4.2勒贝格积分的极限定理.pdf

山东农业大学 数学系 于瑞林 4 2 Lebesgue 积分的极限定理积分的极限定理 教学目的教学目的 本节讨论关于积分号下取极限的性质 即取极限 和求积分交换顺序的定理 内容包括三个重要的定理以及一 些推论 本节要点本节要点 积分的极限定理有三个重要定理 即控制收敛定 理 单调收敛 Levi 定理 Fatou 引理 它们分别适用于 不同的情况 学习本节的内容应注意分清各个定理的条件和 结论 在 Riemann 积分中 极限与积分交换次序问题需要加很 强的条件 如一致收敛 而在这一节里同学们将会看到新的 积分在处理积分和极限交换次序时 所要求的条件比 Riemann 积分要弱得多 这也正是 Lebesgue 积分最大的成功 之处 所以本节中的一些基本定理在一般分析数学中被经常 引用 一 控制收敛定理一 控制收敛定理 不妨设mE 函数序列 n fx一致收敛到 f x n fx f xLebesgue 可积 于是0 N 当nN 时 对一切xE 有 n fxf x 即 n fxf x 山东农业大学 数学系 于瑞林 显然 f x 在E上可积 故 n fx实际上是被一个可积函数 控制住了 现我们降低要求 假定 n fx不一致收敛 但可 由某个可积函数 F x控制 此时极限和积分能否交换顺序 呢 我们仍不妨设 mE n fxF x ae于E n fxf x ae于E F x在E上可积 现考察此时是否 有 lim lim nn EEEnn fx dxfx dxf x dx 4 2 1 成立 根据 Egroff 定理 0 EE 使 n fx在EE 上一致收敛到 f x 且mE 因此 在EE 上显然有等 式 4 2 1 成立 所以问题转化为在E 上是否有等式 4 2 1 成立 由于 n fxF x ae于E 于是 nn EEEE fx dxf x dxfx dxf x dx 2 E F x dx 问题又一次转化为关于积分 E F x dx 是否有 0 lim 0 E F x dx 成立 这就是 Lebesgue 积分的绝对连续性 定理定理 1 Lebesgue 积分的绝对连续性 积分的绝对连续性 设 n E 可测 f 在E上可积 则对0 0 使当AE 且mA 时 A f x dx 证明证明 由于f在E上 L 可积 则f在E上 L 可积 根据积分 山东农业大学 数学系 于瑞林 的定义 有 lim n EE n n f dxfdx 即0 0 0N 使得 0 0 2 N EE N f dxfdx 由于 0 00 N EE NN fdxfdx 因此 0 2 E N ffdx 取 0 2 1 N 由第四章第一节 Lebesgue 积分的绝对可积 性可得 对任意AE 当mA 时 有 00 NN AAAA f x dxf x dxffdxfdx 0 0 0 2 1 22 E N N ffdx N 证毕 定理定理 2 Lebesgue 控制收敛定理 控制收敛定理 设 n f是可测集E上的可 测函数列 存在E上 L 可积函数 F x 使得 n fxF x ae于E 如果 n ff 则f在E上 L 可积且 limlim EnEnE nn f dxf dxfdx 证明证明 1 由于 n ff 根据 Riesz 定理 nkn ff 使得 k n ff ae于E 因此由 n fF x 立即可知 fF x ae于E 根据 F x的可积性立知f是可积的 从而f也是 可积的 山东农业大学 数学系 于瑞林 2 分析分析 要证明 limlim EnEnE nn f dxf dxfdx 成立 也即是要估计 nn EEE f dxfdxff dx 困难在于 1 mE有可能为 2 在E上 n fxf x 的性质并不明确 因此逐步证明问题 1 先考虑有限测度集 把有限可测集一分为二 一部分 测度较大但被积函数较小 另一部分虽然被积函数较 大 但测度很小 2 考虑无限测度集 把无限测度也一分为二 一部分 是有限测度集 利用 1 已有的结果 而另一部分 由于函数列被一个可积函数控制 利用可积函数的 性质 最后得到结论 证明证明 Step1 假设mE 对任意0 根据积分的绝对连续 性 0 使当mA 时 有 3 A F x dx 4 2 2 对上述 根据 n ff 则存在自然数N 当nN 时 有 3 1 n mE fxf x mE 4 2 3 记 3 1 nn EE fxf x mE 注意到 n fxF x ae于E 且 f xF x ae于E 则 山东农业大学 数学系 于瑞林 当nN 时 有 nn EEE fx dxf x dxfxf x dx nn nn E EE ff dxff dx 2 nn n E EE ff dxF x dx 2 3 n n E E ff dx 根据 4 2 2 2 33 1 mE mE 根据 4 2 3 综上可得 等式 4 2 1 在mE 的情形下成立 Step2 设mE 由于 F x在E上 L 可积 则 lim n EE n n F x dxF xdx 因此 对0 0k 使 4 k EE k F x dxF xdx 故 kk E EEE F x dxF x dxF x dx 4 k EE k F x dxF xdx 4 2 4 由于 k mE 故应用 Step1 的结论 0 必能取到N 当nN 时 有 2 k n E fxf x dx 4 2 5 山东农业大学 数学系 于瑞林 因此 对0 当nN 时 有 n EE fx dxf x dx n E fxf x dx kk nn EE E fxf x dxfxf x dx 2 k n E E ff dx 根据 4 2 5 2 2 k E E F x dx 2 24 根据 4 2 4 证毕 推论推论 1 将定理 2 中的条件 n ff 改为 n ff ae于E 结论依然成立 注意 