【创新设计】高考数学一轮复习 第二章 第1讲 相似三角形的判定及有关性质知识点 新人教A版 .doc

第1讲相似三角形的判定及有关性质最新考纲1.了解平行线等分线段定理和平行截割定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理知 识 梳 理1平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似(2)相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项如图，在rtabc中，cd是斜边上的高，则有cd2adbd，ac2adab，bc2bdab诊 断 自 测1.如图，已知abc，直线m，n分别与a，b，c交于点a，b，c和a，b，c，如果abbc1，ab，则bc_解析由平行线等分线段定理可直接得到答案答案2(2014广东卷)如图，在平行四边形abcd中，点e在ab上且eb2ae，ac与de交于点f，则_解析aefcdf，329.答案93.如图，bdae，c90，ab4，bc2，ad3，则ec_解析在rtadb中，db，依题意得，adbace，可得ec2.答案24.如图，c90，a30，e是ab中点，deab于e，则ade与abc的相似比是_解析e为ab中点，即aeab，在rtabc中，a30，acab.又rtaedrtacb，相似比为.故ade与abc的相似比为1.答案15.(2015湛江模拟)如图，在abc中，d是ac的中点，e是bd的中点，ae交于bc于f，则_解析如图，过点d作dgaf，交bc于点g，易得fggc，又在bdg中，bede，即ef为bdg的中位线，故bffg，因此.答案考点一平行截割定理的应用【例1】 如图，在abc中，debc，efcd，若bc3，de2，df1，则ab的长为_解析由，又df1，故可解得af2，ad3，又，ab.答案规律方法利用平行截割定理解决问题，特别要注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果【训练1】 如图，在梯形abcd中，abcd，ab4，cd2.e，f分别为ad，bc上的点，且ef3，efab，则梯形abfe与梯形efcd的面积比为_解析如图，延长ad，bc交于一点o，作ohab于点h.，得x2h1，得h1h2.s梯形abfe(34)h2h2，s梯形efcd(23)h1h1，s梯形abfes梯形efcd75.答案75考点二相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在rtabc中，acb90，cdab，e为ac的中点，ed，cb延长线交于一点f.求证：fd2fbfc.证明e是rtacd斜边中点，edea，a1，12，2a，fdccdb2902，fbdacba90a，fbdfdc，f是公共角，fbdfdc，fd2fbfc.规律方法(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等【训练2】 (2013陕西卷)如图，ab与cd相交于点e，过e作bc的平行线与ad的延长线交于点p，已知ac，pd2da2，则pe_解析pebc，cped，又ca，则有aped，又p为公共角，所以pdepea，即pe2pdpa236，故pe.答案考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】 如图所示， ad，be是abc的两条高，dfab，垂足为f，直线fd交be于点g，交ac的延长线于h，求证：df2gfhf.证明hbac90，gbfbac90，hgbf.afhgfb90，afhgfb.，afbfgfhf.因为在rtabd中，fdab，df2afbf，所以df2gfhf.规律方法(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法【训练3】 如图，在rtabc中，acb90，cdab于点d，ad4，sinacd，则cd_，bc_解析在rtadc中，ad4，sinacd，得ac5，cd3，又由射影定理ac2adab，得ab.bdabad4，由射影定理bc2bdab，bc.答案3(建议用时：50分钟)一、填空题1如图，bd，ce是abc的高，bd，ce交于f，写出图中所有与ace相似的三角形为_解析rtace与rtfcd和rtabd各共一个锐角，因而它们均相似，又易知bfea，故rtacertfbe.答案fcd、fbe、abd2. 如图，在abc中，m，n分别是ab，bc的中点，an，cm交于点o，那么mon与aoc面积的比是_解析m，n分别是ab，bc中点，故mn綉ac，moncoa，.答案143. (2015渭南模拟)如图，bd，aebc，acd90，且ab6，ac4，ad12，则ae_解析由于acdaeb90，bd，abeadc，.又ac4，ad12，ab6，ae2.答案24. (2014佛山质检)如图，在直角梯形abcd中，dcab，cbab，abada，cd，点e，f分别为线段ab，ad的中点，则ef_解析连接de和bd，依题知，ebdc，ebdc，cbab，ebcd为矩形，deab，又e是ab的中点，所以abd为等腰三角形故addba，e，f分别是ad，ab的中点，efdba.答案5. 如图，abcafe，ef8，且abc与afe的相似比是32，则bc等于_解析abcafe，.