【创新设计】高考数学一轮复习 第九章 第1讲 直线的方程知识点 新人教A版 .doc

第1讲直线的方程最新考纲1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；范围：直线的倾斜角的取值范围是0，)(2)直线的斜率定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan_；斜率公式：经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k2直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式axbyc0(a2b20)所有直线3.线段的中点坐标公式若点p1，p2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段p1p2的中点m的坐标为(x，y)，则此公式为线段p1p2的中点坐标公式诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(4)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(5)经过点p(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(6)经过任意两个不同的点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()2直线xya0(a为常数)的倾斜角为()a30 b60 c150 d120解析直线的斜率为ktan ，又因为0180，所以60.答案b3如果ac0，且bc0，在y轴上的截距0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限答案c4已知直线l经过点p(2，5)，且斜率为，则直线l的方程为()a3x4y140 b3x4y140c4x3y140 d4x3y140解析由点斜式，得y5(x2)，即3x4y140.答案a5(人教a必修2p100a9改编)过点p(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为_解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.答案3x2y0或xy50考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)设直线l的方程为xycos 30(r)，则直线l的倾斜角的范围是()a0，) b.c. d.(2)经过p(0，1)作直线l，若直线l与连接a(1，2)，b(2，1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的范围是_解析(1)当cos 0时，方程变为x30，其倾斜角为；当cos 0时，由直线方程可得斜率k.cos 1，1且cos 0，k(，11，)，即tan (，11，)，又0，)，.综上知，倾斜角的范围是，故选c.(2)法一如图所示，kpa1，kpb1，由图可观察出：直线l倾斜角的范围是.深度思考第(2)小题同学们的解法应该多数是求kpa，kpb，再根据图象观察出倾斜角的范围，但是还有一种方法不妨试一试，在线性规划中提到过法二由题意知，直线l存在斜率设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y1kx，即kxy10.a，b两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，(k21)(2k11)0，即2(k1)(k1)0，1k1.直线l的倾斜角的范围是.答案(1)c(2)规律方法(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数ytan x在0，)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在0，)上并不是单调的；(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线无斜率【训练1】 (1)直线xsin y10的倾斜角的变化范围是()a. b(0，)c. d.(2)已知线段pq两端点的坐标分别为p(1，1)和q(2，2)，若直线l：xmym0与线段pq有交点，则实数m的取值范围是_解析(1)直线xsin y10的斜率是ksin ，又1sin 1，1k1，当0k1时，倾斜角的范围是；当1k0时，倾斜角的范围是.(2)如图所示，直线l：xmym0过定点a(0，1)，当m0时，kqa，kpa2，kl，2或，解得0m或m0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段pq有交点实数m的取值范围为m.答案(1)d(2)考点二直线方程的求法【例2】 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (00；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得a，b(0，12k)依题意得解得k0.s|oa|ob|12k|(224)4，等号成立的条件是k0且4k，即k，smin4，此时直线l的方程为x2y40.思想方法1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2求斜率可用ktan (90)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”3求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法易错防范1求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()ak1k2k3bk3k1k2ck3k2k1dk1k3k2解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选d.答案d2(2015太原质检)若直线l与直线y1，x7分别交于点p，q，且线段pq的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()a. b c d.解析依题意，设点p(a，1)，q(7，b)，则有解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为.答案b3两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是()答案a4(2014郑州模拟)直线l经过点a(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是()a.b.c(，1)d(，1)解析设直线的斜率为k，如图，过定点a的直线经过点b时，直线l在x轴上的截距为3，此时k1；过定点a的直线经过点c时，直线l在x轴上的截距为3，此时k，满足条件的直线l的斜率范围是(，1).答案d5设直线axbyc0的倾斜角为，且sin cos 0，则a，b满足()aab1 bab1cab0 dab0解析由sin cos 0，得1，即tan 1.又因为tan ，所以1.即ab，故应选d.答案d二、填空题6若点a(4，3)，b(5，a)，c(6，5)三点共线，则a的值为_解析kac1，kaba3.由于a，b，c三点共线，所以a31，即a4.答案47(2015烟台模拟)直线3x4yk0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k_解析令x0，得y；令y0，得x，则有2，所以k24.