【创新设计】（江苏专用）高三数学二轮总复习 训练16 立体几何中的向量方法 理.doc

常考问题16立体几何中的向量方法 (建议用时：80分钟)1(2013新课标全国卷)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.(1)证明：bc1平面a1cd；(2)求二面角da1ce的正弦值(1)证明连接ac1交a1c于点f，则f为ac1的中点又d是ab的中点，连接df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)解由accbab得，acbc.以c为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设ca2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面a1ce的法向量，则即可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角da1ce的正弦值为.2(2013陕西卷)如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o平面abcd，abaa1.(1)证明：a1c平面bb1d1d；(2)求平面ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小(1)证明由题设易知oa，ob，oa1两两垂直，以o为原点建立直角坐标系，如图abaa1，oaoboa11，a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，d(0，1,0)，a1(0,0,1)由，易得b1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)0，0，a1cbd，a1cbb1，又bdbb1b，a1c平面bb1d1d.(2)解设平面ocb1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面bb1d1d的法向量，cos |cosn，|.又0，.3如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，底面abcd是直角梯形，abad，abcd，ab2ad2cd2，e是pb的中点(1)求证：平面eac平面pbc；(2)若二面角pace的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值(1)证明pc平面abcd，ac平面abcd，acpc.ab2，adcd1，acbc.ac2bc2ab2.acbc.又bcpcc，ac平面pbc.ac平面eac，平面eac平面pbc.(2)解如图，以点c为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,1,0)，b(1，1,0)，设p(0,0，a)(a0)，则e，(1,1,0)，(0,0，a)，.取m(1，1,0)，则mm0，m为面pac的法向量设n(x，y，z)为面eac的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|，则a2.于是n(2，2，2)，(1,1，2)设直线pa与平面eac所成角为，则sin |cos，n|，即直线pa与平面eac所成角的正弦值为.4(2013辽宁卷)如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点(1)求证：平面pac平面pbc；(2)若ab2，ac1，pa1，求二面角cpba的余弦值(1)证明由ab是圆的直径，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.又bc平面pbc，所以平面pbc平面pac.(2)解过c作cmap，则cm平面abc.如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb，ca，cm为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系在rtabc中，因为ab2，ac1，所以bc.因为pa1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)故c(，0,0)，c(0,1,1)设平面bcp的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为a(0,0,1)，a(，1,0)，设平面abp的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.所以由题意可知二面角cpba的余弦值为.5(2013合肥第二次质检)在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为1的正方形，且pa平面abcd.(1)求证：pcbd；(2)过直线bd且垂直于直线pc的平面交pc于点e，且三棱锥ebcd的体积取到最大值求此时四棱锥eabcd的高；求二面角adeb的正弦值的大小(1)证明连接ac，因为四边形abcd是正方形，所以bdac.因为pa平面abcd，所以pabd.又acpaa，所以bd平面pac.又pc平面pac，所以pcbd.(2)解设pax，三棱锥ebcd的底面积为定值，在pbc中，易知pb，pc，又bc1，故pbc直角三角形又bepc，得ec，可求得该三棱锥的高h.当且仅当x，即x时，三棱锥ebcd的体积取到最大值，所以h.此时四棱锥eabcd的高为.以点a为原点，ab，ad，ap所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，p(0,0，)，易求得cecp.所以，(0,1,0)设平面ade的法向量n1(x，y，z)，则即令x，则n1(，0，3)，同理可得平面bde的法向量n2(1，1，)，所以cosn1，n2.所以sinn1，n2.所以二面角adeb的正弦值的大小为.6(2013天津卷)如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e为棱aa1的中点(1)证明b1c1ce；(2)求二面角b1cec1的正弦值；(3)设点m在线段c1e上，且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为，求线段am的长解如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，b(0，0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)(1)证明：易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以b1c1ce.(2)(1，2，1)设平面b1ce的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)，b1c1ce，又cc1b1c1，可得b1c1平面cec1，故(1,0，1)为平面cec1的