1，x2.所以|pq|x2x1|a，化简，得a，故a22b2，所以椭圆的离心率e.(2)设pq的中点为n(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|mp|mq|，得kmn1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆的方程为1.1椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|f1f2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况2求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为1(m0，n0)可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为ax2by21(a0，b0)，这种形式在解题中更简便3椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，深刻理解椭圆中的几何量a，b，c，e之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题若已知焦点位置，则标准方程唯一；若无法确定焦点位置，则应考虑两种形式 答题模板11直线与椭圆的综合问题【典例】 (13分)(2013天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为f，离心率为，过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设a，b分别为椭圆的左、右顶点，过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c，d两点若8，求k的值.学生用书第141页规范解答(1)设f(c,0)，由，知ac.过点f且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程1，解得yb，(2分)于是b ，解得b，(3分)又a2c2b2，从而可得a，c1，(4分)所以椭圆的方程为1.(5分)(2)设点c(x1，y1)，d(x2，y2)，由f(1,0)得直线cd的方程为yk(x1)，(6分)由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.(8分)因为直线过椭圆内的点，无论k为何值，直线和椭圆总相交由求根公式可得x则x1x2，x1x2，(9分)因为a(，0)，b(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.(12分)由已知得68，解得k.(13分)反思感悟 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题答题模板直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式0.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出第五步：根据题设条件求解问题中的结论【自主体验】已知椭圆c1：y21，椭圆c2以c1的长轴为短轴，且与c1有相同的离心率(1)求椭圆c2的方程；(2)设o为坐标原点，点a，b分别在椭圆c1和c2上，2，求直线ab的方程解(1)由已知可设椭圆c2的方程为1(a2)其离心率为，故，解得a4.故椭圆c2的方程为1.(2)a，b两点的坐标分别记为(xa，ya)，(xb，yb)，由2及(1)知，o，a，b三点共线且点a，b不在y轴上，因此可设直线ab的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2 ，得x4x，即，解得k1.故直线ab的方程为yx或yx.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1已知abc的顶点b，c在椭圆y21上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则abc的周长是_解析由椭圆的定义知：|ba|bf|ca|cf|2a(f是椭圆的另外一个焦点)，周长为4a4.答案42(2014广州模拟)椭圆1的离心率为，则k的值为_解析若a29，b24k，则c，由，即，解得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.答案或213(2014镇江模拟)已知椭圆1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于_解析将椭圆的方程转化为标准形式为1，显然m210m，即m6，且()2()222，解得m8.答案84(2014烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点f1，f2在x轴上，p(2，)是椭圆上一点，且|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差数列，则椭圆方程为_解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2，)在椭圆上知1.又|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差数列，则|pf1|pf2|2|f1f2|，即2a22c，又c2a2b2，联立解得a28，b26.答案15(2013辽宁卷改编)已知椭圆c：1(ab0)的左焦点为f，c与过原点的直线相交于a，b两点，连接af，bf.若|ab|10，|bf|8，cosabf，则c的离心率为_解析如图，设|af|x，则cosabf.解得x6，afb90，由椭圆及直线关于原点对称可知|af1|8，faf1fabfba90，faf1是直角三角形，所以|f1f|10，故2a8614,2c10，.答案6(2014无锡模拟)设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为_解析抛物线y28x的焦点为(2,0)，m2n24，e，m4，代入得，n212，椭圆方程为1.答案17已知f1，f2是椭圆c：1(ab0)的两个焦点，p为椭圆c上的一点，且.若pf1f2的面积为9，则b_.解析由题意知|pf1|pf2|2a，|pf1|2|pf2|2|f1f2|24c2，(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|4c2，2|pf1|pf2|4a24c24b2.