【创新设计】高考数学一轮复习 第六章 第1讲 数列的概念及简单表示法知识点 新人教A版 .doc

第1讲 数列的概念及简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数知 识 梳 理1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nn*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数m，使|an|m摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式5已知数列an的前n项和sn，则an诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(4)如果数列an的前n项和为sn，则对nn*，都有ansnsn1.()2(2014保定调研)在数列an中，已知a11，an12an1，则其通项公式为an()a2n1 b2n11c2n1 d2(n1)解析法一由an12an1，可求a23，a37，a415，验证可知an2n1.法二由题意知an112(an1)，数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an12n，an2n1.答案a3设数列an的前n项和snn2，则a8的值为()a15 b16 c49 d64解析当n8时，a8s8s7827215.答案a4(2014新课标全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_解析由an1，得an1，a82，a71，a611，a512，an是以3为周期的数列，a1a7.答案5(人教a必修5p33a5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_答案5n4考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5，55，555，5 555，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积故所求数列的一个通项公式为an.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9，99，999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想【训练1】 (1)数列，的一个通项公式an_(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_解析(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶然项为正，所以它的一个通项公式为an(1)n.(2)数列an的前4项可变形为，故an.答案(1)(1)n(2)考点二利用sn与an的关系求通项【例2】 设数列an的前n项和为sn，数列sn的前n项和为tn，满足tn2snn2，nn*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)令n1时，t12s11，t1s1a1，a12a11，a11.(2)n2时，tn12sn1(n1)2，则sntntn12snn22sn1(n1)22(snsn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1s11也满足上式，所以sn2an2n1(n1)，当n2时，sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因为a1230，所以数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列所以an232n1，an32n12，当n1时也成立，所以an32n12.规律方法数列的通项an与前n项和sn的关系是an当n1时，a1若适合snsn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合snsn1，则用分段函数的形式表示【训练2】 (1)已知数列an的前n项和为sn，a11，sn2an1，则sn()a2n1 b.c. d.(2)已知数列an的前n项和sn3n22n1，则其通项公式为_解析(1)sn2an1，当n2时，sn12an，ansnsn12an12an(n2)，即(n2)，又a2，an(n2)当n1时，a11，ansn2an12.(2)当n1时，a1s13122112；当n2时，ansnsn13n22n13(n1)22(n1)16n5.显然当n1时，不满足上式，故数列的通项公式为an答案(1)b(2)an考点三由递推关系求通项【例3】 在数列an中，(1)若a12，an1ann1，则通项an_；(2)若a11，snan，则通项an_深度思考本题中an1ann1与中的n1与不是同一常数，由此想到推导等差、等比数列通项的方法：累加法与累乘法解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)由题设知，a11.当n1时，ansnsn1anan1，3.以上n1个式子的等号两端分别相乘，得到，又a11，an.答案(1)1(2)规律方法已知递推关系式求通项，一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式【训练3】 (1)在数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为an_(2)设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1，2，3，)，则它的通项公式an_解析(1)an13an2，即an113(an1)，即3，法一3，3，3，3.将这些等式两边分别相乘得3n.因为a11，所以3n，即an123n1(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故an23n11.法二由3，即an113(an1)，当n2时，an13(an11)，an13(an11)32(an21)33(an31)3n1(a11)23n1，an23n11；当n1时，a1123111也满足an23n11.法三由3，所以数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，所以an123n1，即an23n11.(2)(n1)aan1anna0，(an1an)(n1)an1nan0，又an1an0，(n1)an1nan0，即，an.答案(1)23n11(2)微型专题数列问题中的函数思想数列的单调性问题作为高考考查的一个难点，掌握其处理的方法非常关键，由于数列可看作关于n的函数，所以可借助函数单调性的处理方法来解决常见的处理方法如下：一是利用作差法比较an1与an的大小；二是借助常见函数的图象判断数列单调性；三是利用导函数【例4】 数列an的通项公式是ann2kn4.(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)对于nn*，都有an1an.求实数k的取值范围点拨(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn4.f(n)在n*上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n的取值解(1)由n25n40，解得1n4.nn*，n2，3.数列中有两项是负数，即为a2，a3.ann25n4，由二次函数性质，得当n2或n3时，an有最小值，其最小值为a2a32.(2)由an1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nn*，所以，即得k3.点评(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集n*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3)易错分析：本题易错答案为k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.