又ef8，bc12.答案126已知圆的直径ab13，c为圆上一点，过c作cdab于d(adbd)，若cd6，则ad_解析如图，连接ac，cb，ab是o的直径，acb90.设adx，cdab于d，由射影定理得cd2addb，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.adbd，ad9.答案97(2013广东卷)如图，在矩形abcd中，ab，bc3，beac，垂足为e，则ed_解析在rtabc中，bc3，ab，所以bac60.因为beac，ab，所以ae，在ead中，ead30，ad3，由余弦定理知，ed2ae2ad22aeadcosead923，故ed.答案8. (2014茂名模拟)如图，已知abefcd，若ab4，cd12，则ef_解析abcdef，4(bcbf)12bf，bc4bf，4，ef3.答案39. 如图，在梯形abcd中，adbc，bd与ac相交于o，过o的直线分别交ab，cd于e，f，且efbc，若ad12，bc20，则ef_解析efadbc，oadocb，oaocadbc1220，oaecab，oebcoaca1232，ef22015.答案15二、解答题10. 如图，abc中，abac，bac90，aeac，bdab，点f在bc上，且cfbc.求证：(1)efbc；(2)adeebc.证明设abac3a，则aebda，cfa.(1)，.又c为公共角，故bacefc，由bac90，efc90，efbc.(2)由(1)得efa，故，.daebef90，adefbe，adeebc.11如图，已知abc中的两条角平分线ad和ce相交于h，b60，f在ac上，且aeaf.求证：(1)b，d，h，e四点共圆；(2)ec平分def.证明(1)在abc中，因为b60，所以bacbca120.因为ad，ce是角平分线，所以hachca60，故ahc120，于是ehdahc120.因为ebdehd180，所以b，d，h，e四点共圆(2)连接bh，则bh为abc的角平分线，hbd30，由(1)知b，d，h，e四点共圆，所以cedhbd30，因为aeaf，ad为角平分线，所以efad，又aheebd60，所以cef30，所以ec平分def.12. 如图，在等腰梯形abcd中，adbc，abdc，过点d作ac的平行线de，交ba的延长线于点e，求证：(1)abcdcb；(2)dedcaebd.证明(1)四边形abcd是等腰梯形，acbd.abdc，bccb，abcdcb.(2)abcdcb，acbdbc，abcdcb，adbc，dacacb，eadabc，dacdbc，eaddcb，edac，edadac，edadbc，adecbd.debdaedc，dedcaebd.第2讲直线与圆最新考纲1.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；2.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理知 识 梳 理1圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论：()推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等()推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数2弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角3圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦ab，cd相交于圆内点p(1)papbpcpd；(2)acpbdp(1)在pa，pb，pc，pd四线段中知三求一；(2)求弦长及角割线定理pab，pcd是o的割线(1)papbpcpd；(2)pacpdb(1)求线段pa，pb，pc，pd；(2)应用相似求ac，bd切割线定理pa切o于a，pbc是o的割线(1)pa2pbpc；(2)pabpca(1)已知pa，pb，pc知二可求一；(2)求解ab，ac切线长定理pa，pb是o的切线(1)papb；(2)opaopb(1)证线段相等，已知pa求pb；(2)求角5.圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理1：圆内接四边形的对角互补定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆诊 断 自 测1. 如图，abc中，c90，ab10，ac6，以ac为直径的圆与斜边交于点p，则bp长为_解析连接cp.由推论2知cpa90，即cpab，由射影定理知，ac2apab.ap3.6，bpabap6.4.答案6.42.如图，ab，ac是o的两条切线，切点分别为b，c，d是优弧上的点，已知bac80，那么bdc_解析连接ob、oc，则obab，ocac，boc180bac100，bdcboc50.答案503(2014陕西卷)如图，abc中，bc6，以bc为直径的半圆分别交ab，ac于点e，f，若ac2ae，则ef_解析利用相似三角形的性质求解aa，aefacb，aefacb，2，ef3.答案34.(2015广州调研)如图，四边形abcd内接于o，bc是直径，mn与o相切，切点为a，mab35，则d_解析连接bd，由题意知，adbmab35，bdc90，故adcadbbdc125.