【优选整合】人教A版高中数学必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用 教案.doc

4.2.3 直线与圆的方程的应用 教学目标 1.知识与技能：（1）理解直线与圆的位置的种类，重点是利用直线和圆的位置关系解决实际问题；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系，会用“数形结合”的数学思想解决问题；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，会用代数的方法来判断直线与圆的位置关系。 2.过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。 从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。经历公理的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和圆的位置关系的问题,关键是要使该问题是否满足直线和圆的位置关系以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力3.情感态度价值观：（1）空间教学的核心问题是让学生了解圆的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想 重点难点 1.教学重点：利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； 2.教学难点：会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，会用代数的方法来判断直线与圆的位置关系。教学过程：导入新课如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1 在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.推进新课新知探究提出问题你能说出直线与圆的位置关系吗？解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.应用示例例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P2作P2HOP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在RtAOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r2=(r-4)2+102.解得r=14.5.在RtCP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2.因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.514.36-10.5=3.86.所以支柱A2P2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.变式训练 已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD的外接圆的圆心O1分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分别为线段AC、BD、AD的中点,由线段的中点坐标公式,得=xm=,=yn=,xE=,yE=.所以|O1E|=.又|BC|=,所以|O1E|=|BC|.点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地相距10 km,居民选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,则A(5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品的费用较低,并设A地的运费为3a元/km,则B地运费为a元/km.由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A地运费价格+B地运费,即3aa,整理得(x+)2+y2()2.所以以点C(-,0)为圆心,为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A地购货费用较低,圆外的居民从B地购货费用较低,圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等,因此可以随意从A、B两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.拓展提升 某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l的垂线AC上(C为垂足),且距C分别为2a和a(a0)的点A和B,进攻队员沿直线AD向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD和BM交于M,若在M点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD应为什么方向才能取胜?图4解:如图4,以l为x轴,C为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M所需时间分别为t1=,t2=.若t1t2,则|AM|2|BM|,即.整理,得x2+(y-a)2(a)2,这说明点M应在圆E:x2+(y-a)2=(a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN为圆E的切线,N为切点,在RtAEN中,容易求出EAN=30,所以进攻