答案248一条直线经过点a(2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_解析设所求直线的方程为1.a(2，2)在此直线上，1.又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，|a|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解故所求的直线方程为1或1，即x2y20或2xy20为所求直线的方程答案x2y20或2xy20三、解答题9已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点a(3，4)；(2)斜率为.解(1)设直线l的方程是yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3，3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，b1.直线l的方程为x6y60或x6y60.10设直线l的方程为(a1)xy2a0(ar)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，显然相等a2，方程即为3xy0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a2，即a11，a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，由题意得或a1.综上可知a的取值范围是(，1能力提升题组(建议用时：25分钟)11(2015长春三校调研)一次函数yx的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()am1，且n1 bmn0cm0，且n0 dm0，且n0解析因为yx经过第一、三、四象限，故0，0，即m0，n0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn0.答案b12已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于a，b两点，若动点p(a，b)在线段ab上，则ab的最大值为_解析直线方程可化为y1，故直线与x轴的交点为a(2，0)，与y轴的交点为b(0，1)，由动点p(a，b)在线段ab上，可知0b1，且a2b2，从而a22b，故ab(22b)b2b22b2，由于0b1，故当b时，ab取得最大值.答案13.如图，射线oa，ob分别与x轴正半轴成45和30角，过点p(1，0)作直线ab分别交oa，ob于a，b两点，当ab的中点c恰好落在直线yx上时，则直线ab的方程为_解析由题意可得koatan 451，kobtan(18030)，所以直线loa和直线lob的方程分别为yx，yx，设a(m，m)，b(n，n)，所以ab的中点c，由点c在yx上，且a，p，b三点共线得解得m，所以a(，)又p(1，0)，所以kabkap，所以lab：y(x1)，即直线ab的方程为(3)x2y30.答案(3)x2y3014直线l过点p(1，4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于a，b两点(1)当|pa|pb|最小时，求l的方程；(2)当|oa|ob|最小时，求l的方程解依题意，l的斜率存在，且斜率为负设l：y4k(x1)(k0)令y0，可得a；令x0，可得b(0，4k)(1)|pa|pb| (1k2)48(注意k0)当且仅当k且k0即k1时，|pa|pb|取最小值这时l的方程为xy50.(2)|oa|ob|(4k)59.当且仅当k且k0，即k2时，|oa|ob|取最小值这时l的方程为2xy60.第2讲两直线的位置关系最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线相交直线l1：a1xb1yc10和l2：a2xb2yc20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的距离公式为|p1p2|特别地，原点o(0，0)与任一点p(x，y)的距离|op|(2)点到直线的距离公式平面上任意一点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：axbyc10，l2：axbyc20间的距离d诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20(a1，b1，c1，a2，b2，c2为常数)，若直线l1l2，则a1a2b1b20.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()2过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是()ax2y10 bx2y10c2xy20 dx2y10解析设所求直线方程为x2yc0，将(1，0)代入得c1.所求直线方程为x2y10.答案a3(2014福建卷)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是()axy20 bxy20cxy30 dxy30解析已知圆的圆心为(0，3)，直线xy10的斜率为1，则所求直线的斜率为1，所以所求直线的方程为yx3，即xy30.故选d.答案d4直线2x2y10，xy20之间的距离是_解析先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.答案5(人教a必修2p114a4改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.答案0或1考点一两直线的平行与垂直【例1】 已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值解(1)法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；深度思考建议同学们用两种方法来求解：一是求直线的斜率，利用斜率的关系求解；二是利用直线方程的系数间的关系求解当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，a1时，l1l2.法二由a1b2a2b10，得a(a1)120，由a1c2a2c10，得a(a21)160，l1l2a1，故当a1时，l1l2.(2)法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1a.法二由a1a2b1b20，得a2(a1)0a.规律方法(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论【训练1】 已知过点a(2，m)和点b(m，4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()a10 b2 c0 d8解析l1l2，kab2，解得m8.又l2l3，(2)1，解得n2，mn10.答案a考点二两条直线的交点与点到直线的距离【例2】 直线l经过点p(2，5)且与点a(3，2)和点b(1，6)的距离之比为12，求直线l的方程解当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x2，点a到直线l的距离为d11，点b到直线l的距离为d23，不符合题意，故直线l的斜率必存在直线l过点p(2，5)，设直线l的方程为y5k(x2)，即kxy2k50.点a(3，2)到直线l的距离d1，点b(1，6)到直线l的距离d2.d1d212，k218k170，k11，k217.所求直线方程为xy30和17xy290.