一元二次方程.1一元二次方程.doc

南湖中学九年级数学教学设计 主备人：王忠庆 执教人：王忠庆 21.1一元二次方程教学目标使学生了解一元二次方程的概念。使学生掌握一元二次方程的一般形式及有关概念。根据具体问题的数量关系，形成方程的模型，使学生初步形成利用方程的观点认识现实世界的意识和能力。课型新授课时第1课时教学重点一元二次方程的概念及其一般形式，并用这些概念解决问题。教学难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。教学方法在教学中，教师通过“问题情境建立模型问题解决反思拓展”的教学环节，让学生经历及数学建模的全过程。教学准备预习导学案 教 学 过 程 活动一：情境引入请同学们阅读章前问题,并回答问题.要设计一座2 m高的人体雕塑,使雕塑的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,雕塑的下部应设计为多高?如图所示,雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下等量关系:ACBC=BC2,即BC2=2AC.设雕塑下部高x m,可得方程x2=2(2-x),整理得x2+2x-4=0.【问题】这个方程是不是我们以前学过的方程?设计意图帮助学生初步感知上述方程与以往学过的方程形式的不同,通过学生的好奇心激发本节课的学习欲望.活动二：互动新授问题1如图所示,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?教师引导学生思考并回答:如果设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是,宽是,根据方盒的底面积为3600 cm2,得.整理,得.化简,得.解:设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是(100-2x)cm,宽是(50-2x)cm.根据题意,得(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得4x2-300x+1400=0.化简,得x2-75x+350=0.问题2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?思路一教师引导学生思考并回答:全部比赛共有场.若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他个队各赛一场,全部比赛共有 场.由此,我们可以列出方程,化简得.【师生活动】设未知数、 根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理. 解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有12x(x-1)场.根据题意,得12x(x-1)=47.整理,得12x2-12x=28.化简,得x2-x=56.整理,得12x2-12x=28.化简,得x2-x=56.设计意图通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.(教师板书导入一和课本问题所列的三个方程)请口答下面问题.(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几?(3)方程两边都是整式吗?【学生活动】小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义.老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2;(3)方程两边都是整式.像这样的方程,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.设计意图通过小组活动,学生通过类比一元一次方程的定义得到一元二次方程的定义,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.活动三：巩固提高练习：1、下列方程中是一元二次方程的有_（填序号）（1）；（2）；（3）；（4） 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.解析一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0),因此,对方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项、合并同类项等.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.设计意图通过试一试,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,需先化成一元二次方程一般形式再求解,同时加深对一元二次方程一般形式的理解.练习2、当a为何值时，关于x的方程为一元二次方程？活动四：再探新知下面哪些数可以满足于方程？ ，0，1，2，3，4我们把使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。练习： (1)下面哪些数是方程x2+x-12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.【师生活动】学生思考计算后,以抢答形式回答问题,并说明理由.教师及时对学生给出的答案和理由做出评价.解:把这些数分别代入方程,使方程左右两边相等的数是方程的根.-4,3是方程的根.设计意图通过该练习,进一步强化一元二次方程的根的概念,采取抢答的形式,提高学生学习的竞争意识.(2)李明在写作业时,一不小心,把方程5x2+x-3=0的一次项的系数用墨水覆盖住了,但知道方程的一个根是x=-2,请你帮助李明求出覆盖的系数.解:设覆盖的系数为a.把x=-2代入方程可得5(-2)2+(-2)a-3=0,即20-2a-3=0,解得a=172.覆盖的系数为172.(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a0)的一个解是x=1,求2014-a-b的值.解:把x=1代入方程可得a+b+5=0,a+b=-5,2014-a-b=2014-(a+b)=2014-(-5)=2014+5=2019.【师生活动】学生独立思考后,小组讨论交流,学生板书解题过程,教师进行点评后,引导学生归纳:已知方程的根时,常采用的解题思路是什么?(把方程的根代入方程,使方程左右两边相等,求出待定系数的值,注意整体思想在解题中的应用.)设计意图通过小组讨论,加深对一元二次方程的根的概念的理解,培养学生合作意识和归纳总结能力.课件展示练习(2)(3)的解答过程,强化学生书写的严谨性,培养学生整体思想在数学中的应用,同时让学生体会生活中处处有数学,数学应用于生活中.【师生活动】学生代入验证，教师引导学生回忆以前方程解的概念，学生类比得出一元二次方程根的概念。对于练习，教师巡视关注困难学生。活动五：课堂小结本节课主要学习了哪些新知？你还有什么没有解决的问题吗？【师生活动】学生总结本节课的收获并互相补充，如果有疑问及时解决，做到堂堂清。【设计意图】培养学生对知识的归纳能力和语言表达能力。活动六：布置作业完成导学案课后巩固部分并预习新课内容。板 书 设 计21.1一元二次方程1、定义：含有一个未知数（一元）；未知数的最高次数是2（二次）；等号两边都是整式。我们称这样的方程为一元二次方程。2、使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。1.下列方程为一元二次方程的是()A.1-x2=0 B.2(x2-1)=3y C.1x2-1x=0 D.(x-3)2=(x+3)22.若ax2-5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+60的解集是()A.a-2B.a-2且a0 D.a123.生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是()A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182 C.2x(x+1)=182 D.x(x-1)=18224.方程2x2=3(x+6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为()A.2,3,-6 B.2,-3,-18 C.2,-3,6 D.2,3,65.把一元二次方程(x-2)(x+3)=1化为一般形式是.6.若方程kx2+x=3x2+1是关于x的一元二次方程,则k的取值范围是.7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.(1)(2x-1)2=6; (2)3x2+5(2x+1)=0.8.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)有一个面积为54 m2的长方形,将它的一边剪短5 m,另一边剪短2 m,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?(2)三个连续整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?9.求方程2x2+3=22x-4的二次项系数、一次项系数及常数项的积.10.若关于x的方程(k2-4)x2+k-1x+5=0是一元二次方程,求k的取值范围.11.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,求m的值.12.当m取何值时,23x2m-1+10x+m=0是关于x的一元二次方程?13.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.14.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)x为何值时,此方程是一元一次方程?(2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.15.方程x(x-1)=2的两根为()A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=216.已知x=1是方程x2-2mx+1=0的根,则m的值是()A.1 B.0 C.0或1D.0或-117.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根,则ab+cb等于()A.1B.-1C.0D.218.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为1,一个根为-1,则a+b+c=,a-b+c=.19.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是.20.关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根为0,则a的值是.21.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根,求代数式2014(a+b+