|pf1|pf2|2b2，spf1f2|pf1|pf2|2b2b29.b3.答案38(2013福建卷)椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为f1，f2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点m满足mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率等于_解析因为直线y(xc)过椭圆左焦点，且斜率为，所以mf1f260，mf2f130，f1mf290，故|mf1|c，|mf2|c由点m在椭圆上知，cc2a.故离心率e1.答案1二、解答题9已知椭圆的两焦点为f1(1,0)，f2(1,0)，p为椭圆上一点，且2|f1f2|pf1|pf2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点p在第二象限，f2f1p120，求pf1f2的面积解(1)依题意得|f1f2|2，又2|f1f2|pf1|pf2|，|pf1|pf2|42a.a2，c1，b23.所求椭圆的方程为1.(2)设p点坐标为(x，y)，f2f1p120，pf1所在直线的方程为y(x1)tan 120，即y(x1)解方程组并注意到x0，y0，可得spf1f2|f1f2|.10(2014绍兴模拟)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1(c,0)，f2(c,0)已知点m在椭圆上，且点m到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设与mo(o为坐标原点)垂直的直线交椭圆于a，b(a，b不重合)，求的取值范围解(1)2a4，a2，又m在椭圆上，1，解得b22，所求椭圆方程1.(2)由题意知kmo，kab.设直线ab的方程为yxm，联立方程组消去y，得13x24mx2m240，(4m)2413(2m24)8(12m213m226)0，m226，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由求根公式得x则x1x2，x1x2，则x1x2y1y27x1x2m(x1x2)m2.的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014潍坊模拟)已知椭圆：1(0b2)，左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交椭圆于a，b两点，若|bf2|af2|的最大值为5，则b的值是_解析由题意知a2，所以|bf2|af2|ab|4a8，因为|bf2|af2|的最大值为5，所以|ab|的最小值为3，当且仅当abx轴时，取得最小值，此时a，b，代入椭圆方程得1，又c2a2b24b2，所以1，即11，所以，解得b23，所以b.答案2设f1，f2是椭圆e：1(ab0)的左、右焦点，p为直线x上一点，f2pf1是底角为30的等腰三角形，则e的离心率为_解析令c.如图，据题意，|f2p|f1f2|，f1pf230，f1f2p120，pf2x60，|f2p|23a2c.|f1f2|2c，3a2c2c，3a4c，即椭圆的离心率为.答案3(2014陕西五校联考)椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为f，直线xm与椭圆相交于点a，b.若fab的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析设椭圆的右焦点为f，如图，由椭圆定义知，|af|af|bf|bf|2a.又fab的周长为|af|bf|ab|af|bf|af|bf|4a，当且仅当ab过右焦点f时等号成立此时4a12，则a3.故椭圆方程为1，所以c2，所以e.答案二、解答题4(2014河南省三市调研)已知圆g：x2y22xy0经过椭圆1(ab0)的右焦点f及上顶点b.过椭圆外一点m(m,0)(ma)作倾斜角为的直线l交椭圆于c，d两点(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点f在以线段cd为直径的圆e的内部，求m的取值范围解(1)圆g：x2y22xy0经过点f，b，f(2,0)，b(0，)，c2，b，a2b2c26，椭圆的方程为1.(2)由题意知直线l的方程为y(xm)，m，由消去y，得2x22mx(m26)0.由4m28(m26)0，解得2m2.m，m2.设c(x1，y1)，d(x2，y2)，x则x1x2m，x1x2，y1y2x1x2(x1x2).(x12，y1).(x22，y2)，(x12)(x22)y1y2x1x2(x1x2)4.点f在圆e内部，0，即0，解得0m3.又m2，m3.故m的取值范围是(，3).学生用书第142页第2讲双曲线知 识 梳 理1双曲线的概念(1)第一定义：平面内与两个定点f1，f2(f1f22c0)的距离的差的绝对值为常数(小于f1f2且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距(2)第二定义：平面内到一个定点f与到一条定直线l(f不在l上)的距离的比等于常数e(e1)的点的轨迹叫做双曲线，定点f为焦点，定直线l称为准线，定比e称为离心率2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)辨 析 感 悟1对双曲线定义的认识(1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()2对双曲线的标准方程和几何性质的理解(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)(2013新课标全国卷改编)已知双曲线c：1(a0，b0)的离心率为，则c的渐近线方程为yx.()(5)(2013陕西卷改编)双曲线1的离心率为.()(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切()感悟提升1一点提醒双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|f1f2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线2三个防范一是双曲线中的“a，b，c，e”和椭圆中的“a，b，c，e”既相似又有区别，椭圆中a2b2c2，而双曲线中c2a2b2，一定要注意它们的区别，切莫混淆，如(5)；二是双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，而双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，应注意其区别与联系如(4)；三是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点如(6).