答案1255如图所示，过点p的直线与o相交于a，b两点若pa1，ab2，po3，则o的半径r_解析设o的半径为r(r0)，pa1，ab2，pbpaab3.延长po交o于点c，则pcpor3r.设po交o于点d，则pd3r.由圆的割线定理知，papbpdpc，13(3r)(3r)，则r.答案考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】 如图所示，o的直径为6，ab为o的直径，c为圆周上一点，bc3，过c作圆的切线l，过a作l的垂线ad，ad分别与直线l、圆交于d、e.(1)求dac的度数；(2)求线段ae的长解(1)由已知adc是直角三角形，易知cab30，由于直线l与o相切，由弦切角定理知bcf30，由dcaacbbcf180，又acb90，知dca60，故在rtadc中，dac30.(2)法一连接be，如图1所示，eab60cba，ab为公共边，则rtabertbac，所以aebc3.图1图2法二连接ec，oc，如图2所示，则由弦切角定理知，dcecae30，又dca60，故eca30，又因为cab30，故ecacab，从而ecao，由ocl，adl，可得ocae，故四边形aoce是平行四边形，又因为oaoc，故四边形aoce是菱形，故aeao3.规律方法(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【训练1】 如图，abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e.(1)证明：abeadc；(2)若abc的面积sadae，求bac的大小(1)证明由已知条件，可得baecad.因为aeb与acd是同弧所对的圆周角所以aebacd.故abeadc.(2)解因为abeadc，所以，即abacadae又sabacsinbac，且sadae，故abacsinbacadae，则sinbac1.又bac为abc的内角，所以bac90.考点二与圆有关的比例线段【例2】 如图，pa切o于点a，割线pbc交o于点b，c，apc的角平分线分别与ab、ac相交于点d、e，求证：(1)adae；(2)ad2dbec.证明(1)aedepcc，adeapdpab.因pe是apc的角平分线，故epcapd.又pa是o的切线，故cpab.所以aedade.故adae.(2)pcepad；paepbd.又pa是切线，pbc是割线pa2pbpc.故，又adae，故ad2dbec.规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理【训练2】 (2013天津卷)如图，abc为圆的内接三角形，bd为圆的弦，且bdac.过点a作圆的切线与db的延长线交于点e，ad与bc交于点f.若abac，ae6，bd5，则线段cf的长为_解析由切割线定理得ae2ebed，解得eb4.因为abac，所以abcacbadb.由弦切角定理得eabeda，所以eababc，则aebc，因为acbd，所以四边形aebc是平行四边形所以aebc6，aceb4，又由题意可得cafcba，所以，cf.答案考点三圆内接四边形的判定及应用【例3】 (2015银川一中月考)如图，已知ap是o的切线，p为切点，ac是o的割线，与o交于b、c两点，圆心o在pac的内部，点m是bc的中点(1)证明：a、p、o、m四点共圆；(2)求oamapm的大小(1)证明连接op，om，因为ap与o相切于点p，所以opap.因为m是o的弦bc的中点，所以ombc，于是opaoma180.由圆心o在pac的内部，可知四边形apom的对角互补，所以a、p、o、m四点共圆(2)解由(1)得a、p、o、m四点共圆，所以oamopm，由(1)得opap，因为圆心o在pac的内部，所以opmapm90，所以oamapm90.规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆【训练3】 如下图，已知ab为圆o的一条直径，以端点b为圆心的圆交直线ab于c，d两点，交圆o于e，f两点，过点d作垂直于ad的直线，交直线af于h点(1)求证：b，d，h，f四点共圆；(2)若ac2，af2，求bdf外接圆的半径(1)证明因为ab为圆o的一条直径，所以afb90，所以bfh90.又dhbd，所以hdb90，所以bfhhdb180，所以b，d，h，f四点共圆(2)解由题意知ah与圆b相切于点f，由切割线定理得af2acad，即(2)22ad，解得ad4，所以bd(adac)1，bfbd1.易证adhafb，所以，得dh，连接bh，由(1)可知bh为bdf外接圆的直径，bh，故bdf外接圆的半径为.(建议用时：50分钟)一、填空题1. 如图，ab是o的直径，mn与o切于点c，acbc，则sinmca_解析由弦切角定理得，mcaabc，sin abc，则sin mca.答案2(2014湖北卷)如图，p为o外一点，过p点作o的两条切线，切点分别为a，b.过pa的中点q作割线交o于c，d两点若qc1，cd3，则pb_解析由题意qa2qcqd1(13)4，qa2，pa4，papb，pb4.答案43. 如图，已知ab和ac是圆的两条弦，过点b作圆的切线与ac的延长线相交于点d.过点c作bd的平行线与圆相交于点e，与ab相交于点f，af3，fb1，ef，则线段cd的长为_解析因为afbfefcf，解得cf2，因为cfbd，所以即，bd.