【名师导学】高中数学 第一章 立体几何初步（含解析）苏教版必修2.doc

第1课时棱柱、棱锥和棱台 教学过程一、 问题情境1. 阅读章头图和本章引言.2. 结合问题导引1给出多个建筑的图片,让学生归类.二、 数学建构问题1把一支粉笔贴在黑板上,沿垂直于粉笔的方向平移,留下怎样的痕迹?问题2把一张矩形纸片放在课桌上,向上平移,形成怎样的图形?问题3仔细观察图1中的几何体,说说它们的共同特点和它们是怎样形成的?(图1)通过讨论,给出棱柱的概念:1. 一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.2. 用电脑演示平移多边形生成几何体的过程.(图2)3. 结合模型介绍:(图3)(图4)(1) 棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点.(2) 棱柱的分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱.(3) 棱柱的表示方法:棱柱abc-abc,棱柱abcdef-abcdef.(4) 棱柱的特点:两个底面多边形间的关系?(全等)上下底面对应边间的关系?(平行且相等)侧面是什么平面图形?(平行四边形)侧棱之间的关系?(平行且相等)问题4观察图5、图6中的几何体,前后发生了什么变化?(图5)(图6)通过讨论,类比给出棱锥的概念:1. 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥.2. 结合模型介绍:(图7)(1) 棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点.(2) 三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥.(3) 棱锥的表示方法:如:棱锥s-abcd.(4) 棱锥的特点:底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等),侧面是有一个公共顶点的三角形.问题5用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到怎样的两个几何体?(图8)1. 棱台的概念:棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分叫做棱台.2. 结合模型(由学生通过类比给出以下概念)(1) 棱台的上底面、下底面、侧面、棱、侧棱、顶点.(2) 三棱台、四棱台、五棱台、六棱台.(3) 棱台的表示方法.(4) 棱台的特点:上下底面平行,对应边成比例; 侧棱延长后交于一点.思考如图9所示的几何体是不是棱台?为什么?(图9)问题6棱柱、棱锥、棱台与球有何不同?由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体有几个面就称为几面体.如:三棱锥是四面体,四棱柱是六面体.思考(教材p8练习第4题)多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体?(图10)三、 数学运用【例1】下列几何体是棱柱的有(填序号).(图11)解析棱柱的结构特征有三方面:有两个面互相平行;其余各面都是平行四边形;这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时,这个几何体才是棱柱.很明显,几何体均不符合,仅有符合.变式如图12,下列几何体是棱台的为.(图12)解析由棱台的定义知,棱台的上底面必须与下底面平行,且侧棱延长后交于同一点.中侧棱延长后不能交于同一点,中上底面不平行于下底面,故都不是棱台.符合棱台的定义与结构特征.题后反思(1)判断一个几何体是何种几何体,一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征,注意定义中的特殊字眼,切不可马虎大意.(2)本题容易错认为几何体也是棱柱,其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征,避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比,并且和图形对应起来记忆,要做到看到文字叙述就想到图,看到图形就想到文字叙述.【例2】根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称:(1) 由6个平行四边形围成的几何体.(2) 由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形.(3) 由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.处理建议引导学生:审题想象对比定义解答.规范板书解(1) 这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱.(2) 这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面.(3) 这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面.