学生用书第143页考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)若双曲线1上的一点p到它的右焦点的距离为8，则点p到它的左焦点的距离是_(2)(2013辽宁卷)已知f为双曲线c：1的左焦点，p，q为c上的点若pq的长等于虚轴长的2倍，点a(5,0)在线段pq上，则pqf的周长为_解析(1)由题意知c4，设双曲线的左焦点为f1(4,0)，右焦点为f2(4,0)，且|pf2|8.当p点在双曲线右支上时，|pf1|pf2|4，解得|pf1|12；当p点在双曲线左支上时，|pf2|pf1|4，解得|pf1|4，所以|pf1|4或12，即p到它的左焦点的距离为4或12.(2)由1得a3，b4，c5.|pq|4b162a.又a(5,0)在线段pq上，p，q在双曲线的右支上，且pq所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知|pf|qf|28.pqf的周长是|pf|qf|pq|281644.答案(1)4或12(2)44规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：pm|mf1|mf2|2a,02a|f1f2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上【训练1】 (1)(2014大连模拟)设p是双曲线1上一点，f1，f2分别是双曲线左、右两个焦点，若|pf1|9，则|pf2|_.(2)已知f是双曲线1的左焦点，a(1,4)，p是双曲线右支上的动点，则|pf|pa|的最小值为_解析(1)由双曲线定义|pf1|pf2|8，又|pf1|9，|pf2|1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，|pf2|17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为e，则e(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|pf|pe|4，则|pf|pa|4|pe|pa|.由图可得，当a，p、e三点共线时，(|pe|pa|)min|ae|5，从而|pf|pa|的最小值为9.答案(1)17(2)9考点二求双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点m(2，2)的双曲线方程为_解析(1)椭圆1的焦点坐标为f1(，0)，f2(，0)，离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，因此a2b27.又双曲线的离心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.答案(1)1(2)1规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可【训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点m(0,12)(3)经过两点p(3,2)和q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点m(0,12)，m(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13.b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.考点三双曲线的几何性质【例3】 (1)(2013湖南卷)设f1，f2是双曲线c：1(a0，b0)的两个焦点若在c上存在一点p，使pf1pf2，且pf1f230，则c的离心率为_(2)设f1，f2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点p，满足|pf2|f1f2|，且f2到直线pf1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_解析(1)因为pf1pf2，pf1f230，所以|pf2|f1f2|c，|pf1|f1f2|c.由双曲线的定义知，|pf1|pf2|2a，即cc2a，所以离心率e1.(2)设pf1的中点为m，由|pf2|f1f2|，故f2mpf1，即|f2m|2a，在直角三角形f1f2m中，|f1m|2b，故|pf1|4b，根据双曲线的定义4b2c2a，即2bac，即(2ba)2a2b2，即3b24ab0，即3b4a，故双曲线的渐近线方程是yx，即yx，即4x3y0.答案(1)1(2)4x3y0学生用书第144页规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解(2)求曲线1(a0，b0)的渐近线的方法是令0，即得两渐近线方程0.【训练3】 (1)设点p在双曲线1(a，b0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为f1，f2，若|pf1|4|pf2|，则双曲线离心率的取值范围是_(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，则该双曲线的离心率为_解析(1)由双曲线的定义得|pf1|pf2|2a，又|pf1|4|pf2|，所以4|pf2|pf2|2a，所以|pf2|a，|pf1|a，所以整理得ac，所以，即e，又e1，所以1e.(2)当焦点在x轴上时，即，所以e2，解得e；当焦点在y轴上时，即，所以e2，解得e，即双曲线的离心率为或.答案(1)1e(2)或1双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系2双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程如果已知渐近线方程为axby0时，可设双曲线方程为a2x2b2y2(0)，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法3双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系 教你审题8运用双曲线的标准方程及其性质【典例】 如图，f1，f2分别是双曲线c：1(a，b0)的左，右焦点，b是虚轴的端点，直线f1b与c的两条渐近线分别交于p，q两点，线段pq的垂直平分线与x轴交于点m.