1.2函数及其表示新人教A版必修1优秀教案.doc

1.2 函数及其表示 新人教A版必修1优秀教案目录（共五个教案)1.2.1函数的概念约2课时1.2.2函数的表示法约3课时1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数()和基本初等函数()是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.三维目标1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识.2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.课时安排2课时教学过程第1课时 函数的概念导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题.思路2.问题:已知函数y=1,x瘙綂下标RQ,0,x瘙綂下标RQ,请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题.推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应:(幻灯片)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.时间t的变化范围是数集A=t|0t26,h的变化范围是数集B=h|0h845.则有对应f:th=130t-5t2,tA,hB.近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从19912001年的变化情况.图1-2-1-1根据图1-2-1-1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A=t|1979t2001,空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B=S|0S26,则有对应:f:tS,tA,SB.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数y53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根据上表,可知时间t的变化范围是数集A=t|1991t2001,恩格尔系数y的变化范围是数集B=S|37.9S53.8.则有对应:f:ty,tA,yB.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数,请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f:AB的值域为C,那么集合B=C吗？活动：让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性.解：(1)共同特点是:集合A、B都是数集,并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:AB下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.(2)一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA,其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.在研究函数时常会用到区间的概念,设a,b是两个实数,且ab,如下表所示:定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a,bx|axb开区间(a,b)x|axb半开半闭区间a,b)x|aa(a,bx|xa(-,ax|x0时,求f(a),f(a-1)的值.活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+30, 有意义,则x+20,转化解由x+30和x+20组成的不等式组.(2)让学生回想f(-3),f()表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f()表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f(-3),f()的值.(3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.解：(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3x-2,即函数的定义域是-3,-2)(-2,+).(2)f(-3)=+=-1;f()=.(3)a0,a-3,-2)(-2,+),即f(a),f(a-1)有意义.则f(a)=+;f(a-1)=.点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.f(x)是表示关于变量x的函数,又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f(x)=x2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,再加上5;当x为某一代数式(或某一个函数记号时),则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,fg(x)=g(x)2-g(x)+5等等.符号y=f(x)表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积;符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;当m是常数时,f(m)表示自变量x=m对应的函数值,是一个常量.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.变式训练1.求函数y=的定义域.答案：x|x1,且x-1.点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y=x+1,得函数的定义域为x|x1.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式.2.2007山东滨州二模,理1若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R,则MN等于( )A.M B.N C.M D.N分析:由题意得M=x|x0,N=R,则MN=x|x0=M.答案：A3.已知函数f(x)的定义域是-1,1,则函数f(2x-1)的定义域是_.分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x的取值需满足-12x-11,0x1.答案：0,1思路21.2007湖北武昌第一次调研,文14已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=_.活动：观察所求式子的特点,引导学生探讨f(a)+f()的值.解法一：原式=+=.解法二：由题意得f(x)+f()=1.则原式=+1+1+1=.点评：本题主要考查对函数符号f(x)的理解.对于符号f(x),当x是一个具体的数值时,相应地f(x)也是一个具体的函数值.本题没有求代数式中的各个函数值,而是看到代数式中含有f(x)+f(),故先探讨f(x)+f()的值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号的代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特?找到规律再求解.受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累.变式训练1.已知a、bN*,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则=_.分析:令a=x,b=1(xN*),则有f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x),即有=2(xN*).所以,原式=4012.答案：40122.2007山东蓬莱一模,理13设函数f(n)=k(kN*),k是的小数点后的第n位数字,=3.1415926535,则等于_.分析:由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,则有=1.