几乎处处收敛 mE 依测度收 敛 所以 先将无限测度变为有限测度 对有限测度利用几 乎处处收敛必依测度收敛予以证明 即得结论 注注 控制收敛定理中控制函数的可积性是必不可少的 例例 1 考虑 0 E 上 函数列 1 0 0 n xn fx xn 1 2 n 显然控制 n f的函数F 必须1F ae于E 它在 0 上 不是 Lebesgue 可积的 n f的极限函数 1f x 在 0 上 不是 Lebesgue 可积的 山东农业大学 数学系 于瑞林 推论推论 2 Lebesgue 有界收敛定理 有界收敛定理 若 1 mE 2 n f是可测集E上的可测函数列 存在常数K 使得 n fxK ae于E 3 如果 n ff 或 n ff ae于E 则f在E上 L 可积且 limlim EnEnE nn f dxf dxfdx 控制收敛定理和有界收敛定理的关键在于找到可积的 控制函数 F x或常数K 例例2 设 1 01 1 s n s nx fxs nx 0 1 x 则 0 1 lim 0 n n fx dx 证明证明 首先证明 n f是有界可测函数列 事实上 当1nx 时 11 1 1 1 1 s n ss nx fx nxnx 故 1 n fx 对 0 1 x 11 0 1 1 n s fx nx nx 0 0 n f 所以 n f处处收敛到零 由有界控制收敛定理 立得结论 例例 3 Riemann 可积性的刻划 可积性的刻划 如果 f x是区间 a b上的 有界函数 则 f x在 a b上 Riemann 可积的充要条件是 f x 在 a b中的不连续点集是一个零测集 证明略 山东农业大学 数学系 于瑞林 二 二 Levi 定理和定理和 Fatou 引理引理 下面介绍两个与控制收敛定理同等重要而且也是常用 的收敛定理 定理定理 2 Levi 定理 定理 设 n f是可测集 n E 上的一列非负 可测函数 且在E上有 1 nn fxfx ae于E 则 n f几乎 处处收敛于一非负可测函数 f x limlim EnEnE nn f dxf dxfdx 证明证明 记 1 1 nn n EE fxfx 则0mE 在 0 EE E 上 lim n n f xfx 存在 可测 且有 n fxf x 0 xE 故 n fxf x ae于E 从而 n EE fx dxf x dx 再由数列极限的性质 得 lim n EEn fx dxf x dx 另一方面 对固定的N 1 nn NN fxfx ae于E 且 lim n NN n fxf x ae于E 因此 lim NN n NN EEn f xdxfxdx lim N n N En fxdx Lebesgue 控制收敛定理 山东农业大学 数学系 于瑞林 lim lim nn N EEnn fxdxfx dx 故有 lim lim N n N EEEnn f x dxf xdxfx dx 因此 lim n EEn f x dxfx dx 证毕 Lvei 定理的重要性在于非负单增可测函数列 其极限运 算和积分运算的次序可以交换 而任何非负可测函数可由单 增的非负简单函数列来逼近 因此非负可测函数的积分性质 可通过逼近方式从简单可测函数的积分性质来获得 定理定理 4 Lebesgue 基本定理或基本定理或 Lebesgue 逐项积分定理 逐项积分定理 设 n f是可测集 n E 上的一列非负可测函数 则 11 nn EE nn fxdxfx dx 证明证明 令 1 n ni i gxf x 则 n g为E上的非负递增函数 列 由 Levi 定理 有 limlim EnEn nn g dxg dx 因为 1 lim ni n i gxf x 1 n EnEi i g dxf dx 从而 山东农业大学 数学系 于瑞林 11 nn EE nn fxdxfx dx 证毕 推论推论 3 Lebesgue 积分的可列可加性 积分的可列可加性 若 k E是E的互不 相交的可测子集列 且 1 k k EE f x在E上的积分存在 积 分确定 则 f x在 k E上积分存在 且 1 n EE n f x dxf x dx 证明证明 设 0 n n n fxxE fx xE E 1 2 n 则 n fx为E上非负可测函数 且 1 n n fxfx 故根据定 理 4 得 11 n n EEE nn fx dxfx dxfx dx 同理 1 n EE n fx dxfx dx 由于 f x在E上的积分存在 则 E fx dx E fx dx 中至 少有一个是有限数 也即是两个级数 1 n E n fx dx 1 n E n fx dx 中至少有一个是收敛的 两式相减 得 山东农业大学 数学系 于瑞林 1 n EEEE n f x dxfx dxfx dxf x dx 证毕 控制收敛定理 Levi 引理都预先假定了函数列的某种收 敛性 下面的 Fatou 引理则没有这样的假定 定理定理 5 Fatou 引理 引理 设 n f是可测集 n E 上的一列非负 可测函数 则 limlim EnEn nn f dxf dx 证明证明 令 inf kn n k gxfxxE 则 k gx非负可测 且 12 k g xgxgx kk gxfx 1 2 k lim lim kk k k gxfx 由 Levi 定理立即可得 limlimlim EnEnEn nn n f dxg dxg dx limlim EnEn nn g dxf dx 证毕 例例 4 在 1 上作非负函数列 2 2 1 2 2 x n n n fxen 则 山东农业大学 数学系 于瑞林 1 1 n fx dx 且当0 x 时 lim 0 n n fxf x 故极限函数 0f x ae于E 于是 11 lim 01lim nn nn fx dxfx dx 注 注 控制收敛定理 Le