若|mf2|f1f2|，则c的离心率是_审题一审：求出直线f1b的方程二审：求出点p、q的坐标及pq中点坐标三审：求出pq的垂直平分线方程，令y0得m点的坐标四审：由|mf2|f1f2|建立关系式，求出离心率解析依题意，知直线f1b的方程为yxb，联立方程得点q，联立方程得点p，所以pq的中点坐标为.所以pq的垂直平分线方程为y.令y0，得xc，所以c3c.所以a22b22c22a2，即3a22c2.所以e.答案反思感悟 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题【自主体验】已知椭圆c1：1(ab0)与双曲线c2：x21有公共的焦点，c2的一条渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a，b两点，若c1恰好将线段ab三等分，则a2_，b2_.解析由题意知：a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，直线截椭圆的弦长d2 a，解得a2，b2.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014日照二模)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为_解析由题意知圆心坐标为(5,0)，即c5，又e，a25，b220，双曲线的标准方程为1.答案12(2014苏州一模)已知双曲线x2ky21的一个焦点是(，0)，则其离心率为_解析由已知，得a1，c.e.答案3(2014广州一模)已知双曲线1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_解析由题意得c，所以9ac213，所以a4.即双曲线方程为1，所以双曲线的渐近线为2x3y0.答案2x3y04(2013北京卷改编)双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是_解析在双曲线x21中，a1，b，则c，离心率e，解得m1.答案m15若双曲线1(a0)的离心率为2，则a_.解析b，c，2，a1.答案16(2014成都模拟)已知双曲线的方程为1(a0，b2)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为_解析不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为yx，即bxay0.则焦点到渐近线的距离为c，即bc，从而b2c2c2a2，所以c2a2，即e2，所以离心率e.答案7(2014郑州二模)设f1，f2是双曲线x21的两个焦点，p是双曲线上的一点，且3|pf1|4|pf2|，则pf1f2的面积等于_解析由可解得又由|f1f2|10可得pf1f2是直角三角形，则spf1f2|pf1|pf2|24.答案248(2014武汉诊断)已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，椭圆1的焦距等于4，则n_.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1，所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案5二、解答题9已知椭圆d：1与圆m：x2(y5)29，双曲线g与椭圆d有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆m相切，求双曲线g的方程解椭圆d的两个焦点为f1(5,0)，f2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线g的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心m(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线g的方程为1.10中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点f1，f2，且|f1f2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若p为这两曲线的一个交点，求cosf1pf2的值解(1)由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设f1，f2分别为左、右焦点，p是第一象限的一个交点，则|pf1|pf2|14，|pf1|pf2|6，所以|pf1|10，|pf2|4.又|f1f2|2，cosf1pf2.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014焦作二模)直线yx与双曲线c：1(a0，b0)左右两支分别交于m、n两点，f是双曲线c的右焦点，o是坐标原点，若|fo|mo|，则双曲线的离心率等于_解析由题意知|mo|no|fo|，mfn为直角三角形，且mfn90，取左焦点为f0，连接nf0，mf0，由双曲线的对称性知，四边形nfmf0为平行四边形又mfn90，四边形nfmf0为矩形，|mn|f0f|2c，又直线mn的倾斜角为60，即nof60，nmf30，|nf|mf0|c，|mf|c，由双曲线定义知|mf|mf0|cc2a，e1.答案12(2014临沂联考)已知点f是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_解析由题意知，abe为等腰三角形若abe是锐角三角形，则只需要aeb为锐角根据对称性，只要aef即可直线ab的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点a，则|af|，|ef|ac，只要|af|ef|就能使aef，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e1，故1e0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离性质顶点o(0,0)对称轴y0x0焦点ffff离心率e1准线方程xxyy范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下辨 析 感 悟1对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()2对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013北京卷改编)若抛物线yax2的焦点坐标为(