答案：12.2007山东济宁二模,理10已知A=a,b,c,B=-1,0,1,函数f:AB满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有( )A.4个 B.6个 C.7个 D.8个活动：学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f(a),f(b),f(c)的值分类讨论,注意要满足f(a)+f(b)+f(c)=0.解：当f(a)=-1时,则f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个;当f(a)=0时,则f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件的函数有3个;当f(a)=1时,则f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个.综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个).故选C.点评：本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数.变式训练若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x2,值域是1,4的“同族函数”共有( )A.9个 B.8个 C.5个 D.4个分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.令x2=1,得x=1;令x2=4,得x=2.所有“同族函数”的定义域分别是1,2,1,-2,-1,2,-1,-2,1,-1,2,1,-1,-2,1,-2,2,-1,-2,2,1,-1,-2,2,则“同族函数”共有9个.答案：A知能训练1.2007学年度山东淄博高三第二次摸底考试,理16已知函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则=_.解：f(p+q)=f(p)f(q),f(x+x)=f(x)f(x),即f2(x)=f(2x).令q=1,得f(p+1)=f(p)f(1),=f(1)=3.原式=2(3+3+3+3+3)=30.答案：302.2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,2若f(x)=的定义域为A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为B,那么( )A.AB=B B.AB C.AB D.AB=分析:由题意得A=x|x0,B=x|x0,且x-1.则AB=A,则A错;AB=B,则D错;由于BA,则C错,B正确.答案：B拓展提升问题:已知函数f(x)=x2+1,xR.(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.活动：让学生探求f(x)-f(-x)的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明.解：(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-(-1)2+1=2-2=0;f(2)-f(-2)=(22+1)-(-2)2+1=5-5=0;f(3)-f(-3)=(32+1)-(-3)2+1=10-10=0.(2)由(1)可发现结论:对任意xR,有f(x)=f(-x).证明如下:由题意得f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x).对任意xR,总有f(x)=f(-x).课堂小结本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解.作业课本P24,习题1.2A组1、5.设计感想本节教学中,在归纳函数的概念时,本节设计运用了大量的实例,如果不借助于信息技术,那么会把时间浪费在实例的书写上,会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数定义域的求法,而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习.由于函数是高中数学的重点内容之一,也是高考的重点和热点,因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展,以满足高考的需要.第2课时 函数相等复 习1.函数的概念.2.函数的定义域的求法.导入新课思路1.当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、B中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等.思路2.我们学习了函数的概念,y=x与y=是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容,引出课题:函数相等.推进新课新知探究提出问题指出函数y=x+1的构成要素有几部分？一个函数的构成要素有几部分？分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系xx+1,值域是R.一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.定义域和对应关系分别相同.值域相同.如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.应用示例思路11.下列函数中哪个与函数y=x相等？(1)y=()2;(2)y=;(3)y=;(4)y=.活动：让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.解：函数y=x的定义域是R,对应关系是xx.(1)函数y=()2的定义域是0,+),函数y=()2与函数y=x的定义域R不相同.函数y=()2与函数y=x不相等.(2)函数y=的定义域是R,函数y=与函数y=x的定义域R相同.又y=x,函数y=与函数y=x的对应关系也相同.函数y=与函数y=x相等.(3)函数y=的定义域是R,函数y=与函数y=x的定义域R相同.又y=|x|,函数y=与函数y=x的对应关系不相同.函数y=与函数y=x不相等.(4)函数y=的定义域是(-,0)(0,+),函数y=与函数y=x的定义域R不相同,函数y=()2与函数y=x不相等.点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.变式训练判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.y=x-1,xR与y=x-1,xN;y=与y=;y=1+与u=1+;y=x2与y=x;y=2|x|与y=y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是_(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;前者的定义域是x|x2或x-2,后者的定义域是x|x2,它们的定义域不同,故不是同一个函数;定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填.思路21.判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由.(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1.(2)f(x)=x-1,g(x)=.(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2.(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.活动：学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同.解：(1)f(x)=(x-1)0的定义域是x|x1,函数g(x)=1的定义域是R,函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不同.函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数.(2)f(x)=x-1的定义域是R,g(x)=的定义域是R,函数f(x)=x-1与函数g(x)=的定义域相同.又g(x)=|x-1|,函数f(x)=x-1与函数g(x)=的对应关系不同.