【北京特级教师 同步复习精讲辅导】高中数学 数学归纳法课后练习 新人教版选修22.doc

数学归纳法课后练习用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)n(n3)(n3)求证：用数学归纳法证明不等式：12(nn*)设数列an满足an1anan1，n1,2，3，(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a13时，证明对所有的n1，有ann2在数列中，求数列的通项公式数列an 满足 sn2nan(nn*)(1)计算 a1，a2，a3，a4并由此猜想通项 an 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想设数列an满足a12，an1an(n1,2，)(1)证明：an对一切正整数n都成立；(2)令bn(n1,2，)，判断bn与bn1的大小，并说明理由数列中，用数学归纳法证明：设数列a1，a2，an，中的每一项都不为0证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nn*，都有 是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论数学归纳法课后练习参考答案见详解详解：证明：(1)三角形没有对角线，n3时，f (3)0，命题成立(2)假设nk (k3)时，命题成立，即f(k)k(k3)，则当nk1时，凸k边形由原来的k个顶点变为k1个顶点，对角线条数增加k1条f (k1)f (k)k1k (k3)k1(k1)(k1)3当nk1时命题成立，由 (1)，(2)可知对任何nn且n3，命题恒成立见详解详解：(1)当n=1时，左端=1 ，右端=，左端=右端，等式成立；(2)假设n=k时，等式成立，即，则所以，当n=k+1时，等式仍然成立由(1)(2)可知，对于等式依然成立见详解详解：证明：当n1时，左边1，右边2左边右边，所以不等式成立，假设nk (kn*)时，不等式成立，即12那么当nk1时，1 2 2这就是说，当nk1时，不等式成立由可知，原不等式对任意nn*都成立（1）a23，a34，a45，ann1(n1)；（2）见详解详解：(1)由a12，得a2a12a113，由a23，得a3a222a214，由a34，得a4a323a315，由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1)(2)证明：用数学归纳法证明：当n1时，a1312，不等式成立假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2根据和，对于所有n1，都有ann2详解：猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，猜想成立（2）假设当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立综合（1）（2），对猜想都成立(1)a11，a2， a3，a4，猜想 an(nn*)；（2）见详解详解：(1)a11，a2， a3，a4，由此猜想 an(nn*)(2)证明：当n1时，a11, 结论成立假设 nk(kn*)时，结论成立，即ak，那么 nk1(kn*)时，ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1ak1，这表明 nk1 时，结论成立根据(1)和(2)，可知猜想对任何nn* 都成立an(nn*)（1）见详解；（2）bn1bn详解：(1)证明：当n1时，a12，不等式成立假设当nk(kn*)时，ak成立那么当nk1时，ak12ak222k32(k1)1当nk1时，ak1成立综上， an对一切正整数n都成立(2) 1故bn1bn见详解详解：(1) 当n = 1时，不等式成立(2)假设当n = k时等式成立，即，则，当n = k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立见详解详解：证明：先证必要性设数列an的公差为d若d0，则所述等式显然成立若d0，则 再证充分性(数学归纳法)设所述的等式对一切nn*都成立首先，在等式 两端同乘a1a2a3，即得a1a32a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2a1d假设aka1(k1)d，当nk1时，观察如下两个等式，将代入，得，在该式两端同乘a1akak1，得(k1)ak1a1kak将aka1(k1)d代入其中，整理后，得ak1a1kd由数学归纳法原理知，对一切nn*，都有ana1(n1)d所以an是公差为d的等差数列存在a=3，b=11，c=10详解：把n=1, 2 , 3代入得方程组，解得，猜想：等式对一