思想方法1由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2强调an与sn的关系：an3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式易错防范1数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的2数列的通项公式不一定唯一3在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成ansnsn1的形式，但它只适用于n2的情形基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1数列0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式是an等于()a. bcos ccos dcos 解析令n1，2，3，逐一验证四个选项，易得d正确答案d2(2014开封摸底考试)数列an满足an1an2n3，若a12，则a8a4()a7 b6 c5 d4解析依题意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3)，即an2an2，所以a8a4(a8a6)(a6a4)224.答案d3数列an的前n项和为sn，若a11，an13sn(n1)，则a6等于 ()a344 b3441 c45 d451解析当n1时，an13sn，则an23sn1，an2an13sn13sn3an1，即an24an1，该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列又a23s13a13，an当n6时，a63462344.答案a4设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是()a. b. c4 d0解析an3，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大为0.答案d5(2014东北三校联考)已知数列an的通项公式为ann22n(nn*)，则“1”是“数列an为递增数列”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析若数列an为递增数列，则有an1an0，即2n12对任意的nn*都成立，于是有32，.由1可推得，但反过来，由不能得到1，因此“1”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件，故选a.答案a二、填空题6(2015大连双基测试)已知数列an的前n项和snn22n1(nn*)，则an_解析当n2时，ansnsn12n1，当n1时，a1s14211，因此an答案7数列an中，a11，对于所有的n2，nn*，都有a1a2a3ann2，则a3a5_解析由题意知：a1a2a3an1(n1)2，an(n2)，a3a5.答案8数列an中，已知a11，a22，an1anan2(nn*)，则a7_解析由已知an1anan2，a11，a22，能够计算出a31，a41，a52，a61，a71.答案1三、解答题9已知数列an中，an1(nn*，ar，且a0)(1)若a7，求数列an的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nn*，都有ana6成立，求实数a的取值范围解(1)因为an1(nn*，ar，且a0)，又a7，所以an1.结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nn*)所以数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11.因为对任意的nn*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，所以56，解得10a8.故实数a的取值范围是(10，8)10(2015陕西五校模拟)设数列an的前n项和为sn，且sn4anp，其中p是不为零的常数(1)证明：数列an是等比数列；(2)当p3时，数列bn满足bn1bnan(nn*)，b12，求数列bn的通项公式(1)证明因为sn4anp，所以sn14an1p(n2)，所以当n2时，ansnsn14an4an1，整理得.由sn4anp，令n1，得a14a1p，解得a1.所以an是首项为，公比为的等比数列(2)解当p3时，由(1)知，an，由bn1bnan，得bn1bn，当n2时，可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)231，当n1时，上式也成立数列bn的通项公式为bn31.能力提升题组(建议用时：25分钟)11数列an的通项an，则数列an中的最大项是()a3 b19 c. d.解析因为an，运用基本不等式得，由于nn*，不难发现当n9或10时，an最大答案c12(2015大庆质量检测)已知数列an满足an1anan1(n2)，a11，a23，记sna1a2an，则下列结论正确的是()aa2 0141，s2 0142 ba2 0143，s2 0145ca2 0143，s2 0142 da2 0141，s2 0145解析由an1anan1(n2)，知an2an1an，则an2an1(n2)，an3an，an6an，又a11，a23，a32，a41，a53，a62，所以当kn时，ak1ak2ak3ak4ak5ak6a1a2a3a4a5a60，所以a2 014a41，s2 014a1a2a3a4132(1)5.答案d13(2014山西四校联考)已知数列an的前n项和为sn，sn2ann，则an_解析当n2时，ansnsn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列，an122n12n，an2n1.答案2n114设数列an的前n项和为sn.已知a1a(a3)，an1sn3n，nn*.(1)设bnsn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nn*，求a的取值范围解(1)依题意，sn1snan1sn3n，即sn12sn3n，由此得sn13n12(sn3n)，又s131a3(a3)，故数列sn3n是首项为a3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bnsn3n(a3)2n1，nn*.(2)由(1)知sn3n(a3)2n1，nn*，于是，当n2时，ansnsn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，当n1时，a1a不适合上式，故anan1an43n1(a3)2n22n2，当n2时，an1an12a30a9.又a2a13a1.综上，所求的a的取值范围是9，).第2讲 等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系知 识 梳 理1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nn*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数)2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d通项公式的推广：anam(nm)d(m，nn*)(2)等差数列的前n项和公式snna1d(其中nn*，a1为首项，d为公差，an为第n项)3等差数列及前n项和的性质(1)若a，a，b成等差数列，则a叫做a，b的等差中项，且a(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qn*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为md的等差数列(4)数列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列(5)s2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则s偶s奇；若n为奇数，则s奇s偶a中(中间项)4等差数列的前n项和公式与函数的关系snn2n.