题后反思认识、判断一个几何体的结构特征,主要从它的侧面、侧棱、底面、顶点等角度描述,因此只有理解并掌握好各几何体的概念,才能认清各几何体的属性.注意判断时要充分发挥空间想象能力,必要时做几何模型,通过演示进行准确判断.变式观察图13,分别判断中的三棱镜,中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对.(图13)处理建议引导学生转换底面考查.规范板书解图13中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面.图13中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面.【例3】画一个三棱柱和一个四棱台.处理建议教师示范,分别按照棱柱、棱台的画法步骤画出三棱柱和四棱台.规范板书解(1) 画三棱柱可分以下三步完成:第一步,画上底面画一个三角形;第二步,画侧棱从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段;第三步,画下底面顺次连结这些线段的另一个端点(如图14所示).(图14)(2) 画四棱台可分以下三步完成:第一步,画一个四棱锥;第二步,在它的一条侧棱上取一点,然后从这点开始,顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段;第三步,将多余的线段擦去(如图15所示).(图15)题后反思(1)平面几何中,虚线表示作的辅助线,但在空间图形中,虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时,被遮挡的线作成虚线,看得见的线仍作成实线.(2)作图时要使用铅笔、直尺等,力求准确.变式画一个六面体.(1)使它是一个四棱柱.(2)使它是由两个三棱锥组成.(3)使它是五棱锥.规范板书解如图16所示.(1)是一个四棱柱.(2)是一个由两个三棱锥组成的几何体.(3)是一个五棱锥.(图16)*【例4】设计一个平面图形,使它能够折成一个侧面与底面都是正三角形的三棱锥.规范板书解(图17)四、 课堂练习1. 四棱柱共有6个面,共有4条侧棱.解析四棱柱有上、下两个底面和四个侧面,共六个面,有四条侧棱.2. 下列说法中,正确的是(填序号). 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面; 在平行六面体中,任意两个相对的面均互相平行,但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面; 棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形; 在棱柱的面中,至少有两个面互相平行.解析中,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面;中,平行六面体任意两个相对的面一定可当作它的底面;中,平行六面体的侧面是平行四边形,底面也是平行四边形;中,棱柱中至少有两个底面互相平行,故填.3. 对于棱柱,下列说法中正确的是(填序号). 只有1对面互相平行; 所有的面都是平行四边形; 侧面可以是三角形; 两个底面平行且各侧棱也平行.解析对于,长方体是棱柱,有3对面互相平行,所以不对;对于,三棱柱有两个面是三角形,所以不对;对于,根据棱柱的定义知,棱柱的侧面都是平行四边形,所以不对;对于,根据棱柱的定义知,两底面平行,侧面是平行四边形,侧棱为平行四边形的对边,所以侧棱平行,故正确.4. 棱台不具有的性质是(填序号).两底面相似;侧面都是梯形;侧棱都平行;侧棱延长后都交于一点.解析由棱台的定义可知,棱台的侧棱不互相平行.五、 课堂小结1. 本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的概念,以及棱柱、棱锥和棱台示意图的画法.2. 棱柱、棱锥和棱台有怎样的辩证关系?(引导学生用运动变化、类比联想的观点来分析.)3. 空间图形中,实线和虚线分别表示什么?作辅助线时,要注意什么?第2课时圆柱、圆锥、圆台和球 教学过程一、 问题情境1. 复习棱柱、棱锥、棱台的有关概念.小结:移缩截.2. 旋转会产生什么样的结果呢?仔细观察下面的几何体,它们有什么共同特点或生成规律?(图1)二、 数学建构(一) 生成概念问题1这类几何体往往可以在车床上通过旋转切割加工得到,它们都可以看成由一个平面图形绕一条直线旋转而生成的.你能想象它们分别是什么平面图形通过旋转而生成的吗?(1) 教师完成圆柱相关信息的填写,引导学生自主完成其他信息的填写.名称定义相关概念图形表示法圆柱以矩形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.轴:旋转轴叫做圆柱的轴;底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆柱用表示它的轴的字母表示,左图中圆柱表示为圆柱oo.圆锥以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.轴:旋转轴叫做圆锥的轴;底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面;侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线.