高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题课件 理.ppt

9 8圆锥曲线的综合问题 高考理数 考点一定值 定点 最值及范围问题1 定值问题 1 解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法 证明过程可总结为 变量 函数 定值 具体操作步骤如下 i 变量 选择适当的量为变量 ii 函数 把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 iii 定值 把得到的函数解析式化简 消去变量得到定值 2 求定值问题常见的方法 i 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 ii 直接推理 计算 并在推理 计算的过程中消去变量 从而得到定值 知识清单 2 定点问题 1 探索直线过定点时 可设出直线方程为y kx b 然后利用条件建立b k的等量关系进行消元 借助直线系方程的特点找出定点 2 从特殊情况入手 先探求定点 再证明一般情况 3 求最值问题常见的方法 1 几何法 题中给出的条件有明显的几何特征 则考虑用图象 性质来解决 2 代数法 题中给出的条件和结论的几何特征不明显 则可以建立目标函数 再求这个函数的最值 求函数的最值常见的方法有配方法 判别式法 基本不等式法 单调性法 三角换元法等 4 求定值 最值等圆锥曲线综合问题要四重视 1 重视定义在解题中的作用 2 重视平面几何知识在解题中的作用 3 重视根与系数的关系在解题中的作用 4 重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用 5 求参数的取值范围 根据已知条件建立函数或不等式 再求参数的范围 考点二存在性问题有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题 一般是先假设存在满足题意的元素 经过推理 论证 如果得到可以成立的结果 就可以作出存在的结论 若得到与已知条件 定义 公理 定理等相矛盾的结果 则说明假设不成立 与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题有以下两种解法 1 代数法 将圆锥曲线中的最值或取值范围问题转化为函数问题 即根据条件列出所求的目标函数 再求这个函数的最值或取值范围 常从以下五个方面考虑 利用判别式构造不等关系 从而确定参数的取值范围 利用已知参数的范围 求新参数的范围 解这类问题的核心是在每个参数之间建立等量关系 利用隐含的不等关系建立不等式 从而求出参数的取值范围 利用已知的不等关系构造不等式 从而求出参数的取值范围 用函数的值域的求法 确定参数的取值范围 与圆锥曲线相关的最值 范围问题的解题方法 方法技巧 2 几何法 若问题的条件和结论能明显地体现曲线的几何特征 则利用图形的性质和数形结合思想来解决最值或取值范围问题 例1若点o和点f分别为椭圆 1的中心和左焦点 点p为椭圆上的任一点 则 的最小值为 解题导引 解析点p为椭圆 1上的任意一点 设p x y 3 x 3 2 y 2 依题意得左焦点f的坐标为 1 0 x y x 1 y x x 1 y2 x2 x 3 x 3 x 6 12 即6 12 故所求最小值为6 答案6 评析本题在平面向量与解析几何的交汇点处设题 考查了椭圆的方程 向量的坐标运算以及利用不等式和函数求最值的基本方法 1 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值或定点 2 从特殊入手 求出定值或定点 再证明这个值或点的坐标与变量无关 例2 2017课标全国 20 12分 已知椭圆c 1 a b 0 四点p1 1 1 p2 0 1 p3 p4中恰有三点在椭圆c上 1 求c的方程 2 设直线l不经过p2点且与c相交于a b两点 若直线p2a与直线p2b的斜率的和为 1 证明 l过定点 圆锥曲线中的定值 定点问题的解题方法 解题导引 解析 1 由于p3 p4两点关于y轴对称 故由题设知c经过p3 p4两点 又由 知 c不经过点p1 所以点p2在c上 因此解得故c的方程为 y2 1 2 设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1 k2 如果l与x轴垂直 设l x t 由题设知t 0 且 t 2 可得a b的坐标分别为 则k1 k2 1 得t 2 不符合题设 从而可设l y kx m m 1 将y kx m代入 y2 1得 4k2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 由题设可知 16 4k2 m2 1 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 而k1 k2 由题设k1 k2 1 故 2k 1 x1x2 m 1 x1 x2 0 即 2k 1 m 1 0 解得k 当且仅当m 1时 0 于是l y x m 即y 1 x 2 所以l过定点 2 1 方法总结求解轨迹方程的步骤 建系 设点 列式 列出动点所满足的几何等量关系式 坐标化 选用合适的公式表示几何等量关系 化简 注意化简前后的等价性 检验 去伪存真 1 此类问题一般分为探究条件 探究结论两种 若探究条件 则可先假设条件成立 再验证结论是否成立 成立则存在 否则不存在 若探究结论 则应先求出结论的表达式 再针对其表达式进行讨论 往往涉及对参数的讨论 2 反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法 例3 2017湘中名校联考 20 12分 如图 曲线c由上半椭圆c1 1 a b 0 y 0 和部分抛物线c2 y x2 1 y 0 连接而成 c1与c2的公共点为a b 其中c1的离心率为 1 求a b的值 存在性问题的解题策略 2 过点b的直线l与c1 c2分别交于点p q 均异于点a b 是否存在直线l 使得以pq为直径的圆恰好过点a 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 解题导引 解析 1 在c1 c2的方程中 令y 0 可得b 1 且a 1 0 b 1 0 是上半椭圆c1的左 右顶点 由e 及a2 c2 b2 1可得a 2 a 2 b 1 4分 2 存在 由 1 知 上半椭圆c1的方程为 x2 1 y 0 由题易知 直线l与x轴不重合也不垂直 设其方程为y k x 1 k 0 代入c1的方程 整理得 k2 4 x2 2k2x k2 4 0 设点p的坐标为 xp yp 直线l过点b x 1是方程 的一个根 由求根公式 得xp 从而y