数列an是等差数列snan2bn(a，b为常数)5等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则sn存在最大值；若a10，d0，则sn存在最小值诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nn*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()2(2014福建卷)等差数列an的前n项和为sn，若a12，s312，则a6等于()a8 b10 c12 d14解析由题知3a1d12，a12，解得d2，又a6a15d，a612.故选c.答案c3(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为sn，若sm12，sm0，sm13，则m()a3 b4 c5 d6解析数列an为等差数列，且前n项和为sn，数列也为等差数列，即0，解得m5，经检验为原方程的解，故选c.答案c4(2014北京卷)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大解析因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.当n8时，其前n项和最大答案85(人教a必修5p68a8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案180考点一等差数列的性质及基本量的求解【例1】 (1)设sn为等差数列an的前n项和，s84a3，a72，则a9()a6 b4 c2 d2解析法一(常规解法)：设公差为d，则8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6.法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质可得，s84(a3a6)，又s84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.答案a(2)(2014浙江卷)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为sn，a11，s2s336.求d及sn；求m，k(m，kn*)的值，使得amam1am2amk65.解由题意知(2a1d)(3a13d)36，将a11代入上式解得d2或d5.因为d0，所以d2.从而an2n1，snn2(nn*)由得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由m，kn*知2mk1k11，故所以规律方法(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程但要注意性质运用的条件，如mnpq，则amanapaq(m，n，p，qn*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷【训练1】 (1)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()a0 b37 c100 d37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()a13 b12 c11 d10(3)已知等差数列an的前n项和为sn，且s1010，s2030，则s30_解析(1)设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，anbn为等差数列，又a1b1a2b2100，anbn为常数列，a37b37100.(2)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，所以sn390，即n13.(3)s10，s20s10，s30s20成等差数列，2(s20s10)s10s30s20，4010s3030，s3060.答案(1)c(2)a(3)60考点二等差数列的判定与证明【例2】 (2014梅州调研改编)若数列an的前n项和为sn，且满足an2snsn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n2时，由an2snsn10，得snsn12snsn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)解由(1)可得2n，sn.当n2时，ansnsn1.当n1时，a1不适合上式故an规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练2】 (2015西安模拟)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为sn，且满足a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由解(1)设等差数列an的公差为d，且d0，由等差数列的性质，得a2a5a3a422，所以a3，a4是关于x 的方程x222x1170的解，所以a39，a413，易知a11，d4，故通项为an1(n1)44n3.(2)由(1)知sn2n2n，所以bn.法一所以b1，b2，b3(c0)令2b2b1b3，解得c.当c时，bn2n，当n2时，bnbn12.故当c时，数列bn为等差数列法二由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nn*)，数列bn是公差为2的等差数列即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列考点三等差数列前n项和的最值问题【例3】 等差数列an的首项a10，设其前n项和为sn，且s5s12，则当n为何值时，sn有最大值？深度思考解决此类问题你首先想到的是哪种方法？在这里提醒大家：本题可用四种方法，请大家先思考解法一由题意知d0，因为snn2n，则可设f(x)x2x，如图：由s5s12知，抛物线的对称轴为x，由图可知，当1n8时，sn单调递增；当n9时，sn单调递减又nn*，所以当n8或9时，sn最大法二设等差数列an的公差为d，由s5s12得5a110d12a166d，da10.所以snna1dna1(a1)a1(n217n)a1a1，因为a10，nn*，所以当n8或n9时，sn有最大值法三设等差数列an的公差为d，由法二得da10.设此数列的前n项和最大，则即解得即8n9，又nn*，所以当n8或n9时，sn有最大值法四同法二得da10，又s5s12，得a6a7a8a9a10a11a120，7a90，a90，当n8或9时，sn有最大值规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和snan2bn(a，b为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值【训练3】 (1)等差数列an的前n项和为sn，已知a5a74，a6a82，则当sn取最大值时，n的值是()a5 b6 c7 d8(2)(2014望江中学模拟)设数列an是公差d0的等差数列，sn为前n项和，若s65a110d，则sn取最大值时，n的值为()a5 b6 c5或6 d11(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和sn的最大值为_解析(1)依题意得2a64，2a72，a620，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当sn取最大值时，n6，选b.(2)由题意得s66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，sn最大，选c.(3)因为等差数列an的首项a120，公差d2，代入求和公式得，snna1d20n2n221n，又因为nn*，所以n10或n11时，sn取得最大值，最大值为110.