圆锥用表示它的轴的字母表示,左图中圆锥表示为圆锥so.圆台以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆台.与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、底面、侧面、母线.圆台用表示它的轴的字母表示,左图中圆台表示为圆台oo.球以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.球心:半圆的圆心叫做球的球心;半径:半圆的半径叫做球的半径;直径:半圆的直径叫做球的直径.球常用表示球心的字母表示,左图中的球表示为球o.(2) 结合图形提炼轴、底面、侧面、母线等概念.(3) 思考:圆柱、圆锥、圆台之间有何关系?(引导学生从概念的形成和结构特征来分析三者之间的关系)(二) 理解概念问题2根据“球”的定义,乒乓球是“球”吗?(1) 数学中的球,是球体的简称,它包括球面及其所围成的空间部分.所以生活中的乒乓球不是数学中的球,而是球面.(2) 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫做球体.(3) 类比圆的定义:球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.问题3等腰梯形旋转能形成圆台吗?1解等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴,各边旋转半周所形成的曲面围成的几何体是圆台.引出旋转面和旋转体的概念:一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.(三) 巩固概念(教材p10练习3)充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成?答圆.三、 数学运用【例1】下列叙述中正确的个数为0. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台; 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; 用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.规范板书解以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆台;圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面,而不是圆;用平行于圆锥底面的平面截圆锥,才可以得到一个圆锥和一个圆台.题后反思(1)旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同.如:直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成圆锥,若按斜边所在的直线旋转一周,则形成两个对底的圆锥.(2)对于与概念有关的命题的判断,一般情况下,要逐字逐句品读,与概念不一样的叙述,以及多字、少字转换的命题多是不正确的.变式下列命题中,正确命题的个数是4. 圆柱的轴经过上、下底面的圆心,并且垂直于底面; 圆柱的母线长都相等,并且都等于圆柱的高; 平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆; 经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形,这个矩形的一组对边是母线,另一组对边是底面圆的直径.解由圆柱的结构特征易知这四个命题都正确.【例2】如图2所示,画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体,并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的.(图2)处理建议由折点向旋转轴作垂线,可得图形.解如图3所示,(1)是由圆锥、圆柱组合而成的.(2)是由圆锥、圆柱组合而成的.(图3)题后反思旋转体的形成要特别注意旋转前的平面几何图形的形状,以及绕的是哪条轴,轴不一样,得到的旋转体形状也不一样.(图4)变式一直角梯形abcd如图4所示,分别以ab, bc, cd, da所在的直线为轴旋转,画出所得几何体的大致形状.解如图4所示(图5)【例3】(教材p10例2)指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的?(图6)*【例4】如图是一个由圆台和球构成的组合体,试指出这个几何体是怎样生成的,画出这个几何体的轴截面(过轴的截面).解如图所示,这个几何体是由一个半圆和一个直角梯形绕直线m旋转一周生成的,其轴截面如图所示.(图7)题后反思本例旨在研究较复杂的几何体(组合体)是由哪些简单几何体构成的.可以指出我们研究的组合体一般由柱、锥、台和球等几何体组合而成.四、 课堂练习1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成?(第1题)答图(1)六棱柱和圆柱,图(2)圆台、圆柱和圆锥.2. 如图,将平行四边形abcd绕ab边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的?