规律方法利用距离公式应注意：(1)点p(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等【训练2】 (1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_(2)直线l过点p(1，2)且到点a(2，3)和点b(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_解析(1)法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点a(4，0)，b(0，2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点p(2，1)，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段ab上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kpakkpb.kpa，kpb.k.(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意法二当abl时，有kkab，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过ab中点时，ab的中点为(1，4)直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案(1)(2)x3y50或x1考点三对称问题【例3】 已知直线l：2x3y10，点a(1，2)求：(1)点a关于直线l的对称点a的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点a(1，2)对称的直线l的方程解(1)设a(x，y)，再由已知解得a.(2)在直线m上取一点，如m(2，0)，则m(2，0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为m(a，b)，则解得m.设m与l的交点为n，则由得n(4，3)又m经过点n(4，3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)法一在l：2x3y10上任取两点，如m(1，1)，n(4，3)则m，n关于点a的对称点m，n均在直线l上易知m(3，5)，n(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二设p(x，y)为l上任意一点，则p(x，y)关于点a(1，2)的对称点为p(2x，4y)，p在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.规律方法(1)点关于点的对称：求点p关于点m(a，b)的对称点q的问题，主要依据m是线段pq的中点，即xpxq2a，ypyq2b.(2)直线关于点的对称：求直线l关于点m(m，n)的对称直线l的问题，主要依据l上的任一点t(x，y)关于m(m，n)的对称点t(2mx，2ny)必在l上(3)点关于直线的对称：求已知点a(m，n)关于已知直线l：ykxb的对称点a(x0，y0)的坐标，一般方法是依据l是线段aa的垂直平分线，列出关于x0，y0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程(4)直线关于直线的对称：此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行【训练3】 光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程解法一由得反射点m的坐标为(1，2)又取直线x2y50上一点p(5，0)，设p关于直线l的对称点p(x0，y0)，由ppl可知，kpp.而pp的中点q的坐标为，q点在l上，3270.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.法二设直线x2y50上任意一点p(x0，y0)关于直线l的对称点为p(x，y)，则，又pp的中点q在l上，3270，由可得p点的横、纵坐标分别为x0，y0，代入方程x2y50中，化简得29x2y330，所求反射光线所在的直线方程为29x2y330. 微型专题直线系方程的灵活应用直线系指具有某一共同性质的直线的集合，它有多种不同的情况，其中以过两条直线交点的直线系为主利用直线系方程可以降低运算难度，使解题的过程更加简捷，因此在高考中这类问题也可能会成为考查的重点【例4】 已知直线l与点a(3，3)和b(5，2)的距离相等，且过两直线l1：3xy10和l2：xy30的交点，求直线l的方程点拨不需要解两直线l1与l2的交点，可设直线l为：3xy1(xy3)0，再分两种情况分别求解解根据条件可设直线l的方程为3xy1(xy3)0，即(3)x(1)y310；直线l与点a(3，3)和b(5，2)的距离相等可分为两种情况：(1)当直线l与a，b的连线平行时，可知kab，则，解得7，此时直线l的方程为x2y50；(2)当直线l过线段ab的中点m时，将点m代入直线l的方程，可得4(3)(1)310，解得，此时直线l的方程为x6y110.综上，可知所求直线l的方程为x2y50或x6y110.点评一般情况下，若两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20有交点，则过l1与l2的交点的直线系方程可设为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(不含l2)，利用这一结论可以避免求交点时解方程组带来的麻烦.思想方法1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法3光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称易错防范1在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑2使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时一定要注意先把两直线方程中的x，y的系数化成相等基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1直线l过点(1，2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()a3x2y10 b3x2y70c2x3y50 d2x3y80解析由题意知，直线l的斜率是，因此直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.答案a2(2014济南模拟)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a()a1 b2 c0或2 d1或2解析若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线若平行，则有，解得a1或2.答案d3两直线3xy30与6xmy10平行，则它们之间的距离为()a4 b.c. d.解析把3xy30化为6x2y60，则两平行线间的距离d.答案d4(2015金华调研)当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析解方程组得两直线的交点坐标为，因为0k，所以0，故交点在第二象限答案b5若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点()a(0，4) b(0，2) c(2，4) d(4，2)解析直线l1：yk(x4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2)答案b二、填空题6已知直线l1：ax3y10与直线l2：2x(a1)y10垂直，则实数a_解析由两直线垂直的条件得2a3(a1)0，解得a.