设cdx，ad4x，所以dcdabd2即4x2，所以x.答案4. 如图，在abc中，abac，c72，o过a，b两点且与bc相切于点b，与ac交于点d，连接bd，若bc1，则ac_解析由题易知，cabc72，adbc36，所以bcdacb，所以bcaccdcb，又易知bdadbc，所以bc2cdac(acbc)ac，解得ac2.答案25. 如图，在圆o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e，efdb，垂足为f，若ab6，ae1，则dfdb_解析由题意知，ab6，ae1，be5.cedede2aebe5.在rtdeb中，efdb，由射影定理得dfdbde25.答案56. 如图，直线pb与圆o相切于点b，d是弦ac上的点，pbadba.若adm，acn，则ab_解析pb切o于点b，pbaacb.又pbadba，dbaacb，又a是公共角，abdacb.，ab2adacmn，ab.答案7. 如图，o和o相交于a，b两点，过a作两圆的切线分别交两圆于c，d.若bc2，bd4，则ab的长为_解析ac、ad分别是两圆的切线，c2，1d，acbdab.，ab2bcbd248.ab2(舍去负值)答案28(2013湖南卷)如图，在半径为的o中，弦ab，cd相交于点p，papb2，pd1，则圆心o到弦cd的距离为_解析由相交弦定理得papbpcpd.又papb2，pd1，则pc4，cdpcpd5.过o作cd的垂线oe交cd于e，则e为cd中点，oe.答案9. (2013重庆卷)如图，在abc中，acb90，a60，ab20，过c作abc的外接圆的切线cd，bdcd，bd与外接圆交于点e，则de的长为_解析在rtacb中，acb90，a60，abc30.ab20，ac10，bc10.cd为切线，bcda60.bdc90，bd15，cd5.由切割线定理得dc2dedb，即(5)215de，de5.答案5二、解答题10. 如图，已知ab是o的直径，直线cd与o相切于点c，ac平分dab.(1)求证：ocad；(2)若ad2，ac，求ab的长(1)证明aoco，oacaco，ac平分dab，dacoac，dacaco，ocad.(2)解直线cd与o相切于点c，occd，由(1)知ocad，addc，即adc90，连接bc，ab是o的直径，acb90，adcacb，又dacbac，adcacb，ad2，ac，ab.11. (2014辽宁卷)如图，ep交圆于e，c两点，pd切圆于d，g为ce上一点且pgpd，连接dg并延长交圆于点a，作弦ab垂直ep，垂足为f.(1)求证：ab为圆的直径；(2)若acbd，求证：abed.证明(1)因为pdpg，所以pdgpgd.由于pd为切线，故pdadba，又由于pgdega，故dbaega.所以dbabadegabad，从而bdapfa.由于afep，所以pfa90，于是bda90.故ab是直径(2)连接bc，dc.由于ab是直径，故bdaacb90.在rtbda与rtacb中，abba，acbd，从而rtbdartacb，于是dabcba.又因为dcbdab，所以dcbcba，故dcab.由于abep，所以dcep，dce为直角于是ed为直径由(1)得edab.12. 如图，已知ad是abc的外角eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长da交abc的外接圆于点f，连接fb，fc.(1)求证：fbfc；(2)求证：fb2fafd；(3)若ab是abc外接圆的直径，eac120，bc6 cm，求ad的长(1)证明因为ad平分eac，所以eaddac.因为四边形afbc内接于圆，所以dacfbc.因为eadfabfcb，所以fbcfcb，所以fbfc.(2)证明因为fabfcbfbc，afbbfd，所以fbafdb，所以，所以fb2fafd.(3)解因为ab是圆的直径，所以acb90，又eac120，所以abc30，daceac60，因为bc6，所以acbctanabc2，所以ad4(cm)最新考纲1.了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系；2.了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示；3.理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质；4.理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵；5.理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量知 识 梳 理1矩阵的乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：设a是一个二阶矩阵，、是平面上的任意两个向量，、1、2是任意三个实数，则a()a；a()aa；a(12)1a2a.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：性质：一般情况下，abba，即矩阵的乘法不满足交换律；矩阵的乘法满足结合律，即(ab)ca(bc)；矩阵的乘法不满足消去律2矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵a，b，若有abbae，则称a是可逆的，b称为a的逆矩阵若二阶矩阵a存在逆矩阵b，则逆矩阵是唯一的，通常记a的逆矩阵为a1，a1b.