(第2题)答圆锥和圆柱.五、 课堂小结1. 本节课学习了圆柱、圆锥、圆台和球的概念.2. 圆柱、圆锥、圆台和球有怎样的辩证关系.3. 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台、球都是简单几何体,要能通过分析组合体的结构特征,分辨出组合体是由哪些简单几何体构成的.第3课时中心投影和平行投影 教学过程一、 问题情境情境:(1) 你熟悉手影表演或皮影戏吗?你知道它们图像的形成原理吗?(图1)(2) “横看成岭侧成峰”,这句话说明了什么?这种现象我们把它称为投影,投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的方法.二、 数学建构问题1下列投影有什么不同? (图2)学生讨论,归纳不同之处:1. 中心投影的概念,说明中心投影的优、缺点.2. 平行投影的概念.问题2只看投影能知道实物的形态吗?由工程图纸引出三视图.(1) 视图:是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.(2) 分类: 正视图(主视图):光线自物体的前面向后投射所得的投影图; 左视图:自左向右投射所得的投影,得到的投影图;(图3) 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图.(3) 三视图的画法规则 正、俯视图都反映物体的长度“长对正”; 正、左视图都反映物体的高度“高平齐”; 俯、左视图都反映物体的宽度“宽相等”.(4) 三视图的排列顺序:先画正视图,左视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下面.(图4)三、 数学运用【例1】如图4所示,正方体abcd-a1b1c1d1中,点m, n分别在棱aa1, cc1上,试作出四边形bmd1n在正方体的面上的投影.(图5)规范板书解(1) 四边形bmd1n在上、下底面的投影是相同的;由于m, n, d1在下底面abcd上的投影分别为a, c, d,所以四边形bmd1n在下底面abcd上的投影为正方形abcd,同理在上底面a1b1c1d1上的投影为正方形a1b1c1d1,如图5所示.(2) d1在侧面bb1c1c上的投影为c1, m在侧面bb1c1c上的投影在棱bb1上,所以四边形bmd1n在侧面bb1c1c上的投影如图5所示;同理在侧面aa1d1d上的投影如图5所示.(3) 四边形bmd1n在侧面aa1b1b上的投影如图5所示;同理在侧面d1dcc1上的投影如图5所示.题后反思本题要考虑在正方体各个面上的投影,正确作出投影的关键在于找到四边形bmd1n的四个顶点在各个面上的投影.(图6)变式如图6所示,e, f分别为正方体面adda、面bccb的中心,则四边形bfde在该正方体的面上的投影可以是图7中的.解析四边形bfde在正方体abcd-abcd的面adda上的投影是,同理,在面bccb上的投影也是.四边形bfde在正方体abcd-abcd的面dccd上的投影是,同理在面abba、面abcd、面abcd上的投影也是.(图7)【例2】画出图8中正四棱锥和圆台的三视图.(尺寸不作严格要求)(图8)解正四棱锥的三视图如图9所示:(图9)题后反思在画三视图时,想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕,一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射,我们画的是影子的轮廓.(1)务必做到高平齐,长对正,宽相等.(2)三视图的安排方法是主视图与左视图在同一水平位置,且主视图在左,左视图在右,俯视图在主视图的下方.(3)若相邻两物体的表面相交,则表面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,不可见轮廓线用虚线画出.(4)物体的三视图中,俯视图尤为重要,画几何体的三视图要求我们有较强的空间想象能力,画完三视图草图后,要再对照实物图来验证其正确性.变式画出图10中几何体的三视图.(图10)处理建议学生画,投影点评.解图10(1)为正六棱柱,可按棱柱的画法画出,如图11(1);图10(2)为一个圆锥与一个圆台的组合体,可按圆锥和圆台的三视图画出它的组合形状,如图11(2).(图11)【例3】根据三视图(如图12所示)想象物体原形,指出其结构特征并画出物体的实物草图.解该几何体是由一个圆柱和一个底面为正方形的长方体组合而成,且圆柱下底面圆的直径等于长方体底面正方形的边长.其草图如图13:(图12)(图13)由三视图还原几何体的步骤:*【例4】墙角处有222(即2层,每层有22个正方体)个相同的小正方体堆成(图14)如图所示的立体图形.如果你打算搬走其中部分小正方体,但希望搬完后,它的三视图不变,那么你最多可以搬走2个小正方体.四、 课堂练习1. 下列关于平行投影与中心投影的叙述正确的有(填序号). 平行投影和中心投影是几何体的不同表现形式,在实际问题中可根据需要进行选择; 平行投影的投射线互相平行,中心投影的投射线交于一点; 人的视觉和照片都具有中心投影的特点; 太阳光线形成的投影是中心投影.解析根据平行投影和中心投影的概念,逐个进行判断.根据中心投影和平行投影的特点可知都是正确的,而太阳光线形成的投影是平行投影.2. 下列说法中正确的有(填序号). 