答案7若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_解析由得点(1，2)满足方程mx2y50，即m12250，m9.答案98(2015秦皇岛检测)已知直线l过点p(3，4)且与点a(2，2)，b(4，2)等距离，则直线l的方程为_解析显然直线l斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.答案2x3y180或2xy20三、解答题9已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1，l2重合解(1)由已知13m(m2)，即m22m30，解得m1且m3.故当m1且m3时，l1与l2相交(2)当1(m2)m30，即m时，l1l2.(3)当13m(m2)且12m6(m2)或m2m36，即m1时，l1l2.(4)当13m(m2)且12m6(m2)，即m3时，l1与l2重合10已知abc的顶点a(5，1)，ab边上的中线cm所在直线方程为2xy50，ac边上的高bh所在直线方程为x2y50，求直线bc的方程解依题意知：kac2，a(5，1)，lac为2xy110，联立lac，lcm得c(4，3)设b(x0，y0)，ab的中点m为，代入2xy50，得2x0y010，b(1，3)，kbc，直线bc的方程为y3(x4)，即6x5y90.能力提升题组(建议用时：25分钟)11(2014泉州一模)若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是()a2 b2 c4 d2解析因为点(m，n)在直线4x3y100上，所以4m3n100.欲求m2n2的最小值可先求的最小值，而表示4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点的直线与直线4m3n100垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2n2的最小值为4.答案c12.如图所示，已知两点a(4，0)，b(0，4)，从点p(2，0)射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到p点，则光线所经过的路程是 ()a2 b6 c3 d2解析易得ab所在的直线方程为xy4，由于点p关于直线ab对称的点为a1(4，2)，点p关于y轴对称的点为a2(2，0)，则光线所经过的路程即a1(4，2)与a2(2，0)两点间的距离于是|a1a2|2.答案a13(2014四川卷)设mr，过定点a的动直线xmy0和过定点b的动直线mxym30交于点p(x，y)，则|pa|pb|的最大值是_解析易知a(0，0)，b(1，3)且两直线互相垂直，即apb为直角三角形，|pa|pb|5.答案514已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点p，使p同时满足下列三个条件：点p在第一象限；点p到l1的距离是点p到l2的距离的；点p到l1的距离与点p到l3的距离之比是.若能，求点p的坐标；若不能，说明理由解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点p，设点p(x0，y0)若p点满足条件，则p点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以2x0y00或2x0y00；若p点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点p在第一象限，所以3x020不可能联立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在点p同时满足三个条件.第3讲圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知 识 梳 理1圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心c(a，b)半径为r一般x2y2dxeyf0充要条件：d2e24f0圆心坐标：半径r2. 点与圆的位置关系平面上的一点m(x0，y0)与圆c：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)drm在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2m在圆外；(2)drm在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2m在圆上；(3)drm在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2m在圆内诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的充要条件是ac0，b0，d2e24af0.()2方程|x|1所表示的曲线是()a一个圆 b两个圆c半个圆 d两个半圆解析由题意知，(|x|1)2(y1)21又|x|10，即x1或x1，故表示两个半圆答案d3若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()a(1，1) b(0，1)c(，1)(1，) da1解析因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a1.答案a4(人教a必修2p124a4改编)圆c的圆心在x轴上，并且过点a(1，1)和b(1，3)，则圆c的方程为_解析设圆心坐标为c(a，0)，点a(1，1)和b(1，3)在圆c上，|ca|cb|，即，解得a2，所以圆心为c(2，0)，半径|ca|，圆c的方程为(x2)2y210.答案(x2)2y2105(2014山东卷)圆心在直线x2y0上的圆c与y轴的正半轴相切，圆c截x轴所得弦的长为2，则圆c的标准方程为_解析因为圆心在直线x2y0上，且圆c与y轴相切，所以可设圆心坐标为(2a，a)，则(2a)2a2()2，解得a1.又圆c与y轴的正半轴相切，所以a1，故圆c的标准方程为(x2)2(y1)24.答案(x2)2(y1)24考点一圆的方程的求法【例1】 (1)经过点p(2，4)，q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为_(2)已知圆c与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆c的方程为()a(x1)2(y1)22b(x1)2(y1)22c(x1)2(y1)22d(x1)2(y1)22解析(1)设圆的方程为x2y2dxeyf0，将p，q两点的坐标分别代入得又令y0，得x2dxf0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6有d24f36，由，解得d2，e4，f8，或d6，e8，f0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.深度思考第(2)小题常规解法有两种：一是待定系数法；二是几何法，作为选择题的解法也可以采用验证解答(2)法一设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为(a，a)，则，即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，故圆c的方程为(x1)2(y1)22.法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d2；圆心是直线xy0被这两条平行线所截线段的中点，直线xy0与直线xy0的交点坐标是(0，0)，与直线xy40的交点坐