函数f(x)=x-1与函数g(x)=不表示同一个函数.(3)很明显f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R,又f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的对应关系不同,函数f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.(4)很明显f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的定义域都是R,又f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的对应关系也相同,函数f(x)=x2-1与g(u)=u2-1表示同一个函数.变式训练1.2007湖北黄冈模拟,理13已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=_.解：由题意得f(36)=f(66)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(23)=2f(2)+f(3)=2p+2q.答案：2p+2q2.函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有( )A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.不确定答案：C2.设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的定义域,N是函数y=f(u)的值域,当MN时,则y成为x的函数,记为y=fg(x).这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为MN,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.(1)y=;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y=-1.活动：让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么.解：(1)设y=,u=x+1,即y=的外层函数是反比例函数y=,内层函数是一次函数u=x+1.(2)设y=u2,u=x2-2x+3,即y=(x2-2x+3)2的外层函数是二次函数y=u2,内层函数是二次函数u=x2-2x+3.(3)设y=u2+u-1,u=,即y=-1的外层函数是二次函数y=u2+u-1,内层函数是反比例函数u=.点评：到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.变式训练1.2004重庆高考,文2设f(x)=,则=_.答案：-12.2006安徽高考,理15函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则ff(5)=.分析:函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)= ,f(x+4)=f(x+2)+1=f(x).f(1)=f(1+4)=f(5).又f(1)=-5,f(5)=-5.ff(5)=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)=.答案：知能训练1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是( )A. B. C. D.图1-2-1-2答案：B2.函数y=f(x)的定义域是R,值域是1,2,则函数y=f(2x-1)的值域是_.答案：1,23.下列各组函数是同一个函数的有_.f(x)=,g(x)=x;f(x)=x0,g(x)=;f(x)=,g(u)=;f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u.答案：拓展提升问题:函数y=f(x)的图象与直线x=m有几个交点？探究:设函数y=f(x)定义域是D,当mD时,根据函数的定义知f(m)唯一,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m,f(m),即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m仅有一个交点;当mD时,根据函数的定义知f(m)不存在,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点不存在,即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m没有交点.综上所得,函数y=f(x)的图象与直线x=m有交点时仅有一个,或没有交点.课堂小结(1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素;(2)学习了复合函数的概念;(3)判断两个函数是否是同一个函数.作业1.设M=x|-2x2,N=y|0y2,给出下列4个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系是( )图1-2-1-3分析:A中,当0x2时,N中没有元素与x对应,不能构成函数关系;C中一个x有两个y与之对应,所以不是函数关系;D中,表示函数关系,但是表示的函数值域不是N.答案：B2.某公司生产某种产品的成本为1000元,以1100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入_,它们之间是关系_.分析:由题意,多生产一单位产品则多收入100元.生产产品数量看成是自变量,公司收入看成是因变量,容易得出对于自变量的每一个确定值,因变量都有唯一确定值与之对应,从而判断两者是函数关系.答案：增加 函数3.函数y=x2与S=t2是同一函数吗?答:函数的确定只与定义域与对应关系有关,而与所表示的字母无关,因此y=x2与S=t2表示的是同一个函数.因此并非字母不同便是不同的函数,这是由函数的本质决定的.设计感想本节教学内容主要是依据高考说明,对课本内容适当拓展,重点对函数的相等问题进行了引申,设计时对拓展的内容采取渐进式,设计时本着逐步提高、拓展,不能急于求成,否则事倍功半.1.2.2 函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.三维目标1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣.3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.重点难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念.教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解;运用集合两种常用表示列举法与描述法.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是 !那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.思路2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.应用示例思路11.某种笔记本的单价是5元,买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).活动：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集1,2,3,4,5,用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x1,2,3,4,5.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(nN*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;图象法:根据实际情境来决定是否连线;列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.变式训练1.已知函数f(x)在-1,2上的图象如图1-2-2-2所示,求f(x)的解析式.