如果一个几何体的三视图是完全相同的,那么这个几何体是正方体; 如果一个几何体的正视图和俯视图都是长方形,那么这个几何体是长方体; 如果一个几何体的三视图都是矩形,那么这个几何体是长方体; 如果一个几何体的正视图和左视图都是等腰梯形,那么这个几何体是圆台.解析不正确,因为球也是三视图完全相同的几何体;不正确,因为一个横放在水平位置的圆柱,其正视图和俯视图都是矩形;易知正确;不正确,因为一个正四棱台的正视图和左视图也可以都是等腰梯形.3. 两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线.解析借助于长方体模型来判断.如图所示,在长(第3题答图)方体abcd-a1b1c1d1中,一束平行光线从正上方向下照射,则相交直线cd1和dc1在面abcd上的平行投影是一条直线cd,相交直线cd1和bd1在面abcd上的平行投影是两条相交直线cd和bd.4. 如图所示的三视图表示的几何体为圆锥.(第4题)解析根据得到图形的形状进行判断.五、 课堂小结1. 本节课学习中心投影、平行投影和三视图的有关概念,以及三视图的画法.2. 画三视图应注意:长对正,高平齐,宽相等,被遮挡的轮廓线应画成虚线.第4课时直观图画法 教学过程一、 问题情境1. 画三视图的基本规律是什么?2. 正投影主要用于绘制三视图,在工程制图中被广泛运用.下图是采用斜投影和中心投影画出的正方体的直观图,观察它们的特点,你认为用哪一个图作图比较方便?(图1)二、 数学建构问题1你会选择三视图画直观图吗?(三视图的直观性较差,因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.)问题2在斜投影和中心投影中你会选择哪一个?(在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直),但斜的平行线则会相交,交点称为消点.)问题3中心投影和平行投影主要应用在哪方面?中心投影主要用于绘画.平行投影问题4如何画好几何体的直观图?下面介绍用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.三、 数学运用【例1】(教材p15例1)画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.(图2)处理建议教师示范,总结步骤.解(1) 如图2所示,以bc边所在的直线为x轴,以bc边上的高线ao所在的直线为y轴.(2) 画对应的x轴、y轴,使xoy=45.在x轴上截取ob=oc=2cm,在y轴上截取oa=oa,连结ab, ac,则三角形abc即为正三角形abc的直观图,如图2所示.总结水平放置的平面图形的直观图斜二测画法:变式画一个锐角为45的平行四边形的直观图(尺寸自定).规范板书解如图3所示,在平行四边形上建立坐标系xoy,再建立坐标系xoy.如图3,在x轴上截取oa=oa, ob=ob,在y轴上截取od=od,过d点作线段dc=dc,且dcab.连结bc, ad,则abcd即为abcd的直观图.(图3)理解概念(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,首先要在平面上建立直角坐标系,一般是利用图形的特性(如对称性)来建立坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上.(2)当已知平面图形中没有互相垂直的线段时,通常过平面图形的顶点作另一线段的垂线,作为x轴和y轴.(3)本题也可以以a为原点,ab所在直线为x轴建系,但要过d作x轴的垂线,以确定d在直观图中的位置d.【例2】画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.规范板书画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,使xoy=45(或135), xoz=90.(2)画底面.画正六边形的直观图abcdef.(3)画侧棱.过abcdef各点分别作z轴的平行线,在这些平行线上分别截取aa, bb, cc, dd, ee, ff,都与侧棱等长.(4)成图.顺次连结abcdef,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观图.(图4)题后反思(1) 画轴画底面画侧棱成图.(2) 画法规则可简记为:两轴夹角为45,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度变,横竖不变,纵折半.变式用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm, 3cm, 2cm的长方体abcd-abcd的直观图.解(1) 画轴.如图所示,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点o,使xoy=45, xoz=90.(2) 画底面.以点o为中心,在x轴上取线段mn,使mn=4cm;在y轴上取线段pq,使pq=cm.分别过点m和n作y轴的平行线,过点p和q作x轴的平行线,设它们的交点分别为a, b, c, d,四边形abcd就是长方体的底面abcd.(3)画侧棱.过a, b, c, d各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段aa, bb, cc, dd.