(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵a(aadbc0)，它的逆矩阵为a1(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组的系数矩阵a可逆，那么该方程组有唯一解，其中a1.3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设a是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得a，那么称为a的一个特征值，而称为a的一个属于特征值的一个特征向量(2)特征多项式与特征方程设是二阶矩阵a的一个特征值，它的一个特征向量为x，则a，即满足二元一次方程组故(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式0.记f()为矩阵a的特征多项式；方程0，即f()0称为矩阵a的特征方程(3)特征值与特征向量的计算如果是二阶矩阵a的特征值，则是特征方程f()2(ad)adbc0的一个根解这个关于的二元一次方程，得1、2，将1、2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解记x1，x2.则ax11x1、ax22x2，因此1、2是矩阵a的特征值，x1，x2为矩阵a的分别属于特征值1、2的一个特征向量诊 断 自 测1._解析.答案2若a，b，则ab_解析ab.答案3设a，b，则ab的逆矩阵为_解析a1，b1(ab)1b1a1.答案4函数yx2在矩阵m变换作用下的结果为_解析xx，y4y，代入yx2，得yx2，即yx2.答案yx25若a，则a的特征值为_解析a的特征多项式f()(1)(2)302328(7)(4)，a的特征值为17，24.答案7和4考点一矩阵与变换【例1】 (2014苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，如果矩阵m所对应的变换将直线xy1变换成x2y1，求a，b的值解设点(x，y)是直线xy1上任意一点，在矩阵m的作用下变成点(x，y)，则，所以因为点(x，y)，在直线x2y1上，所以(22b)x(a2)y1，即所以规律方法理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键【训练1】 已知变换s把平面上的点a(3，0)，b(2，1)分别变换为点a(0，3)，b(1，1)，试求变换s对应的矩阵t.解设t，则t：，解得t：，解得综上可知t.考点二二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵m所对应的线性变换把点a(x，y)变成点a(13，5)，试求m的逆矩阵及点a的坐标解由m，得|m|1，故m1.从而由得，故a(2，3)为所求规律方法求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解在求逆矩阵时要重视(ab)1b1a1性质的应用【训练2】 已知矩阵a，(1)求矩阵a的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组解(1)法一设逆矩阵为a1，则由，得解得a1.法二由公式知若a，则a1.(2)已知方程组可转化为即axb，其中a，x，b，且由(1)，得a1.因此，由axb，同时左乘a1，有a1axa1b.即原方程组的解为考点三求矩阵的特征值与特征向量【例3】 已知ar，矩阵a对应的线性变换把点p(1，1)变成点p(3，3)，求矩阵a的特征值以及每个特征值的一个特征向量解由题意，得a13，即a2，矩阵a的特征多项式为f()(1)24(1)(3)，令f()0，所以矩阵a的特征值为11，23.对于特征值11，解相应的线性方程组得一个非零解因此，是矩阵a的属于特征值11的一个特征向量；对于特征值23，解相应的线性方程组得一个非零解因此，是矩阵a的属于特征值23的一个特征向量规律方法已知a，求特征值和特征向量，其步骤为：(1)令f()(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量【训练3】 (2014扬州质检)已知矩阵m，求m的特征值及属于各特征值的一个特征向量解由矩阵m的特征多项式f()(3)210，解得12，24，即为矩阵m的特征值设矩阵m的特征向量为，当12时，由m2，可得可令x1，得y1，1是m的属于12的特征向量当24时，由m4，可得取x1，得y1，2是m的属于24的特征向量.(建议用时：50分钟)一、填空题1已知变换t：，则该变换矩阵为_解析可写成.答案2计算等于_解析.答案3矩阵的逆矩阵为_解析5，的逆矩阵为.答案4若矩阵a把直线l：2xy70变换成另一直线l：9xy910，则a_，b_解析取l上两点(0，7)和(3.5，0)，则，.由已知(7a，91)，(10.5，3.5b)在l上，代入得a0，b1.答案015矩阵m的特征值为_解析f()(6)(3)180.0或3.答案0或36已知矩阵m，则m(24)_解析24，m(24).