图1-2-2-2解：观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出解析式为:当-1x0时,f(x)=x+1;当0x2时,f(x)=,则有f(x)=2.2007山东青岛第一次调研,理13已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=_.分析:由题意得把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得.答案：3x+2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.活动：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.变式训练1.函数y=x2-4x+6,x1,5)的值域是_.分析:画出函数的图象,图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域.答案：2,11)2.将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y表示为x的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.解：设矩形一边长为x,则另一边长为(a-2x),则面积y=(a-2x)x=-x2+ax.又得0x,即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.A中V,C、D中V=,故排除A、C、D.答案：B思路21.2007宁夏银川一模,理14已知f()=,则f(x)=_.活动：学生思考函数的解析式表达的含义.设=t,利用换元法,转化为求f(t).利用整体思想把看成一个整体,即可得函数的解析式.要注意函数f(t)与f(x)是同一个函数.分析:可设=t,则有x=,所以f(t)=,所以f(x)=.答案：变式训练课本P26练习1.点评：本题主要考查函数的解析式.已知fg(x)=(x),求f(x)的解析式时,通常用换元法,其步骤是:设g(x)=t;把t看成常数,解关于x的方程g(x)=t得x=h(t);将x=h(t)代入(x),得函数f(t)的解析式;再用x替换f(t)的解析式中的t得函数f(x)的解析式.其实求函数的解析式方法很多,例如方程法:对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式,依据这两个变量的关系,重新建立关于这两个变量的不同等式,利用整体思想,把f(x)和另一个函数看成未知数,解方程组得函数f(x)的解析式.类似于解二元一次方程组,故称为方程法.待定系数法:已知函数的模型求其解析式时,常用待定系数法.2.已知函数f(x)=.(1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象写出函数的定义域和值域.活动：学生思考函数图象的画法.利用变换法画函数f(x)的图象,利用图象法写出函数的定义域和值域.形如函数y=(c0,a2+b20)的图象均可由反比例函数y=的图象经过平移得到,因此函数y=(c0,a2+b20)的图象形状是双曲线.解：(1)y=.将y=的图象向左平移两个单位得y=的图象,再向上平移三个单位得y=+3的图象.图象如图1-2-2-7所示.图1-2-2-7(2)观察函数的图象图1-2-2-7,可知图象上所有点的横坐标的取值范围是(-,-2)(-2,+),图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-,3)(3,+).则函数的定义域是(-,-2)(-2,+),值域是(-,3)(3,+).点评：本题主要考查函数的定义域、值域和图象.画不熟悉的函数的图象,可以变形成由基本函数,利用变换法画出图象,但要注意变形过程是否等价,注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本初等函数的图象,如:正、反比例函数,一次、二次函数的图象,在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想.求函数值域的方法:图象法,借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;观察法,对于解析式比较简单的函数,利用常见的结论如x20,|x|0,x0等观察出函数的值域;换元法,利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等.注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,本例中(1)如果忽视函数的定义域,那么会错误地得函数值域为-1,+).避免此类错误的方法是研究函数时要遵守定义域优先的原则.变式训练求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1x2);(2)y=x4+1.分析:本题主要考查函数的值域及其求法.(1)借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;(2)观察得x40,得函数的值域,也可以利用换元法转化为求二次函数的值域.(1)解：(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1x2)的图象,如图1-2-2-8所示:图1-2-2-8函数y=x2-2x(-1x2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是-1,3.(2)解法一：(观察法)函数的定义域是R,则x40,有x4+11,即函数y=x4+1的值域是1,+).解法二：(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t0时,二次函数y=t2+1的值域是1,+),即函数y=x4+1的值域是1,+).3.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.活动：让学生审清题意读懂题.求解析式时不要忘记函数的定义域,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.然后再根据解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管费.解：(1)由题意得y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,xN*且0x3500.(2)若电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,则3500(1-40%)x3 500(1-25%),即2100x2 625,画出函数y=-0.2x+1750(2 100x2 625)的图象,可得函数y=-0.2x+1750(2100x2625)的值域是1225,1330,即收入在1225元至1330元之间.点评：本题主要考查函数的解析式和值域,以及应用函数知识解决实际问题的能力.解函数应用题的步骤是审清题意读懂题;恰当设未知数;列出函数解析式,并指明定义域;转化为函数问题,并解决函数问题;将数学问题的答案还原为实际答案.变式训练2007山东实验中学级第一次诊断性测试,文13水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断:0点到3点只进水不出水;3点到4点不进水只出水;4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A. B. C. D.分析:由图1229甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v进水=v出水;由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故正确.由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故不正确.由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故不正确.综上所述论断仅有正确.答案：A知能训练课本P23练习2、3.【补充练习】1.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰长x的函数,则( )A.y=10-x(0x10) B.y=10-x(0x10)C.y=20-2x(5x10) D.y=20-2x(5x0.x20-2x,得x5,所以函数的定义域为x|5x10.所以y=20-2x(5x10).答案：D2.2007北京四中第一次统测,文4定义在R上的函数y=f(x)的值域为a,b,则