(4)成图.顺次连结a, b, c, d,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.(图5)【例3】已知abc的平面直观图abc是边长为a的正三角形,那么原abc的面积为a2.规范板书画abc直观图如图6所示:(图6)则ad=a,又xoy=45, ao=a.画abc的实际图形.如图6所示,ao=2ao=a, bc=bc=a, sabc=bcao=a2.题后反思在直观图中,原来与轴平行的平行线仍然与轴平行,角的大小一般都改变了,因此在已知直观图而计算原图中的有关数据时,首先要将直观图还原.*【例4】如图7,aob表示水平放置的aob的直观图,b在x轴上,ao和x轴垂直,且ao=2.则aob的边ob上的高为4.规范板书解过a作ahy轴,交x轴于h.在rtaho中,因为ao=2, aho=45,(图7) ah=2. aob边ob上的高为4.四、 课堂练习1. 下列叙述中正确的个数是0. 相等的角,在直观图中仍相等; 长度相等的线段,在直观图中长度仍相等; 若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行; 若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.解析从原图到直观图只能保证平行于x轴、y轴的直线仍平行于x轴、y轴,但不能保证平行直线依然平行,平行于x轴的线段长度保持相等,而其他线段则没有类似的规律,故四个命题均为假命题.2. 用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图,则正五边形的各个角不全相等(填“相等”、“不相等”、“不全相等”).解析作出直观图可知各个角不全相等.3. 平面直角坐标系中的点m(4, 4)在直观图中对应点m,则m的坐标为(4, 2).解析根据斜二测画法可知m的坐标为(4, 2).4. 如图所示是水平放置的三角形的直观图,aby轴,则原图中abc是直角三角形.(第4题)解析 aby轴, bac=45, bac=90.即abc是直角三角形.五、 课堂小结1. 本节课学习了立体几何中直观图的画法斜二测画法.2. 用斜二测画法画直观图的规则是什么?第5课时平面的基本性质 教学过程一、 问题情境情境1:平静的水面、平坦的足球场、广阔的草原、平滑的桌面、黑板的表面.情境2:棱柱的表面,圆柱、圆台的底面.二、 数学建构问题1这些事物给我们一种怎样的印象?(像这些桌面、平静的水面、镜面、黑板面等都给我们以平面的印象)问题2平面有什么特征?(总结平面的基本特征:平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空间是无限延展的)问题3我们可以用怎样的语言描述平面?1. 平面的表示:(1) 图形语言:(图1)(2) 符号语言:平面通常用希腊字母, , ,表示,也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面、平面ac.问题3-1直线可以看成是点的集合,那平面能否看成是点的集合?可以用怎样的数学语言描述点、线、面之间的关系?(可以借助集合中的符号表示)数学符号表示文字语言表达图形语言表达al点a在直线l上al点a在直线l外a点a在平面内a点a在平面外l直线l在平面内l直线l在平面外lm=a直线l, m相交于点a=l平面、 相交于直线l2. 平面的基本性质:问题4如何刻画平面的“平”、“没有厚薄”、“无限延展”这些特征?情境3:木工为了检查桌面是否平,常将一把直尺靠放在桌面上,看直尺与桌面之间是否有空隙.问题4-1如果一条直线上有两个点在平面内,那么这条直线与这个平面有怎样的位置关系?公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.图形:符号表示:(图2)ab.情境4:(1) 演示:将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上,试问硬纸板所在平面与桌面有多少个公共点呢?为什么?(2) 将教室的门和门所在的墙面看成两个平面,当门开着时,他们的公共点的分布情况如何?公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.图形:符号表示:(图3)=l且al.问题4-2公理2对平面提出了什么样的要求?有何意义?问题5平面是不是存在呢,如何保证平面的存在?情境5:(1) 两个合页和一把锁就可以将一扇门固定.(2) 照相机支架只需三条腿就够了.问题5-1如何用数学语言描述上述事实?公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.(图4)用符号表示:c直线ab存在唯一的平面,使得a, b, c.三、 数学运用【例1】下列对平面的描述语句: 平静的太平洋面就是一个平面; 8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚; 四边形确定一个平面; 平面可以看作空间的点的集合,它是一个无限集.其中正确的是(填序号).解 错误.太平洋面只是给我们以平面的形象,而平面是抽象的,可无限延展的; 错误.平面是无大小,无厚薄之分的; 错误.