答案(1)b(2)c(3)110思想方法1判断数列为等差数列的方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nn*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：snan2bn(a，b为常数)an是等差数列2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解3在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定易错防范1当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数2公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列3求等差数列的前n项和sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014温州二模)记sn为等差数列an的前n项和，若1，则其公差d()a. b2c3 d4解析由1，得1，即a1d1，d2.答案b2设an是首项为a1，公差为1的等差数列，sn为其前n项和若s1，s2，s4成等比数列，则a1()a2 b2 c. d解析由题意知s1a1，s22a11，s44a16，因为s1，s2，s4成等比数列，所以ss1s4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1，故选d.答案d3(2015石家庄模拟)已知等差数列an，且3(a3a5)2(a7a10a13)48，则数列an的前13项之和为()a24 b39 c104 d52解析因为an是等差数列，所以3(a3a5)2(a7a10a13)6a46a1048，所以a4a108，其前13项的和为52，故选d.答案d4(2015广州综合测试)设sn是等差数列an的前n项和，公差d0，若s11132，a3ak24，则正整数k的值为()a9 b10 c11 d12解析依题意得s1111a6132，a612，于是有a3ak242a6，因此3k2612，k9，故选a.答案a5(2014武汉调研)已知数列an满足an1an，且a15，设an的前n项和为sn，则使得sn取得最大值的序号n的值为()a7 b8 c7或8 d8或9解析由题意可知数列an是首项为5，公差为的等差数列，所以an5(n1)，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以sn取得最大值时，n7或8，故选c.答案c二、填空题6(2014肇庆二模)在等差数列an中，a1533，a2566，则a35_解析a25a1510d663333，a35a2510d663399.答案997设sn为等差数列an的前n项和，s2s6，a41，则a5_解析由题意知解得a5a4d1(2)1.答案18已知等差数列an中，s39，s636，则a7a8a9_解析an为等差数列，s3，s6s3，s9s6成等差数列，2(s6s3)s3(s9s6)，a7a8a9s9s62(s6s3)s32(369)945.答案45三、解答题9(2014新课标全国卷)已知数列an的前n项和为sn，a11，an0，anan1sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由(1)证明由题设知，anan1sn1，an1an2sn11.两式相减得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)解由题设知，a11，a1a2s11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列10设等差数列an的前n项和为sn，若a10，s2 0150.(1)求sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使ansn.解(1)设公差为d，则由s2 01502 015a1d0a11 007d0，da1，a1ana1，sn(a1an)a1(2 015nn2)a10，nn*，当n1 007或1 008时，sn取最小值504a1.(2)ana1，snan(2 015nn2)a1.a10，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nn*能力提升题组(建议用时：25分钟)11(2015东北三省四市联考)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为 ()a. b. c. d.解析依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a2m，am，a，am，a2m，则有解得a20，m，a2m，即其中最小一份为，故选a.答案a12(2014杭州质量检测)设sn为等差数列an的前n项和，(n1)snnsn1(nn*)若1，则()asn的最大值是s8 bsn的最小值是s8csn的最大值是s7 dsn的最小值是s7解析由条件得，即，所以anan1，所以等差数列an为递增数列又1，所以a80，a70，即数列an前7项均小于0，第8项大于零，所以sn的最小值为s7，故选d.答案d13(2014陕西卷)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nn*，则f2 014(x)的表达式为_解析由已知易知fn(x)0，fn1(x)f(fn(x)，11，是以为首项，1为公差的等差数列(n1)1，fn(x)，f2 014(x).答案14已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为sn，且sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和tn.解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以skka1d2k2k2k.由sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以tn.第3讲 等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系知 识 梳 理1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：q(n2，q为非零常数)，或q(nn*，q为非零常数)2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，snna1；当q1时，sn.3等比数列及前n项和的性质(1)如果a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即：g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2ab.(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则akalaman(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(4)当q1，或q1且n为奇数时，sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为qn诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)满足an1qan(nn*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为sn.()(4)数列an为等比数列，则s4，s8s4，s12s8成等比数列()2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()a7 b5 c5 d7解析法一由题意得或a1a10a1(1q9)7.法二由解得或或a1a10a1(1q9)7.答案d3(2014大纲全国卷)设等比数列an的前n项和为sn.若s23，s415，则s6()a31 b32c63 d64解析由等比数列的性质，得(s4s2)2s2(s6s4)，即1223(s615)，解得s663.故选