答案7曲线c1：x22y21在矩阵m的作用下变换为曲线c2，则c2的方程为_解析设p(x，y)为曲线c2上任意一点，p(x，y)为曲线x22y21上与p对应的点，则，即因为p是曲线c1上的点，所以c2的方程为(x2y)2y21.答案(x2y)2y218已知矩阵a，b，则满足axb的二阶矩阵x为_解析由题意，得a1，axb，xa1b.答案9已知矩阵a将点(1，0)变换为(2，3)，且属于特征值3的一个特征向量是，则矩阵a为_解析设a，由，得由3，得所以所以a.答案二、解答题10(2012江苏卷)已知矩阵a的逆矩阵a1，求矩阵a的特征值解因为aa1e，所以a(a1)1.因为a1，所以a(a1)1，于是矩阵a的特征多项式为f()234.令f()0，解得a的特征值11，24.11已知矩阵a，a的一个特征值2，其对应的特征向量是1.(1)求矩阵a；(2)若向量，计算a5的值解(1)a.(2)矩阵a的特征多项式为f()2560，得12，23，当12时，1，当23时，得2.由m1n2，得解得m3，n1.a5a5(312)3(a51)a523(1)232535.12(2012福建卷)设曲线2x22xyy21在矩阵a(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求a2的逆矩阵解(1)设曲线2x22xyy21上任意点p(x，y)在矩阵a对应的变换作用下的像是p(x，y)由，得又点p(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21，依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，a，a2.所以|a2|1，(a2)1.第1讲坐标系最新考纲1.理解坐标系的作用了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程知 识 梳 理1极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点o，叫做极点，从o点引一条射线ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系设m是平面内一点，极点o与点m的距离om叫做点m的极径，记为，以极轴ox为始边，射线om为终边的角叫做点m的极角，记为.有序数对(，)叫做点m的极坐标，记作m(，)(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设m是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为xcos_，ysin_另一种关系为2x2y2，tan (x0)2直线的极坐标方程若直线过点m(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点m(a，0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过m且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程若圆心为m(0，0)，半径为r的圆方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于m(a，0)，半径为a：2acos_；(3)当圆心位于m，半径为a：2asin_诊 断 自 测1(2014江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()a，0b，0ccos sin ，0dcos sin ，0解析y1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)；(0)，故选a.答案a2若曲线的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析2sin 4cos ，22sin 4cos .x2y22y4x，即x2y22y4x0.答案x2y24x2y03(2014广东卷)在极坐标系中，曲线c1和c2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线c1和c2交点的直角坐标为_解析由sin2 cos ，得2sin 2cos ，y2x，由sin 1，得y1，由，解得xy1，交点为(1，1)答案(1，1)4(2014陕西卷)在极坐标系中，点到直线sin1的距离是_解析点化为直角坐标为(，1)，直线sin1化为1，yx1，xy10，点(，1)到直线xy10的距离为1.答案15在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(r)的距离是_解析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2y24y，即x2(y2)24，其圆心为(0，2)，直线转化为平面直角坐标系中的方程为yx，即x3y0.圆心(0，2)到直线x3y0的距离为.答案考点一极坐标与直角坐标的互化【例1】 (1)把点m的极坐标化成直角坐标；(2)把点m的直角坐标(，1)化成极坐标解(1)x5cos ，y5sin ，点m的直角坐标是.(2)2，tan .点m在第三象限，0，最小正角.因此，点m的极坐标是.规律方法(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则