如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面; 正确.平面是空间中点的集合,是无限集.题后反思要注意平面的以下特点:(1)平面是平的.(2)平面是没有厚度的.(3)平面是无限延展而没有边界的.(4)平面是由空间点、线组成的无限集合.(5)平面图形是空间图形的重要组成部分.【例2】用符号语言表示下列语句:(1) 点b在平面内,但在平面外.(2) 直线l经过平面外一点a.(3) 直线m既在平面内,又在平面内,即平面和相交于直线m.解(1) b,且b.(2) a,且al.(3) m, m,则=m.变式将下列符号语言转化为图形语言:(1) a, ac.(2) =a, p且pd.(3) a, a=aa.(4) =a, =c, =b, abc=ob.【例3】(1) 一条直线经过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?规范板书解这条直线和这个平面只有一个公共点.假设这条直线和这个平面有两个公共点.根据公理1可得这条直线上所有的点都在这个平面内,故这条直线过平面外的一点也在这个平面内,(图5)这与已知矛盾.所以这条直线与这个平面只有一个公共点.(2) 如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,点m, n, e, f分别是棱cd, ab, dd1, aa1上的点,若mn与ef交于点q,求证:d, a, q三点共线.规范解答证明 mnef=q, q直线mn, q直线ef.又 m直线cd, n直线ab, cd平面abcd, ab平面abcd, m, n平面abcd, mn平面abcd. q平面abcd.同理,可得ef平面add1a1. q平面add1a1.又 平面abcd平面add1a1=ad, q直线ad,即d, a, q三点共线.题后反思1. 公理1的作用有三:一是可以用来判定一条直线是否在平面内,即要判定直线在平面内,只需确定直线上两个点在平面内即可;二是可以用来判定点在平面内,即如果直线在平面内、点在直线上,则点在平面内;三是表明平面是“平的”.2. 公理2的作用有二:一是判定两个平面相交,即如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面相交;二是判定点在直线上,即点若是某两个平面的公共点,那么这点就在这两个平面的交线上.证明多点共线通常利用公理2,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.(图6)【例4】如图6,四面体abcd中,e, g分别为bc, ab的中点,f在cd上,h在ad上,且有dffc=23, dhha=23,求证:ef, gh, bd交于一点.处理建议引导学生思考如何证明三线共点,之前是否见过类似的问题?规范解答证明连结ge, hf. e, g分别为bc, ab中点, geac. 又 dffc=23, dhha=23, hfac. gehf,故g, e, f, h四点共面.又 ef与gh不能平行,设efgh=o,则o平面abd, o平面bcd,而平面abd平面bcd=bd, ef, gh, bd交于一点.题后反思三线交于一点点在线上线为两平面的交线.四、 课堂练习1. 用符号表示“点a在直线l上,l在平面外”:al, l.2. 下列叙述中,正确的是(d).a. p, q, pqb. p, q, =pqc. ab, cab, dab, cdd. ab, ab, =ab3. 四条线段顺次首尾相接,所得的图形一定是平面图形吗?解析空间四边形.五、 课堂小结1. 平面的概念及其表示方法.2. 文字语言、图形语言以及符号语言的转化.3. 平面的性质的三个公理及其作用.第6课时空间两条直线的位置关系(1) 教学过程一、 问题情境数学实验:研究问题导引1(方法:学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆)二、 数学建构问题1回答问题导引1的问题?并观察,空间两条直线的位置关系有哪些?教室内有哪些直线的实例?它们有什么位置关系?(学生探讨)归纳得空间两条直线的位置关系有以下三种:位置关系共面情况公共点个数相交直线同一平面内1平行直线同一平面内0异面直线不同在任何一个平面内0可以从两个方面,即是否有公共点和是否共面的角度加以分类,加深认识.问题2问题导引2如何解决?(自然引出公理4)在平面几何中,同一平面内的三条直线a, b, c,如果ab且bc,那么ac,这个性质在空间是否成立呢?观察下面的长方体和圆柱:(图2)(图3)归纳小结:公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:ac.思考经过直线外一点,有几条直线和这条直线平行?(1条)(求证:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.已知:点pa.求证:过点p和直线a平行的直线b有且仅有一条.证明 pa, 点p和直线a确定平面.在平面内过点p作直线b与直线a平行(由平面几何知识).假设过点p还有一条直线c与直线a平行,则 ab, ac, bc,这与b, c共点p矛盾. 直线b唯一. 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行)三、 数学运用【例1】(教材p26例1)如图4,在长方体abcd-a1b1c1d1中,已知e, f分别是ab, bc的中点.求证:efa1c1.(图4)证明连结ac.在abc中,e, f分别是ab, bc的中点,所以efac.又因为aa1bb1且aa1=bb1, bb1cc1且bb1=cc1,所以aa1cc1且aa1=cc1,即四边形aa1c1c是平行四边形.所以aca1c1,从而efa1c1.(图5)问题1在平面中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.这一结论在空间成立吗?引导学生观察图4中的bef和b1a1c1的关系归纳:定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.(1) 要求画出图形并写出已知、求证.已知:如图5所示,bac和b1a1c1的边aba1b1, aca1c1,且射线ab与a1b1同向,射线ac与a1c1同向,求证:bac=b1a1c1.对于bac和b1a1c1在同一个平面内的情形,在初中几何中已经证明,下面证明两个角不在同一平面内的情形.分别在bac的两边和b1a1c1的两边上截取线段ad=a1d1和ae=a1e1.因为,ada1d1,所以aa1d1d是平行四边形,所以aa1dd1.同理可得aa1ee1,所以dd1e1e是平行四边形.在ade和a1d1e1中,ad=a1d1, ae=a1e1, de=d1e1,于是adea1d1e1,所以bac=b1a1c1.思考如果bac和b1a1c1的边aba1b1, aca1c1,且ab, a1b1方向相同,而边ad, a1d1方向相反,那么bac和b1a1c1之间有何关系?为什么?(引导学生用四支笔摆放,发现它们相等或互补)【例2】如图6,空间四边形abcd中,e, f, g, h分别是ab, bc, cd, da的中点,求证:四边形efgh是平行四边形.(图6)证明连结bd. eh是abd的中位线, ehbd, eh=bd.同理,fgbd, fg=bd. ehfg,且eh=fg, 四边形efgh为平行四边形.题后反思证明两条直线平行的方法: 平行直线的定义:在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线. 利用三角形中位线平行于底边这一性质. 利用公理4. 利用平行四边形对边互相平行的性质.变式如图6所示,已知e, f分别是空间四边形abcd的边ab与bc的中点,g, h分别是cd与ad上靠近点d的三等分点,求证:四边形efgh是梯形.【例3】已知棱长为a的正方体abcd-a1b1c1d1中,m, n分别是棱cd, ad的中点.求证:(1) 四边形mna1c1是梯形.(2) dnm=d1a1c1.规范板书证明(1) 如图7,连结ac.在acd中,(图7) m, n分别是cd, ad的中点, mn是dac的中位线, mnac, mn=ac.由正方体的性质得:aca1c1, ac=a1c1. mna1c1,且mn=a1c1,即mna1c1, 四边形mna1c1是梯形.(2) 由(1)可知mna1c1,又因为nda1d1, dnm与d1a1c1相等或互补.而dnm与d1a1c1均是直角三角形的锐角, dnm=d1a1c1.*【例4】如图8,已知abcd-a1b1c1d1是棱长为3的正方体,点e在aa1上,点f在cc1上,且ae=fc1=1,求证:e, b, f, d1四点共面.(图8)证明在dd1上取一点n,使得dn=1,连结cn, en.显然四边形cfd1n是平行四边形,所以d1fcn.同理四边形dnea是平行四边形,所以enad,且en=ad.又bcad,且ad=bc,所以enbc, en=bc,所以四边形cneb是平行四边形,所以cnbe.所以d1fbe,所以e, b, f, d1四点共面.四、 课堂练习1. 若空间两条直线a, b没有公共点,则其位置关系是平行或异面.2. 如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,判断下列直线的位置关系.(1) 直线a1b与直线d1c的位置关系是平行.(2) 直线a1b与直线b1c的位置关系是异面.(3) 直线d1d与直线d1c的位置关系是相交.(4) 直线ab与直线b1c的位置关系是异面.(第2题)(第4题)3. 已知a, b, c是三条直线,若a与b异面,b与c异面,则a与c的位置关系是平行或相交或异面.4. 如图,p是abc所在平面外一点,点d, e分别是pab和pbc的重心,求证:deac, de=ac.证明连结pd, pe,并延长分别交ab, bc于点m, n. 点d, e分别是pab, pbc的重心, m, n分别是ab, bc的中点.连结mn,则mnac,且mn=ac.在pmn中, =, demn,且de=mn.由根据公理4,得deac,且de=mn=ac.五、 课堂小结1. 空间两条直线的位置关系.2. 公理4和等角定理.3. 公理4和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间;等角定理是通过构造全等三角形来证明的,这个过程就是一个平面化的过程.第7课时空间两条直线的位置关系(2) 教学过程一、 问题情境(图2)如图2,在长方体abcd-a1b1c1d1中,直线a1c与b1b具有怎样的位置关系?图中还有哪些异面直线?3二、 数学建构问题1